20. Текстовые задачи: Задачи на совместную работу
Заказ на $110$ деталей первый рабочий выполняет на $1$ час быстрее, чем второй. Сколько деталей в час делает второй рабочий, если известно, что первый за час делает на $1$ деталь больше?
$1.$ Пусть $x$ — производительность второго рабочего (деталей/час).
$2.$ Тогда $(x+1)$ — производительность первого рабочего.
$3.$ Время работы второго рабочего: $\dfrac{110}{x}$ часов.
$4.$ Время работы первого рабочего: $\dfrac{110}{x+1}$ часов.
$5.$ По условию: $$\frac{110}{x}-\frac{110}{x+1} = 1$$ $6.$ Решаем уравнение: $$\frac{110}{x}-\frac{110}{x+1} = 1$$ $$110(x+1)-110x = x(x+1)$$ $$110x + 110-110x = x^2 + x$$ $$110 = x^2 + x$$ $$x^2 + x-110 = 0$$ $7.$ Решаем квадратное уравнение:
$$D = 1^2 + 4 \cdot 110 = 441$$ $$x_1 = \frac{-1 + \sqrt{441}}{2} = \frac{-1 + 21}{2} = 10$$ $$x_2 = \frac{-1-\sqrt{441}}{2} = \frac{-1-21}{2} = -11$$ $x_2$ — неподходит.
Ответ: второй рабочий делает $10$ деталей в час.
Заказ на $156$ деталей первый рабочий выполняет на $1$ час быстрее, чем второй. Сколько деталей в час делает первый рабочий, если известно, что он за час делает на $1$ деталь больше?
$1.$ Пусть $n$ — производительность первого рабочего (деталей/час).
$2.$ Тогда $(n-1)$ — производительность второго рабочего.
$3.$ Время работы первого рабочего: $\dfrac{156}{n}$ часов.
$4.$ Время работы второго рабочего: $\dfrac{156}{n-1}$ часов.
$5.$ По условию: $$\frac{156}{n-1}-\frac{156}{n} = 1$$ $6.$ Решаем уравнение:$$\frac{156}{n-1}-\frac{156}{n} = 1$$ $$\frac{156n-156(n-1)}{n(n-1)} = 1$$ $$\frac{156n-156n + 156}{n(n-1)} = 1$$ $$\frac{156}{n(n-1)} = 1$$ $$156 = n(n-1)$$$$n^2-n-156 = 0$$ $7.$ Решаем квадратное уравнение: $$D = (-1)^2 + 4 \cdot 156 = 1 + 624 = 625$$ $$n_1 = \frac{1 + \sqrt{625}}{2} = \frac{1 + 25}{2} = 13$$ $$n_2 = \frac{1-\sqrt{625}}{2} = \frac{1-25}{2} = -12$$ $n_2$ — не подходит.$$
Ответ: первый рабочий делает $13$ деталей в час.
Двое рабочих, работая вместе, могут выполнить работу за $12$ дней. За сколько дней, работая отдельно, выполнит эту работу первый рабочий, если он за два дня выполняет такую же часть работы, какую второй — за три дня?
$1.$ Пусть $x$ — количество дней, за которые первый рабочий выполнит всю работу.
$2.$ Тогда второй рабочий выполнит всю работу за $1.5x$ дней (так как за $2$ дня первого = $3$ дня второго).
$3.$ Производительность первого рабочего: $\dfrac{1}{x}$ работы в день.
$4.$ Производительность второго рабочего: $\dfrac{1}{1.5x}$ работы в день.
$5.$ Общая производительность: $$\frac{1}{x} + \frac{1}{1.5x} = \frac{1.5 + 1}{1.5x} = \frac{2.5}{1.5x} = \frac{5}{3x}$$ $6.$ По условию, вместе они выполняют работу за $12$ дней:$$\frac{5}{3x} \cdot 12 = 1$$ $7.$ Решаем уравнение:$$\frac{60}{3x} = 1$$ $$20 = x$$ Ответ: первый рабочий выполнит работу за $20$ дней.
Первая труба пропускает на $1$ литр воды в минуту меньше, чем вторая. Сколько литров воды в минуту пропускает первая труба, если резервуар объемом $110$ литров она заполняет на $1$ минуту дольше, чем вторая труба?
$1.$ Пусть $k$ — производительность второй трубы (л/мин).
