25. Электродинамика: расчетная задача высокого уровня: магнетизм и магнитное поле

$1.$ При ускорении в электрическом поле ион приобретает кинетическую энергию.
По теореме об изменении кинетической энергии работа электрического поля равна изменению кинетической энергии. Учитывая, что начальной кинетической энергией можно пренебречь: $$qU = \frac{mv^2}{2}$$ Отсюда получаем: $$v^2 = 2U \cdot \frac{q}{m}$$

$2.$ В магнитном поле на ион действует сила Лоренца. По второму закону Ньютона сила Лоренца создает центростремительное ускорение: $$Bqv = m \frac{v^2}{R}$$ Упрощаем выражение: $$v = \frac{BqR}{m}$$ Возводим в квадрат: $$v^2 = \left( \frac{q}{m} \right)^2 B^2 R^2$$

$3.$ Приравниваем выражения для $v^2$ из первого и второго шагов: $$2U \cdot \frac{q}{m} = \left( \frac{q}{m} \right)^2 B^2 R^2$$ Делим обе части на $\dfrac{q}{m}$: $$2U = \frac{q}{m} B^2 R^2$$ Выражаем искомое отношение: $$\frac{m}{q} = \frac{B^2 R^2}{2U}$$

$4.$ Подставляем числовые значения: $B = 0.5 \space \text{Тл},$ $R = 0.2 \space \text{м},$ $U = 10\space000 \space \text{В}{:}$ $$\frac{m}{q} = \frac{(0.5)^2 \cdot (0.2)^2}{2 \cdot 10\space000} = \frac{0.25 \cdot 0.04}{20\space000} = \frac{0.01}{20\space000} = 5 \cdot 10^{-7} \space \text{кг/Кл}$$

Ответ: отношение массы иона к его заряду равно $5 \cdot 10^{-7} \space \text{кг/Кл}.$

$1.$ На стержень действуют три силы: сила тяжести $mg$, сила Ампера $F_A = BIl$ $($ так как $\sin 90^\circ = 1)$ и сила реакции опоры $N.$

$2.$ По второму закону Ньютона записываем уравнение движения в проекции на ось, направленную вдоль наклонной плоскости вверх: $$ma = -mg \sin \alpha + F_A \cos \alpha$$

$3.$ Подставляем выражение для силы Ампера: $$ma = -mg \sin \alpha + BIl \cos \alpha$$

$4.$ Переносим слагаемые и выражаем отношение массы к длине: $$\frac{m}{l} = \frac{BI \cos \alpha}{a + g \sin \alpha}$$

$5.$ Подставляем числовые значения: $B = 0.2 \space \text{Тл},$ $I = 4 \space \text{A},$ $\alpha = 30^\circ,$ $a = 1.9 \space \text{м/с}^2,$ $g = 10 \space \text{м/с}^2{:}$ $$\frac{m}{l} = \frac{0.2 \cdot 4 \cdot \cos 30^\circ}{1.9 + 10 \cdot \sin 30^\circ} = \frac{0.8 \cdot 0.866}{1.9 + 5} = \frac{0.6928}{6.9} \approx 0.1 \space \text{кг/м}$$

Ответ: отношение массы стержня к его длине равно $0.1 \space \text{кг/м}.$

$1.$ На проводник действуют четыре силы: сила тяжести $mg$, сила реакции опоры $N$, сила трения $F_{тр}$ и сила Ампера $F_A = BIl$ $($так как $\sin 90^\circ = 1).$

$2.$ По первому закону Ньютона (равномерное движение) равнодействующая всех сил равна нулю. В проекции на вертикальную ось: $$N = mg$$

В проекции на горизонтальную ось: $$F_A = F_{тр}$$ где сила трения $F_{тр} = \mu N = \mu mg.$

