18. Задача с параметром: #195696

Введение замены:
Обозначим $f(x) = 5x + |x -a^2| -4|x + 1| -a^2$. Тогда уравнение принимает вид:
$$t^2 + (a+2)t + 1 = 0, \quad \text{где} \quad t = f(x)$$

Анализ функции $f(x)$:
Раскрываем модули для трёх случаев: $$f(x) = \begin{cases} 8x, & x \leq -1 \\ -4, & -1 < x < a^2 \\ 2x- 4 -a^2, & x \geq a^2 \end{cases}$$
Функция $f(x)$ является неубывающей, причём:

• При $x \leq -1$: линейная функция с коэффициентом 8
• На интервале $(-1, a^2)$: постоянное значение $-4$
• При $x \geq a^2$: линейная функция с коэффициентом 2

Условия для корней:

• Каждому значению $t \neq -4$ соответствует ровно один $x$
• Значению $t = -4$ соответствует бесконечно много решений на интервале $(-1, a^2)$
• Для получения ровно двух различных корней необходимо:
• Квадратное уравнение относительно $t$ имеет два различных решения
• Ни одно из решений не равно $-4$

Решение квадратного уравнения:
Условия для уравнения $t^2 + (a+2)t + 1 = 0$:$$\begin{cases}D = (a+2)^2 -4 > 0 \\(-4)^2 + (a+2)(-4) + 1 \neq 0\end{cases} \Rightarrow \begin{cases} a^2 + 4a > 0 \\ a \neq \frac{9}{4}\end{cases}$$
Решения:
$$a \in (-\infty; -4) \cup (0; +\infty) \quad \text{и} \quad a \neq \frac{9}{4}$$

Итоговый ответ:
Объединяя все условия, получаем:
$$a \in (-\infty; -4) \cup \left(0; \frac{9}{4}\right) \cup \left(\frac{9}{4}; +\infty\right)$$

Ответ: $a\in(-\infty;-4)\cup\left(0;\frac{9}{4}\right)\cup\left(\frac{9}{4};+\infty\right)$