$2.$ Тогда $(k-1)$ — производительность первой трубы.
$3.$ Время заполнения первой трубой: $\dfrac{110}{k-1}$ минут.
$4.$ Время заполнения второй трубой: $\dfrac{110}{k}$ минут.
$5.$ По условию: $$\frac{110}{k-1}-\frac{110}{k} = 1$$ $6.$ Решаем уравнение:
$$\frac{110}{k-1}-\frac{110}{k} = 1$$ $$\frac{110k-110(k-1)}{k(k-1)} = 1$$ $$\frac{110k-110k + 110}{k(k-1)} = 1$$ $$\frac{110}{k(k-1)} = 1$$ $$110 = k(k-1)$$ $$k^2-k-110 = 0$$ $7.$ Решаем квадратное уравнение:
$$D = (-1)^2 + 4 \cdot 110 = 1 + 440 = 441$$ $$k_1 = \frac{1 + \sqrt{441}}{2} = \frac{1 + 21}{2} = 11$$ $$k_2 = \frac{1-\sqrt{441}}{2} = \frac{1-21}{2} = -10$$ $k_2$ — не подходит.
$8.$ Производительность второй трубы: $11$ литров/мин.
$9.$ Производительность первой трубы: $11-1 = 10$ литров/мин.
Ответ: первая труба пропускает $10$ литров воды в минуту.
Первая труба пропускает на $5$ литров воды в минуту меньше, чем вторая. Сколько литров воды в минуту пропускает вторая труба, если резервуар объемом $375$ литров она заполняет на $10$ минут быстрее, чем первая труба заполняет резервуар объемом $500$ литров?
$1.$ Пусть $x$ — производительность второй трубы (л/мин).
$2.$ Тогда $(x-5)$ — производительность первой трубы.
$3.$ Время заполнения второй трубой: $\dfrac{375}{x}$ минут.
$4.$ Время заполнения первой трубой: $\dfrac{500}{x-5}$ минут.
$5.$ По условию: $$\frac{500}{x-5}-\frac{375}{x} = 10$$ $6.$ Решаем уравнение:
$$\frac{500}{x-5}-\frac{375}{x} = 10$$ $$\frac{500x-375(x-5)}{x(x-5)} = 10$$ $$\frac{500x-375x + 1\space875}{x(x-5)} = 10$$ $$\frac{125x + 1\space875}{x(x-5)} = 10$$ $7.$ Умножаем обе части на $x(x-5){:}$ $$125x + 1\space875 = 10x(x-5)$$ $$125x + 1\space875 = 10x^2-50x$$ $$10x^2-175x-1\space875 = 0$$ $8.$ Делим уравнение на $5{:}$ $$2x^2-35x-375 = 0$$ $9.$ Решаем квадратное уравнение: $$D = (-35)^2 + 4 \cdot 2 \cdot 375 = 1\space225 + 3\space000 = 4\space225$$ $$x_1 = \frac{35-\sqrt{4\space225}}{4} = \frac{35-65}{4} = -\frac{30}{4}$$ $x_1$ — не подходит. $$x_2 = \frac{35 + \sqrt{4\space225}}{4} = \frac{35 + 65}{4} = 25$$ Ответ: вторая труба пропускает $25$ литров воды в минуту.
Каждый из двух рабочих одинаковой квалификации может выполнить заказ за $15$ часов. Через $3$ часа после того, как один из них приступил к выполнению заказа, к нему присоединился второй рабочий, и работу над заказом они довели до конца уже вместе. Сколько часов потребовалось на выполнение всего заказа?
$1.$ Примем весь заказ за $1.$
$2.$ Производительность каждого рабочего: $\dfrac{1}{15}$ заказа в час.
$3.$ За первые $3$ часа первый рабочий выполнил:
$$\dfrac{1}{15} \cdot 3 = \dfrac{3}{15} = \dfrac{1}{5} \spaceзаказа$$
$4.$ Когда работали вдвоем, их общая производительность:
$$\dfrac{1}{15} + \dfrac{1}{15} = \dfrac{2}{15}\space заказа\space в\space час$$
$5.$ Осталось выполнить:
$$1-\dfrac{1}{5} = \dfrac{5}{5}-\dfrac{1}{5} = \dfrac{4}{5}\spaceзаказа$$
$6.$ Время совместной работы:
$$\dfrac{4}{5} : \dfrac{2}{15} = \dfrac{4}{5} \cdot \dfrac{15}{2} = \dfrac{60}{10} = 6\spaceчасов$$
$7.$ Общее время выполнения заказа:
$$3 + 6 = 9\spaceчасов$$ Ответ: на выполнение всего заказа потребовалось $9$ часов.
