18. Планиметрическая задача: #211359

$a)$ Пусть угол $BPQ$ равен $\gamma.$ Четырехугольник $PBCQ$ вписанный, сумма его противоположных углов равна $180^\circ,$ поэтому $\angle BCQ = 180^\circ-\gamma.$ Угол $MPQ$ смежный с углом $BPQ,$ поэтому $\angle MPQ = 180^\circ \gamma.$ Отрезок $MN$ — средняя линия трапеции $ABCD,$ она параллельна $BC,$ поэтому $\angle MNC = 180^\circ \angle BCN = 180^\circ (180^\circ \gamma) = \gamma.$ Тем самым в четырехугольнике $MPQN$ сумма противоположных углов равна $180^\circ$: $\angle MPQ + \angle MON = 180^\circ \gamma + \gamma = 180^\circ,$ а значит, он вписанный.

$б)$ В прямоугольном треугольнике $CPD$ проведенная к гипотенузе медиана равна ее половине: $$PN = \frac{25}{2}$$
Средняя линия трапеции равна полусумме оснований: $$MN = \frac{21.5 + 4.5}{2} = 13$$
Через вершину трапеции $B$ проведем прямую, параллельную боковой стороне $CD,$ пусть $L$ — точка ее пересечения с основанием $AD.$ Стороны треугольника $ABL$ равны $26, 17$ и $25.$ Найдем его площадь по формуле Герона, затем найдем высоту $h,$ проведенную к стороне $AL,$ она будет являться также высотой трапеции $ABCD{:}$

$$h = \frac{2S}{AL} = \frac{2\sqrt{34 \cdot 8 \cdot 17 \cdot 9}}{17} = 24$$

Отсюда находим: $$\sin \angle BAD = \frac{h}{AB} = \frac{12}{13}, \quad \sin \angle CDA = \frac{h}{CD} = \frac{24}{25}$$

Поскольку $\angle PMN = \angle BAD,$ по теореме синусов для треугольника $MPN$ найдем радиус окружности, описанной около треугольника $MPQ{:}$

$$R = \frac{PN}{2\sin \angle PMN} = \frac{25}{4 \cdot \frac{12}{13}} = \frac{325}{48}$$

$\angle QNM = \angle CDA,$ поэтому можно найти $MQ$ по теореме синусов для треугольника $MQN$: $$MQ = 2R \sin \angle QNM = 2 \cdot \frac{325}{48} \cdot \frac{24}{25} = 13$$

Таким образом, треугольник $MQN$ равнобедренный, тогда: $$QN = 2MN \cos \angle MNQ = 2 \cdot 13 \cdot \sqrt{1 -\left( \frac{24}{25} \right)^2} = 26 \cdot \frac{\sqrt{25^2- 24^2}}{25} = 26 \cdot \frac{7}{25} = \frac{182}{25}$$ Ответ:
$а)$ Точки $M, N, P$ и $Q$ лежат на одной окружности.
$б)$ $QN = \dfrac{182}{25}.$