18. Планиметрическая задача: #197726

$а)$ Доказательство равенства отрезков $AE = AK$:

$1.$ В параллелограмме противоположные углы равны:
$$\angle ABC = \angle ADC$$
$2.$ Углы $\angle ABE$ и $\angle ADK$ опираются на дуги $\stackrel{\frown}{AE}$ и $\stackrel{\frown}{AK}$ соответственно. Так как $\angle ABE = \angle ADC,$ то:
$$\stackrel{\frown}{AE} = \stackrel{\frown}{AK}$$
$3.$ Хорды, стягивающие равные дуги, равны: $$AE = AK$$

$б)$ Нахождение длины стороны $AD{:}$

$1.$ Свойства параллелограмма:$$AB = CD \quad \text{и} \quad AD = BC$$
$2.$ Из параллельности $BC \parallel AD$ следует:$$\angle EAD = \angle AEB \Rightarrow DE = AB = CD$$
$3.$ Найдем длину $CD$ через тригонометрию:$$CM = \frac{CE}{2} = 24$$ $$CD = \frac{CM}{\cos \angle BAD} = \frac{24}{0.4} = 60$$
$4.$ Вычислим $CK$: $$CK = CD-DK = 60-20 = 40$$

$5.$ Применим свойство секущих: $$CK \cdot CD = CE \cdot CB$$ $$40 \cdot 60 = 48 \cdot CB \Rightarrow CB = 50$$Так как $AD = CB,$ то: $$AD = 50$$

Ответы:
$а)$ Отрезки $AE$ и $AK$ равны.

$б)$ Длина стороны $AD$ равна $50.$