18. Задача с параметром: #195701

Введение замены:
Обозначим $t=|x-a-1|+|x-a+1|$. Уравнение принимает вид:
$$t^2+at+(a^2-16)=0$$

Анализ функции $t(x)$:
Раскрываем модули:$$t(x)=\begin{cases}-2x+2a, & x\leq a-1 \\ 2, & a-1<x<a+1 \\ 2x-2a, & x\geq a+1 \end{cases}$$
Функция $t(x)$ принимает:

• Значение $t=2$ на интервале $(a-1,a+1)$
• Значения $t>2$ вне этого интервала
• Значения $t<2$ не существуют

Условия для корней:
Для получения ровно двух корней необходимо:

• Квадратное уравнение имеет:
  а) Два различных корня $t_1<22$ (кратности 2)

Случай 1 (два корня):
Условие $f(2)<0$:
$$4+2a+a^2-16<0\Rightarrow a^2+2a-12<0$$
Решение:
$$a\in(-1-\sqrt{13},-1+\sqrt{13})$$

Случай 2 (один корень):
Условия:$$\begin{cases} D=a^2-4(a^2-16)=0 \\ t_{верш}=-\frac{a}{2}>2 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases}3a^2=64 \\ a<-4 \end{cases} $$
Решение:
$$a=-\frac{8\sqrt{3}}{3}$$

Итоговый ответ:
Объединяя оба случая:
$$a\in(-1-\sqrt{13}, -1+\sqrt{13}) \cup \{-\frac{8\sqrt{3}}{3} \}$$

Ответ: $a\in(-1-\sqrt{13},-1+\sqrt{13})\cup\{-\frac{8\sqrt{3}}{3}\}$