18. Задача с параметром: #195728

Случай 1: $x<-1$: $$-a(x+1)-(1-a)(x-1)+2=0$$ $$-x-2a+3=0$$ $$x=-2a+3$$ $$-2a+3<-1\ \Rightarrow \ a>2$$

Случай 2: $-1\leq x\leq1$: $$a(x+1)-(1-a)(x-1)+2=0$$ $$(2a-1)x+3=0$$$$x=\frac{3}{1-2a}$$ $$\begin{cases} \dfrac{3}{1-2a}\geq-1 \\ \dfrac{3}{1-2a}\leq1 \end{cases}$$ $$a\leq-1 \ или \ a\geq2$$

Случай 3: $x>1$:
$$a(x+1)+(1-a)(x-1)+2=0$$ $$x+2a+1=0$$ $$x=-2a-1$$$$-2a-1>1\ \Rightarrow\ a<-1$$

Анализ количества решений:

• При $a<-1$: решения из случаев 2 и 3
• При $a>2$: решения из случаев 1 и 2
• При $-1\leq a\leq2$: только одно решение или нет решений

Итоговый ответ:
Уравнение имеет ровно два различных корня при $a<-1$ или $a>2$.

Ответ: $a\in(-\infty,-1)\cup(2,+\infty)$