Рациональное число

Число, которое можно записать дробью $\frac mn$, $m$ целое, $n$ натуральное
$0{,}25=\frac14$

Периодическая дробь

Бесконечная дробь с повторяющимся блоком цифр — число рациональное
$0{,}(3)=\frac13$

Иррациональное число

Бесконечная десятичная дробь без периода при заданном законе или доказательстве
$\sqrt2$, $\pi$

Диагональ единичного квадрата

Для диагонали $d$ выполнено $d^2=2$
Дроби $\frac mn$ с таким квадратом нет

Запись с многоточием

Многоточие само ничего не доказывает: нужны период или закон цифр
$0{,}333\ldots=\frac13$

Действительные числа

Все точки числовой прямой: рациональные и иррациональные вместе
$\mathbb N\subset\mathbb Z\subset\mathbb Q\subset\mathbb R$

Десятичная запись рационального числа

Число рационально тогда и только тогда, когда его десятичная запись конечная или бесконечная периодическая. При делении остаток становится нулем или повторяется. Между рациональными $a

Как перевести периодическую дробь в обыкновенную

Умножением на степени 10 получите два равенства с одинаковыми бесконечными хвостами, затем вычтите равенства, найдите неизвестное и сократите дробь. Если $x=0{,}(27)$, то $100x=27{,}(27)$, $99x=27$, $x=\frac3{11}$. Период 9 тоже дает точное равенство: $0{,}(9)=1$; для $x=0{,}1(9)$ получаем $100x-10x=18$, $x=0{,}2$.

Сторона квадрата по площади

При $S>0$ длина стороны квадрата площади $S$ равна $\sqrt S$: это положительное число, квадрат которого равен $S$, то есть $(\sqrt S)^2=S$. Больше площадь — больше сторона. Для $0\le a

Оценка и округление

Сравнение квадратов уточняет границы: $1{,}4^2<2<1{,}5^2$, затем $1{,}41<\sqrt2<1{,}42$. При округлении смотрят на следующую цифру: 0–4 — сохраняют последнюю оставляемую, 5–9 — увеличивают на 1. Получают приближенное значение: $\sqrt2\approx1{,}4$ до десятых, $\sqrt2\approx1{,}414$ до тысячных. Знак $\approx$ не заменяют на $=$: $1{,}414^2=1{,}999396\ne2$, $\pi\ne3{,}14$.

Наименьшее числовое множество

Сначала упростите запись, затем проверьте принадлежность по цепочке $\mathbb N\subset\mathbb Z\subset\mathbb Q\subset\mathbb R$. Например, $\sqrt9=3\in\mathbb N$, а $-\frac84=-2\in\mathbb Z$, но $-2\notin\mathbb N$. Для натурального $n$ число $\sqrt n$ натурально, если $n$ — квадрат натурального числа; иначе оно иррационально (для $\\sqrt3$, $\\sqrt5$ здесь без доказательства; $-\\sqrt2$ иррационально, потому что $\\sqrt2$ иррационально). Сам знак корня не определяет вид числа.

Почему дроби для диагонали нет

Квадрат нечетного числа нечетен: $(2k+1)^2=4k^2+4k+1$. Если $\sqrt2=\frac mn$ — несократимая дробь с натуральными $m,n$, то $m^2=2n^2$, поэтому $m$ четно. Подставив $m=2k$, получаем $n^2=2k^2$: $n$ тоже четно. Тогда дробь сократима на 2 — противоречие. Значит, для целого $m$ и натурального $n$ выполнено $(\frac mn)^2\ne2$.