Карточки
Тесты
Главная
Курсы
Подписка
18. Планиметрическая задача: #211357
Точка $O$ — центр вписанной в треугольник $ABC$ окружности. Прямая $OB$ вторично пересекает описанную около этого треугольника окружность в точке $P.$
$а)$ Докажите, что $OP = AP.$
$б)$ Найдите расстояние от точки $P$ до прямой $AC,$ если $\angle ABC = 120^\circ,$ а радиус описанной окружности равен $18.$
$а)$ Обозначим углы треугольника $ABC: \angle A = 2\alpha, \angle B = 2\beta, \angle C = 2\gamma.$ Заметим, что $2\alpha + 2\beta + 2\gamma = 180^\circ.$ $\angle BPA = \angle ACB = 2\gamma,$ как вписанные углы, опирающиеся на одну дугу. Аналогично $\angle CAP = \angle CBP = \beta.$ Тогда $\angle AOP = 180^\circ- \alpha -\beta -2\gamma = \alpha + \beta.$ Но $\alpha + \beta = \angle CAP;$ следовательно, треугольник $AOP$ — равнобедренный, а тогда $AP = OP.$
$б)$ Сумма противоположных углов вписанного четырехугольника равна $180^\circ,$ следовательно, $\angle APC = 180^\circ -120^\circ = 60^\circ,$ $AP = PC,$ как хорды, стягивающие равные дуги. Следовательно, треугольник $APC$ равносторонний. Искомое расстояние $d$ равно его высоте: $d = \dfrac{\sqrt{3}AC}{2}.$
По теореме синусов: $$AC = 2R \sin \angle ABC = 36 \cdot \dfrac{\sqrt{3}}{2} = 18\sqrt{3}$$ Следовательно, $d = \dfrac{\sqrt{3} \cdot 18\sqrt{3}}{2} = 27.$
Ответ:
$а)$ $OP = AP.$
$б)$ Расстояние от точки $P$ до прямой $AC$ равно $27.$
20
