18. Планиметрическая задача: #211365

$а)$ Пусть $O$ — центр окружности, вписанной в прямоугольную трапецию $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$, $O_1$ — центр окружности, касающейся большей боковой стороны и продолжений оснований трапеции.

Точка $O$ лежит на биссектрисах углов $BCD$ и $ADC$, следовательно: $$\angle COD = 180^\circ -\frac{1}{2} \angle BCD -\frac{1}{2} ADC = 90^\circ.$$

Точка $O_1$ лежит на биссектрисе угла, смежного с углом $BCD$, значит, $\angle OCO_1 = 90^\circ.$

Аналогично, углы $CO_1D$ и $ODO_1$ — прямые. Значит, $OCO_1D$ — прямоугольник, поэтому $CD = OO_1.$

$б)$ Пусть окружность, вписанная в трапецию $ABCD$, касается стороны $AD$ в точке $P$, а стороны $CD$ — в точке $M$, вторая окружность касается прямой $AD$ в точке $Q.$

Радиусы окружностей $OP$ и $O_1Q$ равны половине расстояния между параллельными прямыми $AD$ и $BC$. Получаем, что $OO_1QP$ — прямоугольник, следовательно, $OO_1 = PQ.$

В прямоугольном треугольнике $COD$ имеем: $$OM = \sqrt{CM \cdot MD} = 10$$ $$AQ = AP + PQ = OP + OO_1 = OM + CD = 62$$

В прямоугольном треугольнике $AQQ_1$ имеем: $$AO_1 = \sqrt{AQ^2 + QO_1^2} = 2\sqrt{986}$$

Расстояние от вершины прямого угла трапеции до центра второй окружности равно: $$BO_1 = AO_1 = 2\sqrt{986}$$ Ответ:
$а)$ Расстояние между центрами окружностей равно большей боковой стороне трапеции.
$б)$ $2\sqrt{986}.$