Рациональные и иррациональные числа. Действительные числа

10 вопросов, при повторном прохождении вопросы меняются.

<div class="test"><pre><textarea>{"questions":[{"id":"1","content":"Сторона квадрата равна 3, $d$ — длина его диагонали. Площадь квадрата, построенного на диагонали, равна $d^2$ и составляет [[fill_choice-1]].","widgets":{"fill_choice-1":{"type":"fill_choice","options":["18","6","9","36"],"answer":0}},"hints":["Сложите четыре квадрата со стороной $3$ в квадрат со стороной $6$, его площадь $36$.","Квадрат на диагонали — ровно половина этого большого квадрата: $36:2=18$.","Ответ: 18."],"step":1},{"id":"1","content":"Сторона квадрата равна 5, $d$ — длина его диагонали. Площадь квадрата, построенного на диагонали, равна $d^2$ и составляет [[fill_choice-2]].","widgets":{"fill_choice-2":{"type":"fill_choice","options":["10","50","25","100"],"answer":1}},"hints":["Сложите четыре квадрата со стороной $5$ в квадрат со стороной $10$, его площадь $100$.","Квадрат на диагонали — ровно половина этого большого квадрата: $100:2=50$.","Ответ: 50."],"step":1},{"id":"2","content":"Десятичную дробь $0{,}35$ записали как $\\frac7m$. Найдите $m$. [[input-1]]","widgets":{"input-1":{"type":"input","answer":"20"}},"hints":["$0{,}35=\\frac{35}{100}$.","Разделим числитель и знаменатель на 5: $\\frac{7}{20}$.","Ответ: 20."],"step":1},{"id":"2","content":"Десятичную дробь $0{,}28$ записали как $\\frac7m$. Найдите $m$. [[input-2]]","widgets":{"input-2":{"type":"input","answer":"25"}},"hints":["$0{,}28=\\frac{28}{100}$.","Разделим числитель и знаменатель на 4: $\\frac{7}{25}$.","Ответ: 25."],"step":1},{"id":"3","content":"$\\sqrt{11}=3{,}316624\\ldots$. Округлите $\\sqrt{11}$ до сотых. [[input-3]]","widgets":{"input-3":{"type":"input","answer":["3,32","3.32"]}},"hints":["Оставьте два знака после запятой и посмотрите на третий: при 0–4 сотые сохраняют, при 5–9 увеличивают на 1.","Сотые: 3,31; третья цифра после запятой — 6.","Цифра 6 не меньше 5, сотые увеличиваем на 1. Ответ: 3,32."],"step":1},{"id":"3","content":"$\\sqrt5=2{,}23607\\ldots$. Округлите $\\sqrt5$ до сотых. [[input-4]]","widgets":{"input-4":{"type":"input","answer":["2,24","2.24"]}},"hints":["Оставьте два знака после запятой и посмотрите на третий: при 0–4 сотые сохраняют, при 5–9 увеличивают на 1.","Сотые: 2,23; третья цифра после запятой — 6.","Цифра 6 не меньше 5, сотые увеличиваем на 1. Ответ: 2,24."],"step":1},{"id":"4","content":"Сопоставьте каждую десятичную запись с равной ей обыкновенной дробью.[[matcher-1]]","widgets":{"matcher-1":{"type":"matcher","labels":["$0{,}75$","$0{,}(3)$","$0{,}(1)$","$0{,}6$"],"items":["$\\frac34$","$\\frac13$","$\\frac19$","$\\frac35$"]}},"instruction":"Сопоставьте записи и дроби","hints":["Конечные дроби: $0{,}75=\\frac{75}{100}=\\frac34$, $0{,}6=\\frac6{10}=\\frac35$.","Периодические: $9x=3$ даст $\\frac13$, $9x=1$ даст $\\frac19$.","Ответ: $\\frac34$, $\\frac13$, $\\frac19$, $\\frac35$."],"step":1},{"id":"4","content":"Сопоставьте каждую десятичную запись с равной ей обыкновенной дробью.[[matcher-2]]","widgets":{"matcher-2":{"type":"matcher","labels":["$0{,}5$","$0{,}(2)$","$0{,}(8)$","$0{,}125$"],"items":["$\\frac12$","$\\frac29$","$\\frac89$","$\\frac18$"]}},"instruction":"Сопоставьте записи и дроби","hints":["Конечные дроби: $0{,}5=\\frac12$, $0{,}125=\\frac{125}{1000}=\\frac18$.","Периодические: $9x=2$ даст $\\frac29$, $9x=8$ даст $\\frac89$.","Ответ: $\\frac12$, $\\frac29$, $\\frac89$, $\\frac18$."],"step":1},{"id":"5","content":"Расставьте шаги записи числа $0{,}(15)$ обыкновенной дробью по порядку.[[sorter-1]]","widgets":{"sorter-1":{"type":"sorter","items":["Обозначим $x=0{,}(15)$","Тогда $100x=15{,}(15)$, потому что период из двух цифр сдвинулся на два знака","Значит, $100x-x=15$, то есть $99x=15$","Отсюда $x=\\frac{15}{99}=\\frac5{33}$"]}},"hints":["Сначала обозначают число буквой.","Умножают на 100 и вычитают исходное: бесконечные хвосты сокращаются.","Ответ: $x=\\frac5{33}$."],"step":1},{"id":"5","content":"Расставьте шаги записи числа $0{,}(36)$ обыкновенной дробью по порядку.