18. Планиметрическая задача: #211358

$а)$ По условию, четырехугольник $PBCQ$ вписанный. Значит, $\angle BCQ + \angle BPQ = 180^\circ.$ Отрезок $MN$ — средняя линия трапеции $ABCD,$ она параллельна основанию $BC,$ а тогда $\angle BCQ + \angle QNM = 180^\circ$ как односторонние углы при параллельных прямых. Следовательно, $\angle BPQ = \angle QNM.$ Для смежных углов справедливо равенство $\angle BPQ + \angle MPQ = 180^\circ,$ а значит, $\angle QNM + \angle MPQ = 180^\circ.$ В четырехугольнике $MPQN$ сумма противоположных углов равна $180^\circ,$ поэтому вокруг него можно описать окружность. Таким образом, точки $M, N, P$ и $Q$ лежат на одной окружности, что и требовалось доказать.

$б)$ Пусть $\angle PMN = \angle PAD = \alpha$ (эти углы равны как соответственные углы при параллельных прямых). В пункте a) было показано, что $\angle QNM + \angle MPQ = 180^\circ,$ это означает, что $\angle QDA + \angle MPQ = 180^\circ$ и, следовательно, точки $A, D, P$ и $Q$ тоже лежат на одной окружности.

Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу окружности, равны. Следовательно, $\angle PBQ = \angle PCQ$ и $\angle PAQ = \angle PDQ.$ Значит, треугольники $DPC$ и $AQB$ подобны по двум углам. Следовательно, $\angle DPC = \angle AQB = 90^\circ,$ поскольку по условию $AQ$ и $BQ$ перпендикулярны.

В прямоугольном треугольнике $CPD$ точка $N$ — середина гипотенузы. Следовательно, $PN = CN = ND = \dfrac{CD}{2} = \dfrac{17}{2} = 8.5.$ С другой стороны, средняя линия трапеции $MN = \dfrac{AD + BC}{2} = \dfrac{9 + 1}{2} = 5.$

Покажем, что угол $\alpha$ — прямой. Для этого на отрезке $AD$ отметим точку $E,$ так что $ED = BC = 1,$ тогда $AE = 8, BE = 17.$ Заметим, что $BE^2 = AE^2 + AB^2,$ следовательно, по теореме, обратной теореме Пифагора, треугольник $ABE$ прямоугольный, с прямым углом $BAE.$ Значит, треугольник $PNM$ также прямоугольный. Применяя теорему Пифагора, получаем:

$$PM = \sqrt{PN^2-MN^2} = \sqrt{\dfrac{289}{4}-25} = \sqrt{\dfrac{189}{4}} = \dfrac{3\sqrt{21}}{2}$$

Ответ:
$а)$ Точки $M, N, P$ и $Q$ лежат на одной окружности.
$б)$ $PM = \dfrac{3\sqrt{21}}{2}.$