20. Текстовые задачи: Задачи на движение по воде

$1.$ Пусть время движения против течения: $(x+6)\ ч.$
$2.$ Время движения по течению: $x\ ч.$
$3.$ Скорость против течения: $11-v\ км/ч.$
$4.$ Скорость по течению: $11+v\ км/ч.$
$5.$ Составим уравнения:
$$\dfrac{112}{x+6} = 11-v$$ $$\dfrac{112}{x} = 11+v$$ $6.$ Сложим эти уравнения: $$\frac{112}{x+6} + \frac{112}{x} = 22$$ $7.$ Упростим:
$$112x + 112(x+6) = 22x(x+6)$$ $$56x + 56(x+6) = 11x(x+6)$$ $$56x + 56x + 336 = 11x^2 + 66x$$ $$11x^2-46x — 336 = 0$$ $8.$ Решаем квадратное уравнение: $$D = (-46)^2-4 \cdot 11 \cdot (-336) = 16\space900$$ $$\sqrt{D} = 130$$ $9.$ Находим корни: $$x_1 = \frac{46 + 130}{22} = 8$$ $$x_2 = \frac{46-130}{22} = -\frac{42}{11}$$ $10.$ Берем положительный корень $x = 8.$
$11.$ Находим скорость течения:$$\frac{112}{8} = 11+v$$ $$14 = 11+v$$ $$v = 3\ км/ч$$ Ответ: скорость течения равна $3\ км/ч.$

$1.$ Скорость против течения: $x-1\ км/ч.$

$2.$ Скорость по течению: $x+1\ км/ч.$

$3.$ Время против течения: $\dfrac{255}{x-1}\ ч.$

$4.$ Время по течению: $\dfrac{255}{x+1}\ ч.$

$5.$ Составим уравнение:
$$\frac{255}{x-1}-\frac{255}{x+1} = 2$$ $6.$ Приводим к общему знаменателю: $$\frac{255(x+1)-255(x-1)}{(x-1)(x+1)} = 2$$ $7.$ Упрощаем числитель: $$\frac{255x + 255-255x + 255}{x^2-1} = 2$$ $8.$ Получаем: $$\frac{510}{x^2-1} = 2$$ $9.$ Решаем:$$510 = 2(x^2-1)$$ $$255 = x^2-1$$ $$x^2 = 256$$ $$x = 16$$ Ответ: скорость лодки в неподвижной воде равна $16\ км/ч.$

$1.$ Найдем общее время в пути:
$18:00-10:00-2.5\ ч = 5.5\ ч$

$2.$ Скорость против течения: $x-1\ км/ч.$
$3.$ Скорость по течению: $x+1\ км/ч.$

$4.$ Составим уравнение:
$$\frac{30}{x-1} + \frac{30}{x+1} = 5.5$$ $5.$ Приводим к общему знаменателю:$$\frac{30(x+1) + 30(x-1)}{(x-1)(x+1)} = 5.5$$ $6.$ Упрощаем: $$\frac{30x + 30 + 30x-30}{x^2-1} = 5.5$$ $$\frac{60x}{x^2-1} = 5.5$$ $7.$ Решаем:
$$60x = 5.5(x^2-1)$$ $$60x = 5.5x^2-5.5$$ $$5.5x^2-60x-5.5 = 0$$ $8.$ Умножаем на 2 для удобства:$$11x^2-120x-11 = 0$$ $9.$ Решаем квадратное уравнение: $$x = \frac{60 \pm \sqrt{3\space600 + 121}}{11}$$ $$x = \frac{60 \pm 61}{11}$$ $10.$ Получаем корни: $$x_1 = \frac{121}{11} = 11$$ $$x_2 = \frac{-1}{11}$$ $x_2$ — не подходит.

