18. Планиметрическая задача: #211350

$а)$ Докажем, что точка $E$ лежит на окружности, описанной вокруг трапеции $ABCD.$ В самом деле, углы $BEC$ и $BDA$ равны как углы с соответственно перпендикулярными сторонами, а углы $BDA$ и $BDC$ равны как опирающиеся на равные дуги. Следовательно, $\angle BEC = \angle BDC,$ а потому и точки $B, E, D, C$ лежат на одной окружности. Тогда углы $BEA$ и $BDA$ равны как опирающиеся на одну дугу.

$б)$ По доказанному ранее углы $AEB, BDA, BDC$ равны, откуда $\angle A = \angle D = 2\angle AEB,$

$$\cos \angle A = \cos 2\angle AEB = 2\cos^2 \angle AEB -1 = \frac{7}{25}$$ Пусть $K$ — точка пересечения $AD$ и $BE,$ тогда из прямоугольного треугольника $ABK$ получаем: $$AK = 50 \cdot \frac{7}{25} = 14 \quad \text{и} \quad BK = \sqrt{50^2 -14^2} = 48$$ Трапеция $ABCD$ — равнобедренная, а $BK$ — ее высота, поэтому средняя линия трапеции равна $BC + AK = 64.$ Окончательно получаем: $$S_{ABCD} = 64 \cdot 48 = 3\space072$$ Ответ:
$а)$ Углы $AEB$ и $BDA$ равны.
$б)$ Площадь трапеции равна $3\space072.$