Один мастер может выполнить заказ за $12$ часов, а другой — за $6$ часов. За сколько часов выполнят заказ оба мастера, работая вместе?
$1.$ Примем весь заказ за $1.$
$2.$ Производительность первого мастера: $\dfrac{1}{12}$ заказа в час.
$3.$ Производительность второго мастера: $\dfrac{1}{6}$ заказа в час.
$4.$ Общая производительность при совместной работе:
$$\frac{1}{12} + \frac{1}{6} = \frac{1}{12} + \frac{2}{12} = \frac{3}{12} = \frac{1}{4}\spaceзаказа\spaceв\spaceчас$$
$5.$ Время выполнения заказа при совместной работе:
$$1 : \frac{1}{4} = 1 \cdot 4 = 4\spaceчаса$$ Ответ: работая вместе, оба мастера выполнят заказ за $4$ часа.
Даша и Маша пропалывают грядку за $12$ минут, а одна Маша — за $20$ минут. За сколько минут пропалывает грядку одна Даша?
$1.$ Примем всю работу по прополке грядки за $1.$
$2.$ Производительность Маши: $\dfrac{1}{20}$ грядки в минуту.
$3.$ Производительность Даши и Маши вместе: $\dfrac{1}{12}$ грядки в минуту.
$4.$ Пусть производительность Даши равна $\dfrac{1}{x}$ грядки в минуту
$5.$ Составим уравнение: $$\frac{1}{20} + \frac{1}{x} = \frac{1}{12}$$ $$6.$ Решаем уравнение:
$$\frac{1}{20} + \frac{1}{x} = \frac{1}{12}$$ $$\frac{120}{20} + \frac{120}{x} = \frac{120}{12}$$ $$6 + \frac{120}{x} = 10$$ $$\frac{120}{x} = 4$$ $$x = \frac{120}{4}$$ $$x = 30$$ Ответ: Даша пропалывает грядку за $30$ минут.
Первый насос наполняет бак за $20$ минут, второй — за $30$ минут, а третий — за $1$ час. За сколько минут наполнят бак три насоса, работая одновременно?
$1.$ Примем весь бак за $1.$
$2.$ Производительность первого насоса: $\dfrac{1}{20}$ бака в минуту.
$3.$ Производительность второго насоса: $\dfrac{1}{30}$ бака в минуту.
$4.$ Производительность третьего насоса: $\dfrac{1}{60}$ бака в минуту.
$5.$ Общая производительность при совместной работе в минуту:
$$\frac{1}{20} + \frac{1}{30} + \frac{1}{60} = \frac{3}{60} + \frac{2}{60} + \frac{1}{60} = \frac{6}{60} = \frac{1}{10}$$ $6.$ Время наполнения бака при совместной работе:
$$1 : \dfrac{1}{10} = 1 \cdot 10 = 10\spaceминут$$ Ответ: три насоса, работая одновременно, наполнят бак за $10$ минут.
Петя и Ваня выполняют одинаковый тест. Петя отвечает за час на $8$ вопросов теста, а Ваня — на $9.$ Они одновременно начали отвечать на вопросы теста, и Петя закончил свой тест позже Вани на $20$ минут. Сколько вопросов содержит тест?
$1.$ Пусть $x$ — количество вопросов в тесте.
$2.$ Время Пети на выполнение теста: $\dfrac{x}{8}$ часов.
$3.$ Время Вани на выполнение теста: $\dfrac{x}{9}$ часов.
$4.$ Переведем $20$ минут в часы:
$$\dfrac{20}{60} = \dfrac{1}{3}$$ $5.$ Составим уравнение: $$\frac{x}{8}-\frac{x}{9} = \frac{1}{3}$$ $6.$ Решаем уравнение: $$\frac{9x-8x}{72} = \frac{1}{3}$$ $$\frac{x}{72} = \frac{1}{3}$$ $$x = \frac{72}{3}$$ $$x = 24$$ Ответ: тест содержит $24$ вопроса.