$4.$ Подставляем выражение для силы Ампера: $$BIl = \mu mg$$

$5.$ Выражаем индукцию магнитного поля: $$B = \frac{\mu mg}{Il}$$

$6.$ Подставляем числовые значения: $\mu = 0.3,$ $m = 0.06 \space \text{кг},$ $g = 10 \space \text{м/с}^2,$ $I = 10 \space \text{А},$ $l = 0.6 \space \text{м}{:}$ $$B = \frac{0.3 \cdot 0.06 \cdot 10}{10 \cdot 0.6} = \frac{0.18}{6} = 0.03 \space \text{Тл}$$

Ответ: индукция магнитного поля равна $0.03 \space \text{Тл}.$

$1.$ Сопротивления верхней и нижней частей рамки равны, поэтому ток в них одинаков и равен половине тока на участке $AC$: $I_1 = I_2 = \dfrac{I}{2} = 1 \space \text{A}.$

$2.$ Силы Ампера, действующие на боковые части рамки, компенсируются, так как токи в них равны по величине и противоположны по направлению.

$3.$ На верхнюю часть рамки действует сила Ампера: $$F_{A1} = B I_1 l = B \cdot \frac{I}{2} \cdot l$$ $4.$ На нижнюю часть рамки действует сила Ампера: $$F_{A2} = B I_2 l = B \cdot \frac{I}{2} \cdot l$$ $5.$ Равнодействующая всех сил Ампера равна сумме этих двух сил: $$F = F_{A1} + F_{A2} = B \cdot \frac{I}{2} \cdot l + B \cdot \frac{I}{2} \cdot l = B I l$$ $6.$ Выражаем индукцию магнитного поля: $$B = \frac{F}{I l}$$ $7.$ Подставляем числовые значения: $F = 0.08 \space \text{Н},$ $I = 2 \space \text{А},$ $l = 0.1 \space \text{м}{:}$ $$B = \frac{0.08}{2 \cdot 0.1} = \frac{0.08}{0.2} = 0.4 \space \text{Тл}$$ Ответ: модуль вектора индукции магнитного поля равен $0.4 \space \text{Тл}.$

$1.$ Проводники $KNM,$ $KLM$ и $KM$ соединены параллельно. Сопротивления участков:
$$R_1 = \rho \cdot \frac{l_1 + l_2}{S}, \quad R_2 = \rho \cdot \frac{l}{S}, \quad \text{где} \quad l = \sqrt{l_1^2 + l_2^2} = \sqrt{0.4^2 + 0.3^2} = 0.5 \space \text{м}$$

$2.$ Токи в проводниках:
$$I_1 = \frac{\mathcal{E}}{R_1} = \frac{\mathcal{E} S}{\rho (l_1 + l_2)}, \quad I_2 = \frac{\mathcal{E}}{R_2} = \frac{\mathcal{E} S}{\rho l}$$

$3.$ Силы Ампера на проводниках:
На $KL$ и $NM$: $F_1 = B I_1 l_1 = B \cdot \frac{\mathcal{E} S}{\rho (l_1 + l_2)} \cdot l_1$
На $KM$: $F_2 = B I_2 l \sin \alpha = B \cdot \frac{\mathcal{E} S}{\rho l} \cdot l \cdot \frac{l_1}{l} = B \cdot \frac{\mathcal{E} S}{\rho} \cdot \frac{l_1}{l}$

$4.$ Равнодействующая сила:
$$F = 2F_1 + F_2 = \frac{B \mathcal{E} S l_1}{\rho} \left( \frac{2}{l_1 + l_2} + \frac{1}{l} \right)$$

$5.$ Подставляем числовые значения:
$$F = \frac{0.35 \cdot 1.4 \cdot 2 \cdot 10^{-7} \cdot 0.4}{2.8 \cdot 10^{-8}} \left( \frac{2}{0.7} + \frac{1}{0.5} \right) = \frac{0.35 \cdot 1.4 \cdot 2 \cdot 10^{-7} \cdot 0.4}{2.8 \cdot 10^{-8}} \left( \frac{20}{7} + 2 \right)$$ $$F = \frac{3.92 \cdot 10^{-8}}{2.8 \cdot 10^{-8}} \cdot \left( \frac{20}{7} + \frac{14}{7} \right) = 1.4 \cdot \frac{34}{7} = 1.4 \cdot 4.857 = 6.8 \space \text{Н}$$

