Карточки
Тесты
Главная
Курсы
Подписка
18. Планиметрическая задача: #211356
Окружность проходит через вершину $C$ прямоугольника $ABCD$ и касается его сторон $AB$ и $AD$ в точках $K$ и $P$ соответственно. К хорде $KP$ проведен перпендикуляр $CH.$
$а)$ Докажите, что треугольники $CBK$ и $CHP$ подобны.
$б)$ Найдите площадь прямоугольника $ABCD,$ если $CH = 7.$
$а)$ По теореме об угле между касательной и хордой $\angle BKC = \angle KPC.$ Из этого следует, что прямоугольные треугольники $CBK$ и $CHP$ подобны по двум углам.
$б)$ Аналогично пункту $а)$ доказывается подобие прямоугольных треугольников $CHK$ и $CDP.$ Тогда верны равенства: $$\frac{CB}{CH} = \frac{CK}{CP} \quad \text{и} \quad \frac{CD}{CH} = \frac{CP}{CK}$$ откуда $$CB \cdot CP = CH \cdot CK \quad \text{и} \quad CD \cdot CK = CH \cdot CP$$ Перемножая полученные выражения, получаем $$CB \cdot CP \cdot CD \cdot CK = CH \cdot CK \cdot CH \cdot CP \Rightarrow CB \cdot CD = CH^2$$ откуда $S_{ABCD} = CB \cdot CD = CH^2 = 49.$
Ответ:
$а)$ Треугольники $CBK$ и $CHP$ подобны.
$б)$ Площадь прямоугольника $ABCD$ равна $49.$
20