[[sorter-2]]","widgets":{"sorter-2":{"type":"sorter","items":["Обозначим $x=0{,}(36)$","Тогда $100x=36{,}(36)$, потому что период из двух цифр сдвинулся на два знака","Значит, $100x-x=36$, то есть $99x=36$","Отсюда $x=\\frac{36}{99}=\\frac4{11}$"]}},"hints":["Сначала обозначают число буквой.","Умножают на 100 и вычитают исходное: бесконечные хвосты сокращаются.","Ответ: $x=\\frac4{11}$."],"step":1},{"id":"6","content":"Вообразавр рассуждает: «$\\frac4{11}=0{,}3636\\ldots$ — дробь бесконечная, значит число иррациональное». Найдите ошибку.[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["$\\frac4{11}$ не равно $0{,}3636\\ldots$","Дробь периодическая (период 36), поэтому число рациональное","Нужно было округлить до $0{,}36$","Ошибки нет: многоточие означает иррациональное число"],"explanations":["Деление 4 на 11 даст как раз $0{,}3636\\ldots$: равенство верно","","Округление дает приближенное значение и не меняет вид числа","Многоточие означает только бесконечную запись; она может быть периодической"],"answer":[1]}},"hints":["Бесконечная дробь бывает периодической и непериодической.","У $0{,}3636\\ldots$ повторяется блок 36, это период.","Значит, число рациональное."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"6","content":"Вообразавр рассуждает: «$\\frac{2}{11}=0{,}1818\\ldots$ — дробь бесконечная, значит число иррациональное». Найдите ошибку.[[choice-2]]","widgets":{"choice-2":{"type":"choice","options":["Дробь периодическая (период 18), поэтому число рациональное","Ошибки нет: многоточие означает иррациональное число","Нужно было округлить до $0{,}18$","$\\frac2{11}$ не равно $0{,}1818\\ldots$"],"explanations":["","Многоточие означает только бесконечную запись; она может быть периодической","Округление дает приближенное значение и не меняет вид числа","Деление 2 на 11 даст как раз $0{,}1818\\ldots$: равенство верно"],"answer":[0]}},"hints":["Бесконечная дробь бывает периодической и непериодической.","У $0{,}1818\\ldots$ повторяется блок 18, это период.","Значит, число рациональное."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"7","content":"Распределите числа: какие из них целые, а какие нет.[[grouper-1]]","widgets":{"grouper-1":{"type":"grouper","labels":["Целое","Не целое"],"items":[["$-5$","$\\sqrt{25}$"],["$0{,}(4)$","$\\frac73$","$1{,}5$"]]}},"instruction":"Распределите числа по группам","hints":["$\\sqrt{25}=5$ — целое, как и $-5$.","$0{,}(4)=\\frac49$, $\\frac73$ и $1{,}5=\\frac32$ — рациональные, но целыми не являются.","Целых два числа."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"7","content":"Распределите числа: какие из них целые, а какие нет.[[grouper-2]]","widgets":{"grouper-2":{"type":"grouper","labels":["Целое","Не целое"],"items":[["$-3$","$\\sqrt{36}$","$\\frac93$"],["$0{,}(6)$","$2{,}5$"]]}},"instruction":"Распределите числа по группам","hints":["$\\sqrt{36}=6$ и $\\frac93=3$ — целые, как и $-3$.","$0{,}(6)=\\frac23$ и $2{,}5=\\frac52$ целыми не являются.","Целых три числа."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"8","content":"Решавр проверяет вывод: «$4{,}7281\\ldots$ — иррациональное число, потому что цифры не повторяются». В чем ошибка?[[choice-3]]","widgets":{"choice-3":{"type":"choice","options":["Число рациональное: цифры не повторяются","Выписано только начало, закон цифр не задан: вывод не обоснован","Иррациональными не бывают числа больше 4","Число иррациональное, но надо выписать еще цифр"],"explanations":["Рациональные числа как раз имеют период или конец записи; отсутствие повторов в начале ничего не доказывает","","Величина числа не связана с рациональностью","Сколько ни выписывай цифр, вывод даст только закон или доказательство"],"answer":[1]}},"hints":["Иррациональность нужно обосновать законом цифр или доказательством.","Выписано лишь начало: период мог бы начаться дальше.","Вывод по такой записи сделать нельзя."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"8","content":"Решавр проверяет вывод: «$-0{,}30417\\ldots$ — иррациональное число, потому что цифры не повторяются». В чем ошибка?