Ответ: равнодействующая сила, действующая на контур, равна $6.8 \space \text{Н}.$

$1.$ При движении проводника в магнитном поле в нем индуцируется $ЭДС$ индукции $\mathcal{E}_i = B l v.$

$2.$ По закону Ома для полной цепи сила тока в контуре $I = \dfrac{\mathcal{E}_i}{R} = \dfrac{B l v}{R}.$

$3.$ На проводник с током в магнитном поле действует сила Ампера $F_A = B I l = B \cdot \frac{B l v}{R} \cdot l = \frac{B^2 l^2 v}{R},$ направленная вверх.

$4.$ При равномерном движении проводника по второму закону Ньютона: $$F_A = mg \quad \Rightarrow \quad \frac{B^2 l^2 v}{R} = mg$$ $5.$ Выражаем скорость движения проводника: $$v = \frac{mg R}{B^2 l^2}$$ $6.$ Напряжение на конденсаторе равно $ЭДС$ индукции: $$U = \mathcal{E}_i = B l v = B l \cdot \frac{mg R}{B^2 l^2} = \frac{mg R}{B l}$$ $7.$ Энергия конденсатора: $$W = \frac{q U}{2} = \frac{q}{2} \cdot \frac{mg R}{B l}$$ $8.$ Подставляем числовые значения: $q = 8 \cdot 10^{-6} \space \text{Кл},$ $m = 0.04 \space \text{кг},$ $g = 10 \space \text{м/с}^2,$ $R = 5 \cdot 10^{-3} \space \text{Ом}$, $B = 0.4 \space \text{Тл},$ $l = 0.1 \space \text{м}{:}$
$$W = \frac{8 \cdot 10^{-6} \cdot 0.04 \cdot 10 \cdot 5 \cdot 10^{-3}}{2 \cdot 0.4 \cdot 0.1} = \frac{1.6 \cdot 10^{-8}}{0.08} = 2 \cdot 10^{-7} \space \text{Дж} = 0.2 \space \text{мкДж}$$

Ответ: энергия на конденсаторе равна $0.2 \space \text{мкДж}.$

$1.$ При ускорении в электрическом поле ион приобретает кинетическую энергию. По теореме об изменении кинетической энергии работа электрического поля равна изменению кинетической энергии: $$qU = \frac{mv^2}{2}$$ $2.$ В магнитном поле на ион действует сила Лоренца. По второму закону Ньютона сила Лоренца создает центростремительное ускорение: $$Bqv = m \frac{v^2}{R}$$ Откуда получаем: $$v = \frac{BqR}{m}$$

$3.$ Подставляем выражение для скорости в первую формулу: $$qU = \frac{m}{2} \left( \frac{BqR}{m} \right)^2 = \frac{B^2 q^2 R^2}{2m}$$

$4.$ Выражаем разность потенциалов: $$U = \frac{B^2 q R^2}{2m}$$

$5.$ Подставляем числовые значения: $B = 0.3 \space \text{Тл},$ $q = 3.2 \cdot 10^{-19} \space \text{Кл},$ $R = 0.25 \space \text{м},$ $m = 1.5 \cdot 10^{-25} \space \text{кг}{:}$
$$U = \frac{(0.3)^2 \cdot (3.2 \cdot 10^{-19}) \cdot (0.25)^2}{2 \cdot 1.5 \cdot 10^{-25}} = \frac{0.09 \cdot 3.2 \cdot 10^{-19} \cdot 0.0625}{3 \cdot 10^{-25}}$$
$$U = \frac{0.09 \cdot 2 \cdot 10^{-20}}{3 \cdot 10^{-25}} = \frac{1.8 \cdot 10^{-21}}{3 \cdot 10^{-25}} = 0.6 \cdot 10^4 = 6\space000 \space \text{В}$$

