18. Планиметрическая задача: #197724

$а)$ Докажем равенство углов $\angle DMP$ и $\angle CBM$.

$1.$ Из параллельности $BC \parallel AD$ следует: $$\angle CBM = \angle MQD \quad \text{(как соответственные)}$$
$2.$ По свойству угла между касательной и хордой: $$\angle DMP = \frac{1}{2} \overset{\frown}{MP}$$
$3.$ По свойству вписанного угла: $$\angle MQD = \frac{1}{2} \overset{\frown}{MP}$$
$4.$ Следовательно: $$\angle DMP = \angle MQD = \angle CBM$$

$б)$ Найдем длину стороны $AD$.

$1.$ Пусть $O$ — центр окружности, $OK \perp AD$, $OL \perp BC$. Тогда: $$OL = CM = 17 \quad \text{(радиус окружности)}$$ $$MD = CD- CM = 25- 17 = 8$$
$2.$ В прямоугольном треугольнике $OPK$: $$PK = \sqrt{OP^2- OK^2} = \sqrt{17^2- 8^2} = 15$$
$3.$ Длина $PQ$: $$PQ = 2PK = 30$$
$4.$ Найдем отрезки: $$DK = OL = 17$$ $$PD = DK- PK = 17- 15 = 2$$ $$DQ = DP + PQ = 2 + 30 = 32$$
$5.$ Тангенс угла: $$\tg \angle DQM = \frac{MD}{DQ} = \frac{8}{32} = \frac{1}{4}$$
$6.$ Так как $\angle CBM = \angle DQM,$ то: $$AD = BC = CM \cdot \ctg \angle CBM = 17 \cdot 4 = 68$$

Ответ:
$а)$ Углы $\angle DMP$ и $\angle CBM$ равны, так как оба равны половине дуги $MP.$

$б)$ Длина стороны $AD$ равна $68,$ что получено через анализ геометрических свойств окружности и прямоугольника.