Ответ: собственная скорость лодки равна $11\ км/ч.$

$1.$ Скорость по течению: $15 + u\ км/ч$
$2.$ Скорость против течения: $15-u\ км/ч$

$3.$ Время в пути без учета стоянки: $$40-10 = 30\ ч$$ $4.$ Составим уравнение: $$\frac{200}{15-u} + \frac{200}{15+u} = 30$$ $5.$ Приводим к общему знаменателю: $$\frac{200(15+u) + 200(15-u)}{(15-u)(15+u)} = 30$$ $6.$ Упрощаем: $$\frac{200 \cdot 15 + 200u + 200 \cdot 15-200u}{225-u^2} = 30$$ $$\frac{200 \cdot 30}{225-u^2} = 30$$ $7.$ Решаем:$$\frac{6\space000}{225-u^2} = 30$$ $$6\space000 = 30(225-u^2)$$ $$200 = 225-u^2$$ $$u^2 = 25$$ $$u = 5$$ Ответ: скорость течения реки равна $5\ км/ч.$

$1.$ Скорость по течению: $u + 1\ км/ч$
$2.$ Скорость против течения: $u-1\ км/ч$

$3.$ Время в пути без учета стоянки:
$$34-2 = 32\ ч$$ $4.$ Составим уравнение: $$\frac{255}{u+1} + \frac{255}{u-1} = 32$$ $5.$ Приводим к общему знаменателю: $$\frac{255(u-1) + 255(u+1)}{(u-1)(u+1)} = 32$$ $6.$ Упрощаем:$$\frac{255u-255 + 255u + 255}{u^2-1} = 32$$ $$\frac{510u}{u^2-1} = 32$$ $7.$ Решаем: $$510u = 32(u^2-1)$$ $$510u = 32u^2-32$$ $$32u^2-510u-32 = 0$$ $8.$ Решаем квадратное уравнение: $$u = \frac{510 \pm \sqrt{510^2 + 4 \cdot 32^2}}{2 \cdot 32}$$ $$u = \frac{510 \pm \sqrt{260\space100 + 4\space096}}{64}$$ $$u = \frac{510 \pm \sqrt{264\space196}}{64}$$ $$u = \frac{510 \pm 514}{64}$$ $9.$ Получаем корни:$$u_1 = \frac{1\space024}{64} = 16$$ $$u_2 = \frac{-4}{64} = -\frac{1}{16}$$ $u_2$ — не подходит.

Ответ: скорость теплохода в неподвижной воде равна $16\ км/ч.$

$1.$ Время в пути первого теплохода: $\dfrac{420}{v}.$

$2.$ Время в пути второго теплохода: $\dfrac{420}{v+1}.$

$3.$ Так как второй теплоход отправился на час позже, но прибыл одновременно, разница во времени равна $1$ $часу:$ $$\frac{420}{v}-\frac{420}{v+1} = 1$$ $4.$ Приводим к общему знаменателю: $$\frac{420(v+1)-420v}{v(v+1)} = 1$$ $5.$ Упрощаем: $$\frac{420v + 420-420v}{v(v+1)} = 1$$ $$\frac{420}{v(v+1)} = 1$$ $6.$ Решаем: $$420 = v(v+1)$$ $$v^2 + v-420 = 0$$ $7.$ Решаем квадратное уравнение: $$v = \frac{-1 \pm \sqrt{1 + 4 \cdot 420}}{2}$$ $$v = \frac{-1 \pm \sqrt{1\space681}}{2}$$ $$v = \frac{-1 \pm 41}{2}$$ $8.$ Получаем корни:
$$v_1 = \frac{40}{2} = 20$$ $$v_2 = \frac{-42}{2} = -21$$ $v_2$ — не подходит.

Ответ: скорость первого теплохода равна $20\ км/ч.$

$1.$ Время в пути первого теплохода: $\dfrac{110}{v}.$
$2.$ Время в пути второго теплохода: $\dfrac{110}{v+1}.$