Ответ: ускоряющая разность потенциалов равна $6\space000 \space \text{В}.$

$1.$ При ускорении в электрическом поле ион приобретает кинетическую энергию. По теореме об изменении кинетической энергии работа электрического поля равна изменению кинетической энергии: $$qU = \frac{mv^2}{2}$$ $2.$ В магнитном поле на ион действует сила Лоренца. По второму закону Ньютона сила Лоренца создает центростремительное ускорение: $$Bqv = m \frac{v^2}{R}$$ Откуда получаем: $$v = \frac{BqR}{m}$$ $3.$ Подставляем выражение для скорости в первую формулу: $$qU = \frac{m}{2} \left( \frac{BqR}{m} \right)^2 = \frac{B^2 q^2 R^2}{2m}$$ $4.$ Выражаем индукцию магнитного поля: $$B = \frac{1}{R} \sqrt{\frac{2mU}{q}}$$ $5.$ Подставляем числовые значения: $R = 0.3 \space \text{м},$ $m = 1.5 \cdot 10^{-25} \space \text{кг},$ $U = 1\space000 \space \text{В},$ $q = 3.2 \cdot 10^{-19} \space \text{Кл}{:}$ $$B = \frac{1}{0.3} \sqrt{\frac{2 \cdot 1.5 \cdot 10^{-25} \cdot 1\space000}{3.2 \cdot 10^{-19}}} = \frac{1}{0.3} \sqrt{\frac{3 \cdot 10^{-22}}{3.2 \cdot 10^{-19}}} = \frac{1}{0.3} \sqrt{0.9375 \cdot 10^{-3}}$$ $$B = \frac{1}{0.3} \sqrt{9.375 \cdot 10^{-4}} = \frac{1}{0.3} \cdot 0.03062 = \frac{0.03062}{0.3} = 0.102 \space \text{Тл}$$ Ответ: модуль индукции магнитного поля равен $0.1 \space \text{Тл}.$

$1.$ При движении проводника в магнитном поле в нем индуцируется $ЭДС$ индукции $\mathcal{E}_i = B l v.$

$2.$ По закону Ома для полной цепи сила тока в контуре $I = \dfrac{\mathcal{E}_i}{R} = \dfrac{B l v}{R}.$

$3.$ На проводник с током в магнитном поле действует сила Ампера $F_A = B I l = B \cdot \dfrac{B l v}{R} \cdot l = \dfrac{B^2 l^2 v}{R},$ направленная вверх.

$4.$ При равномерном движении проводника по второму закону Ньютона: $$F_A = mg \quad \Rightarrow \quad \frac{B^2 l^2 v}{R} = mg$$ $5.$ Выражаем скорость движения проводника: $$v = \frac{mg R}{B^2 l^2}$$ $6.$ Напряжение на конденсаторе равно ЭДС индукции: $$U = \mathcal{E}_i = B l v = B l \cdot \frac{mg R}{B^2 l^2} = \frac{mg R}{B l}$$ $7.$ Энергия конденсатора: $$W = \frac{q U}{2} = \frac{q}{2} \cdot \frac{mg R}{B l}$$ $8.$ Подставляем числовые значения: $q = 8 \cdot 10^{-6} \space \text{Кл},$ $m = 0.04 \space \text{кг},$ $g = 10 \space \text{м/с}^2,$ $R = 5 \cdot 10^{-3} \space \text{Ом},$ $B = 0.4 \space \text{Тл},$ $l = 0.1 \space \text{м}{:}$ $$W = \frac{8 \cdot 10^{-6} \cdot 0.04 \cdot 10 \cdot 5 \cdot 10^{-3}}{2 \cdot 0.4 \cdot 0.1} = \frac{1.6 \cdot 10^{-8}}{0.08} = 2 \cdot 10^{-7} \space \text{Дж} = 0.2 \space \text{мкДж}$$ Ответ: энергия на конденсаторе равна $0.2 \space \text{мкДж}.$

