18. Планиметрическая задача: #197725

$а)$ Доказательство параллельности $O_1O_2 \parallel BC \parallel AD$:

$1.$ Центр $O_1$ равноудален от $AD$ и $BC$, значит, лежит на средней линии трапеции.

$2.$ Центр $O_2$ также равноудален от $AD$ и $BC$, поэтому тоже лежит на средней линии.

$3.$ Поскольку оба центра находятся на средней линии, которая параллельна основаниям, то $O_1O_2 \parallel BC \parallel AD$.

$б)$ Вычисление длины $O_1O_2{:}$

$1.$ Найдем среднюю линию трапеции:$$ KL = \frac{AD + BC}{2} = \frac{39 + 9}{2} = 24 $$

$2.$ Определим положения середин сторон:$$ K \text{ — середина } AB \Rightarrow AK = KB = \frac{AB}{2} = 5 $$ $$ L \text{ — середина } CD \Rightarrow CL = LD = \frac{CD}{2} = 15 $$
$3.$ Рассмотрим свойства прямоугольных треугольников: $$ \triangle AO_1B \text{ — прямоугольный} \Rightarrow KO_1 = \frac{AB}{2} = 5 $$ $$ \triangle CO_2D \text{ — прямоугольный} \Rightarrow LO_2 = \frac{CD}{2} = 15 $$
$4.$ Вычислим искомую длину: $$ O_1O_2 = KL-KO_1-LO_2 = 24-5-15 = 4 $$

Ответы:
$а)$ Прямая $O_1O_2$ параллельна основаниям $BC$ и $AD$ трапеции $ABCD$.

$б)$ Длина отрезка $O_1O_2$ равна $4$.