$3.$ Так как второй теплоход отправился на час позже, но прибыл одновременно, разница во времени равна $1$ часу: $$\frac{110}{v}-\frac{110}{v+1} = 1$$ $4.$ Приводим к общему знаменателю: $$\frac{110(v+1)-110v}{v(v+1)} = 1$$ $5.$ Упрощаем: $$\frac{110v + 110-110v}{v(v+1)} = 1$$ $$\frac{110}{v(v+1)} = 1$$ $6.$ Решаем: $$110 = v(v+1)$$ $$v^2 + v-110 = 0$$ $7.$ Решаем квадратное уравнение: $$v = \frac{-1 \pm \sqrt{1 + 4 \cdot 110}}{2}$$ $$v = \frac{-1 \pm \sqrt{441}}{2}$$ $$v = \frac{-1 \pm 21}{2}$$ $8.$ Получаем корни:
$$v_1 = \frac{20}{2} = 10$$ $$v_2 = \frac{-22}{2} = -11$$ $v_2$ — не подходит.

Ответ: скорость первого теплохода равна $10\ км/ч$, следовательно, скорость второго теплохода: $10 + 1 = 11\ км/ч.$

$1.$ Скорость по течению: $7 + u\ км/ч.$
$2.$ Скорость против течения: $7-u\ км/ч.$
$3.$ Время в пути без учета стоянки: $$6-\frac{4}{3} = \frac{18}{3}-\frac{4}{3} = \frac{14}{3}\ ч$$ $4.$ Составим уравнение:$$\frac{15}{7-u} + \frac{15}{7+u} = \frac{14}{3}$$ $5.$ Приводим к общему знаменателю:$$\frac{15(7+u) + 15(7-u)}{(7-u)(7+u)} = \frac{14}{3}$$ $6.$ Упрощаем: $$\frac{15 \cdot 7 + 15u + 15 \cdot 7-15u}{49-u^2} = \frac{14}{3}$$ $$\frac{15 \cdot 14}{49-u^2} = \frac{14}{3}$$ $7.$ Решаем: $$\frac{210}{49-u^2} = \frac{14}{3}$$ $$210 \cdot 3 = 14(49-u^2)$$ $$630 = 686-14u^2$$ $$14u^2 = 56$$ $$u^2 = 4$$ $$u = 2$$ Ответ: скорость течения реки равна $2\ км/ч.$

$1.$ Время в пути из $A$ в $B{:}$ $\dfrac{390}{u}.$

$2.$ Время в пути из $B$ в $A{:}$ $\dfrac{390}{u+3}.$

$3.$ Составим уравнение:
$$\frac{390}{u} = \frac{390}{u+3} + 9$$ $4.$ Приводим к общему знаменателю:$$\frac{390}{u} = \frac{390 + 9(u+3)}{u+3}$$ $5.$ Упрощаем: $$\frac{390}{u} = \frac{390 + 9u + 27}{u+3}$$ $$\frac{390}{u} = \frac{417 + 9u}{u+3}$$ $6.$ Решаем: $$390(u+3) = u(417 + 9u)$$ $$390u + 1\space170 = 417u + 9u^2$$ $$9u^2 + 27u-1\space170 = 0$$ $$u^2 + 3u-130 = 0$$ $7.$ Решаем квадратное уравнение: $$u = \frac{-3 \pm \sqrt{9 + 520}}{2}$$ $$u = \frac{-3 \pm \sqrt{529}}{2}$$ $$u = \frac{-3 \pm 23}{2}$$ $8.$ Получаем корни: $$u_1 = \frac{20}{2} = 10$$ $$u_2 = \frac{-26}{2} = -13$$ $u_2$ — не подходит.
Ответ: скорость баржи на пути из $A$ в $B$ равна $10\ км/ч.$

$1.$ Время движения на яхте: $\dfrac{x}{20}$ часов.
$2.$ Время движения на самолёте: $\dfrac{x}{480}$ часов.
$3.$ Общее время движения: $$\frac{x}{20} + \frac{x}{480} = \frac{24x}{480} + \frac{x}{480} = \frac{25x}{480}\space ч$$
$4.$ Средняя скорость — это отношение всего пути ко всему времени движения:
$$v_{ср} = \frac{2x}{\frac{25x}{480}} = 2x \cdot \frac{480}{25x} = \frac{960}{25} = 38.4\ км/ч$$
Ответ: средняя скорость путешественника на протяжении всего пути равна $38.4\ км/ч.$