[[choice-4]]","widgets":{"choice-4":{"type":"choice","options":["Выписано только начало, закон цифр не задан: вывод не обоснован","Иррациональными не бывают отрицательные числа","Число рациональное: цифры не повторяются","Число иррациональное, но надо выписать еще цифр"],"explanations":["","Знак числа не связан с рациональностью: $-\\sqrt2$ тоже не дробь","Рациональные числа как раз имеют период или конец записи; отсутствие повторов в начале ничего не доказывает","Сколько ни выписывай цифр, вывод даст только закон или доказательство"],"answer":[0]}},"hints":["Иррациональность нужно обосновать законом цифр или доказательством.","Выписано лишь начало: период мог бы начаться дальше.","Вывод по такой записи сделать нельзя."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"9","content":"Выписано начало числа: $0{,}12\\ldots$ Какое продолжение задает иррациональное число?[[choice-5]]","widgets":{"choice-5":{"type":"choice","options":["$0{,}12\\,47\\ldots$ (закон цифр не назван)","$0{,}12000\\ldots$ (дальше одни нули)","$0{,}12\\,102\\,1002\\,10002\\ldots$ (нулей перед двойкой все больше)","$0{,}12\\,12\\,12\\ldots$ (блок 12 повторяется)"],"explanations":["Без закона цифр вывод делать нельзя","Дальше одни нули — это конечная дробь $0{,}12$, число рациональное","","Блок повторяется, это периодическая дробь, число рациональное"],"answer":[2]}},"hints":["Нужна бесконечная запись без периода при заданном законе цифр.","В записи $0{,}12\\,102\\,1002\\,10002\\ldots$ число нулей растет, периода нет.","Остальные продолжения дают конец записи или период, либо закон цифр не назван."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"9","content":"Выписано начало числа: $0{,}35\\ldots$ Какое продолжение задает иррациональное число?[[choice-6]]","widgets":{"choice-6":{"type":"choice","options":["$0{,}35\\,35\\,35\\ldots$ (блок 35 повторяется)","$0{,}35\\,305\\,3005\\,30005\\ldots$ (нулей перед пятеркой все больше)","$0{,}35\\,81\\ldots$ (закон цифр не назван)","$0{,}35000\\ldots$ (дальше одни нули)"],"explanations":["Блок повторяется, это периодическая дробь, число рациональное","","Без закона цифр вывод делать нельзя","Дальше одни нули — это конечная дробь $0{,}35$, число рациональное"],"answer":[1]}},"hints":["Нужна бесконечная запись без периода при заданном законе цифр.","В записи $0{,}35\\,305\\,3005\\,30005\\ldots$ число нулей растет, периода нет.","Остальные продолжения дают конец записи или период, либо закон цифр не назван."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"10","content":"Решавр утверждает: «$0{,}4(9)$ меньше $0{,}5$, потому что до $0{,}5$ всегда не хватает хвостика». Найдите ошибку.[[choice-7]]","widgets":{"choice-7":{"type":"choice","options":["$0{,}4(9)=0{,}5$: вычитание $100x-10x$ дает $90x=45$","$0{,}4(9)=0{,}49$","Ошибки нет: бесконечная дробь с девятками не может быть конечной дробью","$0{,}4(9)>0{,}5$"],"explanations":["","Так считают, если брать одну девятку; период повторяется бесконечно","Период 9 дает $0{,}4+0{,}1=0{,}5$, а бесконечность записи не мешает быть конечной дробью","Девятки после запятой не добавляют сотых; число не больше 0,5"],"answer":[0]}},"hints":["Пусть $x=0{,}4(9)$, тогда $100x=49{,}(9)$ и $10x=4{,}(9)$.","$100x-10x=45$, то есть $90x=45$.","$x=0{,}5$: «хвостик» не существует, числа равны."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"10","content":"Решавр утверждает: «$2{,}4(9)$ меньше $2{,}5$, потому что до $2{,}5$ всегда не хватает хвостика». Найдите ошибку.[[choice-8]]","widgets":{"choice-8":{"type":"choice","options":["Ошибки нет: бесконечная дробь с девятками не может быть конечной дробью","$2{,}4(9)=2{,}5$: вычитание $100x-10x$ дает $90x=225$","$2{,}4(9)>2{,}5$","$2{,}4(9)=2{,}49$"],"explanations":["Период 9 дает $2{,}4+0{,}1=2{,}5$, а бесконечность записи не мешает быть конечной дробью","","Девятки после запятой не добавляют сотых; число не больше 2,5","Так считают, если брать одну девятку; период повторяется бесконечно"],"answer":[1]}},"hints":["Пусть $x=2{,}4(9)$, тогда $100x=249{,}(9)$ и $10x=24{,}(9)$.","$100x-10x=225$, то есть $90x=225$.","$x=2{,}5$: «хвостик» не существует, числа равны."],"level":"повышенный","step":1}]}</textarea></pre></div>