$1.$ Изменение магнитного потока через рамку: $$\Delta \Phi = (B_{y2} -B_{y1}) S$$ $2.$ $ЭДС$ индукции: $$\mathcal{E}i = \frac{\Delta \Phi}{\Delta t} = \frac{(B{y2} -B_{y1}) S}{\Delta t}$$ $3.$ Сила индукционного тока: $$I = \frac{\mathcal{E}i}{R} = \frac{(B{y2} -B_{y1}) S}{R \Delta t}$$ $4.$ Заряд, протекший через рамку: $$q = I \Delta t = \frac{(B_{y2} -B_{y1}) S}{R}$$ $5.$ Выражаем $B_{y1}{:}$ $$B_{y1} = B_{y2} -\frac{q R}{S}$$ $6.$ Подставляем числовые значения: $$B_{y1} = 0.6 -\frac{0.008 \cdot 5}{0.1} = 0.6 -\frac{0.04}{0.1} = 0.6- 0.4 = 0.2 \space \text{Тл}$$ Ответ: начальная индукция магнитного поля $B_{y1} = 0.2 \space \text{Тл}.$

$1.$ Для частицы в магнитном поле сила Лоренца вызывает центростремительное ускорение: $$B q v = \frac{m v^2}{R}$$ $2.$ Выражаем радиус траектории: $$R = \frac{m v}{B q}$$ $3.$ Период обращения частицы: $$T = \frac{2\pi R}{v} = \frac{2\pi m}{B q}$$ $4.$ Для первой частицы: $$T_1 = \frac{2\pi m_1}{B q_1}$$ Для второй частицы: $$T_2 = \frac{2\pi m_2}{B q_2}$$ $5.$ Находим отношение периодов: $$\frac{T_1}{T_2} = \frac{m_1}{m_2} \cdot \frac{q_2}{q_1}$$ $6.$ Выражаем отношение масс: $$\frac{m_1}{m_2} = \frac{T_1}{T_2} \cdot \frac{q_1}{q_2}$$ $7.$ Подставляем данные значения: $$\frac{m_1}{m_2} = 0.5 \cdot 2 = 1$$ Ответ: отношение масс частиц $\dfrac{m_1}{m_2} = 1.$

$1.$ При ускорении в электрическом поле ион приобретает кинетическую энергию. По теореме об изменении кинетической энергии работа электрического поля равна изменению кинетической энергии: $$qU = \frac{mv^2}{2}$$

$2.$ Выражаем скорость иона: $$v = \sqrt{\frac{2qU}{m}}$$ $3.$ В магнитном поле на ион действует сила Лоренца. По второму закону Ньютона сила Лоренца создает центростремительное ускорение: $$Bqv = \frac{mv^2}{R}$$ $4.$ Выражаем радиус окружности: $$R = \frac{mv}{Bq}$$ $5.$ Подставляем выражение для скорости: $$R = \frac{m}{Bq} \sqrt{\frac{2qU}{m}} = \frac{1}{B} \sqrt{\frac{2mU}{q}}$$ $6.$ Подставляем числовые значения: $B = 0.2 \space \text{Тл},$ $m = 1.5 \cdot 10^{-25} \space \text{кг},$ $U = 1\space000 \space \text{В},$ $q = 3.2 \cdot 10^{-19} \space \text{Кл}{:}$ $$R = \frac{1}{0.2} \sqrt{\frac{2 \cdot 1.5 \cdot 10^{-25} \cdot 1\space000}{3.2 \cdot 10^{-19}}} = 5 \sqrt{\frac{3 \cdot 10^{-22}}{3.2 \cdot 10^{-19}}} = 5 \sqrt{0.9\space375 \cdot 10^{-3}} = 5 \sqrt{9.375 \cdot 10^{-4}}$$ $$R = 5 \cdot 0.03\space062 = 0.1\space531 \space \text{м}$$ Ответ: радиус окружности равен $0.15 \space \text{м}.$