18. Задача с параметром: #195734

Преобразование уравнения:
Возведем обе части в квадрат:
$$(x^2-2ax+7)^2=(6a-x^2-2x-1)^2$$

Разложение на множители:
Используем формулу разности квадратов:
$$(x^2-2ax+7-6a+x^2+2x+1)(x^2-2ax+7+6a-x^2-2x-1)=0$$

Упрощение:
Получаем систему:
$$\begin{cases}2x^2+(2-2a)x+8-6a=0 \\-2(a+1)x+6a+6=0\end{cases}$$

Случай 1: $a=-1$
Первое уравнение: $2x^2+4x+14=0$ (нет решений)
Второе уравнение: $0=0$ (бесконечно много решений)
⇒ Уравнение имеет бесконечно много корней

Случай 2: $a\neq-1$
Второе уравнение дает: $x=3$
Подставляем в первое уравнение:
$$18+(2-2a)3+8-6a=0 ⇒ a=\frac{8}{3}$$ Для первого уравнения:
$$D=(2-2a)^2-4\cdot2\cdot(8-6a)>0$$
$$a^2+10a-15>0$$
Решение: $a<-5-2\sqrt{10}$ или $a>-5+2\sqrt{10}$

Итоговые условия:
Уравнение имеет более двух корней при:

• $a=-1$
• $a\in(-\infty,-5-2\sqrt{10})$
• $a\in(-5+2\sqrt{10},\frac{8}{3})\cup(\frac{8}{3},+\infty)$

Ответ: $a\in(-\infty,-5-2\sqrt{10})\cup\{-1\}\cup(-5+2\sqrt{10},\dfrac{8}{3})\cup(\dfrac{8}{3},+\infty)$