18. Задача с параметром: #195723

Случай 1: $x > 0$
Уравнение принимает вид:
$$a^2 -a x -2x^2 -6a + 12x = 0$$
Решаем относительно $a$:
$$a = \frac{x + 6 \pm (3x -6)}{2} \Rightarrow a = 2x \quad \text{или} \quad a = 6 -x$$
Обратная замена:
$$x = \frac{a}{2} \quad \text{или} \quad x = 6 -a$$
Условие $x > 0$ дает $0 < a < 6$.

Случай 2: $x < 0$
Уравнение принимает вид:
$$a^2 -a x -2x^2 -6a -6x = 0$$
Решаем относительно $a$:
$$a = \frac{x + 6 \pm (3x + 6)}{2} \Rightarrow a = 2x + 6 \quad \text{или} \quad a = -x$$
Обратная замена:
$$x = \frac{a -6}{2} \quad \text{или} \quad x = -a$$
Условие $x < 0$ дает $0 < a < 6$.

Условия для $4$ различных решений:

• Все корни должны быть различны:
  $$\frac{a}{2} \neq 6 -a \quad \text{и} \quad -a \neq \frac{a -6}{2}$$
  $$\Rightarrow a \neq 4 \quad \text{и} \quad a \neq 2$$
• Интервал параметра: $0 < a < 6$

Ответ: $a \in (0, 2) \cup (2, 4) \cup (4, 6)$