20. Текстовые задачи: #193522

$1.$ Пусть $k$ — производительность второй трубы (л/мин).

$2.$ Тогда $(k-1)$ — производительность первой трубы.

$3.$ Время заполнения первой трубой: $\dfrac{110}{k-1}$ минут.

$4.$ Время заполнения второй трубой: $\dfrac{110}{k}$ минут.

$5.$ По условию: $$\frac{110}{k-1}-\frac{110}{k} = 1$$ $6.$ Решаем уравнение:
$$\frac{110}{k-1}-\frac{110}{k} = 1$$ $$\frac{110k-110(k-1)}{k(k-1)} = 1$$ $$\frac{110k-110k + 110}{k(k-1)} = 1$$ $$\frac{110}{k(k-1)} = 1$$ $$110 = k(k-1)$$ $$k^2-k-110 = 0$$ $7.$ Решаем квадратное уравнение:
$$D = (-1)^2 + 4 \cdot 110 = 1 + 440 = 441$$ $$k_1 = \frac{1 + \sqrt{441}}{2} = \frac{1 + 21}{2} = 11$$ $$k_2 = \frac{1-\sqrt{441}}{2} = \frac{1-21}{2} = -10$$ $k_2$ не подходит.

$8.$ Производительность второй трубы: $11$ литров/мин.

$9.$ Производительность первой трубы: $11-1 = 10$ литров/мин.

Ответ: первая труба пропускает $10$ литров воды в минуту.