17. Планиметрическая задача: Окружности и четырехугольники

$а)$ Докажем равенство углов $\angle DMP$ и $\angle CBM$.

$1.$ Из параллельности $BC \parallel AD$ следует: $$\angle CBM = \angle MQD \quad \text{(как соответственные)}$$
$2.$ По свойству угла между касательной и хордой: $$\angle DMP = \frac{1}{2} \overset{\frown}{MP}$$
$3.$ По свойству вписанного угла: $$\angle MQD = \frac{1}{2} \overset{\frown}{MP}$$
$4.$ Следовательно: $$\angle DMP = \angle MQD = \angle CBM$$

$б)$ Найдем длину стороны $AD$.

$1.$ Пусть $O$ — центр окружности, $OK \perp AD$, $OL \perp BC$. Тогда: $$OL = CM = 17 \quad \text{(радиус окружности)}$$ $$MD = CD- CM = 25- 17 = 8$$
$2.$ В прямоугольном треугольнике $OPK$: $$PK = \sqrt{OP^2- OK^2} = \sqrt{17^2- 8^2} = 15$$
$3.$ Длина $PQ$: $$PQ = 2PK = 30$$
$4.$ Найдем отрезки: $$DK = OL = 17$$ $$PD = DK- PK = 17- 15 = 2$$ $$DQ = DP + PQ = 2 + 30 = 32$$
$5.$ Тангенс угла: $$\tg \angle DQM = \frac{MD}{DQ} = \frac{8}{32} = \frac{1}{4}$$
$6.$ Так как $\angle CBM = \angle DQM,$ то: $$AD = BC = CM \cdot \ctg \angle CBM = 17 \cdot 4 = 68$$

Ответ:
$а)$ Углы $\angle DMP$ и $\angle CBM$ равны, так как оба равны половине дуги $MP.$

$б)$ Длина стороны $AD$ равна $68,$ что получено через анализ геометрических свойств окружности и прямоугольника.

$а)$ Доказательство параллельности $O_1O_2 \parallel BC \parallel AD$:

$1.$ Центр $O_1$ равноудален от $AD$ и $BC$, значит лежит на средней линии трапеции.

$2.$ Центр $O_2$ также равноудален от $AD$ и $BC$, поэтому тоже лежит на средней линии.

$3.$ Поскольку оба центра находятся на средней линии, которая параллельна основаниям, то $O_1O_2 \parallel BC \parallel AD$.

$б)$ Вычисление длины $O_1O_2{:}$

$1.$ Найдем среднюю линию трапеции:$$ KL = \frac{AD + BC}{2} = \frac{39 + 9}{2} = 24 $$

$2.$ Определим положения середин сторон:$$ K \text{ — середина } AB \Rightarrow AK = KB = \frac{AB}{2} = 5 $$ $$ L \text{ — середина } CD \Rightarrow CL = LD = \frac{CD}{2} = 15 $$
$3.$ Рассмотрим свойства прямоугольных треугольников: $$ \triangle AO_1B \text{ — прямоугольный} \Rightarrow KO_1 = \frac{AB}{2} = 5 $$ $$ \triangle CO_2D \text{ — прямоугольный} \Rightarrow LO_2 = \frac{CD}{2} = 15 $$
$4.$ Вычислим искомую длину: $$ O_1O_2 = KL-KO_1-LO_2 = 24-5-15 = 4 $$

Ответы:
$а)$ Прямая $O_1O_2$ параллельна основаниям $BC$ и $AD$ трапеции $ABCD$.

$б)$ Длина отрезка $O_1O_2$ равна $4$.

