Карточки
Тесты
Главная
Курсы
Подписка
18. Планиметрическая задача: #197729
Окружность проходит через вершину $C$ прямоугольника $ABCD$ и касается его сторон $AB$ и $AD$ в точках $K$ и $P$ соответственно. К хорде $KP$ проведен перпендикуляр $CH.$
$а)$ Докажите, что треугольники $CBK$ и $CHP$ подобны.
$б)$ Найдите площадь прямоугольника $ABCD,$ если $CH = 7.$
$а)$ Доказательство подобия треугольников $CBK \sim CHP$:
$1.$ По теореме об угле между касательной и хордой:$$\angle BKC = \angle KPC$$
$2.$ Оба треугольника прямоугольные:$$\angle CBK = \angle CHP = 90^\circ$$
$3.$ По двум углам треугольники подобны:$$CBK \sim CHP$$
$б)$ Нахождение площади прямоугольника:
$1.$ Аналогично доказываем подобие: $$CHK \sim CDP$$
$2.$ Записываем пропорции: $$\frac{CB}{CK} = \frac{CH}{CP}, \quad \frac{CH}{CK} = \frac{CD}{CP}$$
$3.$ Перемножаем пропорции: $$CB \cdot CP \cdot CK \cdot CD = CH^2 \cdot CK \cdot CP$$
$4.$ Упрощаем выражение: $$CB \cdot CD = CH^2$$
$5.$ Подставляем значение $CH$: $$S_{ABCD} = CB \cdot CD = 7^2 = 49$$
Ответы
$а)$ Треугольники $CBK$ и $CHP$ подобны.
$б)$ Площадь прямоугольника $ABCD$ равна $49.$
20
