18. Задача с параметром: #195731

Замена переменной:
Положим $t=x+\frac{a^2}{x}$. Уравнение принимает вид:
$$|t+1|+|t-1|=2$$

Анализ уравнения с модулями:
Решением являются все $t\in[-1,1]$, так как:

• При $t>1$: $2t=2$ ⇒ $t=1$ (не удовлетворяет условию)
• При $t<-1$: $-2t=2$ ⇒ $t=-1$ (не удовлетворяет условию)
• При $-1\leq t\leq1$: тождество $2=2$

Условие существования решений:
Необходимо, чтобы существовало $x\neq0$ такое, что:
$$-1\leq x+\frac{a^2}{x}\leq1$$

Оценка выражения:

• Для $x>0$: $x+\frac{a^2}{x}\geq2|a|$ (по неравенству Коши)
• Для $x<0$: $x+\frac{a^2}{x}\leq-2|a|$

Анализ неравенств:
Чтобы существовало решение, должно выполняться:
$$2|a|\leq1$$
так как минимальное значение $|x+\frac{a^2}{x}|$ равно $2|a|$.

Ответ: $a\in\left[-\dfrac{1}{2},\dfrac{1}{2}\right]$