Карточки
Тесты
Главная
Курсы
Подписка
18. Планиметрическая задача: #197728
Окружность проходит через вершины $A,$ $B$ и $C$ параллелограмма $ABCD$ и пересекает продолжение стороны $AD$ в точке $E,$ а продолжение стороны $CD$ в точке $K.$
$а)$ Докажите, что отрезки $BE$ и $BK$ равны.
$б)$ Найдите отношение $KE$ к $AC,$ если $\angle ABC = 135^\circ.$
$а)$ Доказательство равенства отрезков $BE = BK$:
$1.$ В параллелограмме противоположные углы равны:
$$\angle BAE = \angle BCD$$
$2.$ Эти углы являются вписанными и опираются на дуги $\stackrel{\frown}{BE}$ и $\stackrel{\frown}{BK}$ соответственно:
$$\stackrel{\frown}{BE} = \stackrel{\frown}{BK}$$
$3.$ Хорды, стягивающие равные дуги, равны:
$$BE = BK$$
$б)$ Нахождение отношения $\dfrac{KE}{AC}$:
$1.$ Найдем угол $\angle BAD$:
$$\angle BAD = 180^\circ-\angle ABC = 45^\circ$$
$2.$ Определим градусные меры дуг:
$$\stackrel{\frown}{BK} = \stackrel{\frown}{BE} = 2 \cdot 45^\circ = 90^\circ$$ $$\stackrel{\frown}{KE} = 360^\circ-2 \cdot 90^\circ = 180^\circ$$
$3.$ Угол $\angle KBE$ как вписанный:$$\angle KBE = \frac{180^\circ}{2} = 90^\circ$$
$4.$ Применим теорему синусов для треугольников $ABC$ и $BKE$: $$\frac{AC}{\sin 135^\circ} = 2R = \frac{KE}{\sin 90^\circ}$$ $$\frac{AC}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{KE}{1}$$ $$KE = AC \cdot \sqrt{2}$$ $$\frac{KE}{AC} = \sqrt{2}$$
Ответы:
$а)$ Отрезки $BE$ и $BK$ равны.
$б)$ Отношение $\dfrac{KE}{AC}$ равно $\sqrt{2}.$
20
