18. Задача с параметром: #195726

Замена переменной:
Положим $t=x^2\geq0$. Уравнение принимает вид:
$$|a-2|t^2-2at+|a-12|=0$$

Пояснение:
Уравнение имеет два различных корня, когда соответствующее квадратное уравнение относительно $t=x^2$ имеет один положительный корень (что дает два корня для $x$).

Анализ случаев: Случай $a=2$:
Уравнение становится линейным:
$$-4t+10=0 \Rightarrow t=2.5$$
Что дает два корня $x=\pm\sqrt{2.5}$

Случай $a\neq2$:
Квадратное уравнение относительно $t$:
$$f(t)=|a-2|t^2-2at+|a-12|=0$$
Условия существования положительного корня:

• $D=4a^2-4|a-2|\cdot|a-12|\geq0$
• $\frac{a}{|a-2|}>0$ (вершина параболы в положительной области)

Решение неравенств:
$$a^2\geq|a-2|\cdot|a-12|$$
Преобразуем:
$$(7a-12)(a^2-7a+12)\geq0$$
Решение:
$$\frac{12}{7}\leq a\leq3 \quad \text{или} \quad a\geq4$$

Учет дополнительных условий:

• При $a>0$ и $a\neq2$
• Объединяя с $a=2$, получаем:
  $$\left[\frac{12}{7},3\right]\cup[4,+\infty)$$

Ответ: $\left[\frac{12}{7},3\right]\cup[4,+\infty)$