$а)$ Доказательство равенства отрезков $AE = AK$:

$1.$ В параллелограмме противоположные углы равны:
$$\angle ABC = \angle ADC$$
$2.$ Углы $\angle ABE$ и $\angle ADK$ опираются на дуги $\stackrel{\frown}{AE}$ и $\stackrel{\frown}{AK}$ соответственно. Так как $\angle ABE = \angle ADC,$ то:
$$\stackrel{\frown}{AE} = \stackrel{\frown}{AK}$$
$3.$ Хорды, стягивающие равные дуги, равны: $$AE = AK$$

$б)$ Нахождение длины стороны $AD{:}$

$1.$ Свойства параллелограмма:$$AB = CD \quad \text{и} \quad AD = BC$$
$2.$ Из параллельности $BC \parallel AD$ следует:$$\angle EAD = \angle AEB \Rightarrow DE = AB = CD$$
$3.$ Найдем длину $CD$ через тригонометрию:$$CM = \frac{CE}{2} = 24$$ $$CD = \frac{CM}{\cos \angle BAD} = \frac{24}{0.4} = 60$$
$4.$ Вычислим $CK$: $$CK = CD-DK = 60-20 = 40$$

$5.$ Применим свойство секущих: $$CK \cdot CD = CE \cdot CB$$ $$40 \cdot 60 = 48 \cdot CB \Rightarrow CB = 50$$Так как $AD = CB,$ то: $$AD = 50$$

Ответы:
$а)$ Отрезки $AE$ и $AK$ равны.

$б)$ Длина стороны $AD$ равна $50.$

$а)$ Доказательство равенства отрезков $BE = BK$:

$1.$ В параллелограмме противоположные углы равны:
$$\angle BAE = \angle BCD$$
$2.$ Эти углы являются вписанными и опираются на дуги $\stackrel{\frown}{BE}$ и $\stackrel{\frown}{BK}$ соответственно:
$$\stackrel{\frown}{BE} = \stackrel{\frown}{BK}$$
$3.$ Хорды, стягивающие равные дуги, равны:
$$BE = BK$$

$б)$ Нахождение отношения $\dfrac{KE}{AC}$:

$1.$ Найдем угол $\angle BAD$:
$$\angle BAD = 180^\circ-\angle ABC = 45^\circ$$
$2.$ Определим градусные меры дуг:
$$\stackrel{\frown}{BK} = \stackrel{\frown}{BE} = 2 \cdot 45^\circ = 90^\circ$$ $$\stackrel{\frown}{KE} = 360^\circ-2 \cdot 90^\circ = 180^\circ$$
$3.$ Угол $\angle KBE$ как вписанный:$$\angle KBE = \frac{180^\circ}{2} = 90^\circ$$
$4.$ Применим теорему синусов для треугольников $ABC$ и $BKE$: $$\frac{AC}{\sin 135^\circ} = 2R = \frac{KE}{\sin 90^\circ}$$ $$\frac{AC}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{KE}{1}$$ $$KE = AC \cdot \sqrt{2}$$ $$\frac{KE}{AC} = \sqrt{2}$$

Ответы:
$а)$ Отрезки $BE$ и $BK$ равны.

$б)$ Отношение $\dfrac{KE}{AC}$ равно $\sqrt{2}.$

$а)$ Доказательство подобия треугольников $CBK \sim CHP$:

$1.$ По теореме об угле между касательной и хордой:$$\angle BKC = \angle KPC$$
$2.$ Оба треугольника прямоугольные:$$\angle CBK = \angle CHP = 90^\circ$$
$3.$ По двум углам треугольники подобны:$$CBK \sim CHP$$

$б)$ Нахождение площади прямоугольника:

$1.$ Аналогично доказываем подобие: $$CHK \sim CDP$$
$2.$ Записываем пропорции: $$\frac{CB}{CK} = \frac{CH}{CP}, \quad \frac{CH}{CK} = \frac{CD}{CP}$$
$3.$ Перемножаем пропорции: $$CB \cdot CP \cdot CK \cdot CD = CH^2 \cdot CK \cdot CP$$
$4.$ Упрощаем выражение: $$CB \cdot CD = CH^2$$
$5.$ Подставляем значение $CH$: $$S_{ABCD} = CB \cdot CD = 7^2 = 49$$

Ответы

$а)$ Треугольники $CBK$ и $CHP$ подобны.

$б)$ Площадь прямоугольника $ABCD$ равна $49.$