Карточки
Тесты
Зави
Рациональные и иррациональные числа. Действительные числа
Рациональные и иррациональные числа. Действительные числа
Из 7 класса вы знаете рациональные числа и периодические дроби: каждое такое число записывается дробью и занимает свою точку на числовой прямой. В этом уроке найдем на прямой точку, которой не соответствует никакая дробь, и разберем, какие числа называют иррациональными и действительными.
Каждая дробь — точка на числовой прямой
Начертите квадрат со стороной 1 и проведите в нем диагональ. Какой она длины? Попробуйте записать ответ дробью. Пока оставим этот вопрос открытым и вспомним, какие числа мы умеем записывать дробями.
Числа $\frac12$, $-4=\frac{-4}{1}$, $0{,}25=\frac14$, $0{,}333\ldots=\frac13$ — точки на числовой прямой. Между любыми двумя дробями есть еще дробь, например их среднее арифметическое: между $\frac13$ и $\frac12$ лежит $\frac{5}{12}$. Дробей на прямой так много, что кажется, будто они занимают ее целиком. Проверим, так ли это.
Определение
Рациональное число — число, которое можно записать в виде дроби $\frac mn$, где $m$ — целое число, $n$ — натуральное. Множество рациональных чисел обозначают $\mathbb Q$.
Почему у дроби $\frac mn$ десятичная запись либо кончается, либо повторяется? При делении $m$ на $n$ уголком остатки меньше $n$. Если остаток стал нулем — запись кончилась. Если нет, то через несколько шагов остаток повторится, и цифры пойдут по кругу — появится период. Верно и обратное: конечную и периодическую дробь можно записать обыкновенной.
Пример 1
Запишем $0{,}(27)$ обыкновенной дробью.
Пусть $x=0{,}(27)$. Период из двух цифр, поэтому умножим на 100: $100x=27{,}(27)$.
Вычтем: $100x-x=27{,}(27)-0{,}(27)$, то есть $99x=27$, $x=\frac{27}{99}=\frac{3}{11}$.
Проверка: $3:11=0{,}2727\ldots$ Ответ: $0{,}(27)=\frac3{11}$.
Правило
Каждое рациональное число записывается конечной или бесконечной периодической десятичной дробью. И наоборот, каждая конечная или периодическая дробь — рациональное число.
Например, возможны такие записи:
$$\frac14=0{,}25;\qquad \frac3{11}=0{,}(27)$$
Диагональ — сторона квадрата площадью 2
Вернемся к диагонали. Сложим четыре единичных квадрата в большой квадрат $2\times2$, его площадь 4. В каждом малом квадрате проведем по диагонали так, чтобы они образовали квадрат внутри. Сторона внутреннего квадрата — это и есть диагональ $d$.
Внутренний квадрат состоит из четырех половинок малых квадратов, поэтому его площадь $4\cdot\frac12=2$. А площадь квадрата со стороной $d$ равна $d^2$. Получили: $d^2=2$. Длина диагонали — положительное число, квадрат которого равен 2.
Обозначение
Сторону квадрата площади $S$ — положительное число, квадрат которого равен $S$, — обозначают $\sqrt S$ и читают «корень из $S$». Длина диагонали единичного квадрата — $\sqrt2$. Действия с такими числами разберем в следующих уроках.
Где эта точка на прямой? Поставим ножку циркуля в 0 и отложим диагональ вправо: точка есть, ее можно построить. Больше площадь — больше сторона: $1^2=1<2<4=2^2$, поэтому $1<\sqrt2<2$.
В точке диагонали нет ни одной дроби
Попробуем найти дробь $\frac mn$, квадрат которой равен 2, то есть $m^2=2n^2$. Будем сравнивать $m^2$ и $2n^2$.
| Дробь | $m^2$ | $2n^2$ | Квадрат дроби |
|---|---|---|---|
| $\frac32$ | 9 | 8 | $2{,}25$ — больше 2 |
| $\frac75$ | 49 | 50 | $1{,}96$ — меньше 2 |
| $\frac{17}{12}$ | 289 | 288 | $\approx2{,}0069$ — больше 2 |
| $\frac{24}{17}$ | 576 | 578 | $\approx1{,}9931$ — меньше 2 |
Квадрат дроби подходит к 2 все ближе, но $m^2$ и $2n^2$ каждый раз расходятся хотя бы на 1. Это не случайность.
Теорема
Не существует дроби $\frac mn$ ($m$ — целое, $n$ — натуральное), квадрат которой равен 2. Поэтому длина диагонали единичного квадрата $\sqrt2$ — не рациональное число.
$$\left(\frac mn\right)^2\ne2$$
Посмотреть доказательство
Скрыть
Нам понадобится факт: квадрат нечетного числа нечетен. Например, $3^2=9$, $5^2=25$, $7^2=49$; в общем виде $(2k+1)^2=4k^2+4k+1$ — четное число плюс 1. Значит, если $m^2$ четно, то и $m$ четно.
Предположим противное: $\sqrt2=\frac mn$, где дробь несократима, $m$ и $n$ натуральные. Тогда $m^2=2n^2$, значит $m^2$ четно, а потому $m$ четно: $m=2k$.
Подставим: $4k^2=2n^2$, то есть $n^2=2k^2$. Теперь четно $n^2$, значит четно и $n$.
Оба числа $m$ и $n$ четные — дробь можно сократить на 2. Это противоречит несократимости. Значит, такой дроби нет.
Какая же десятичная запись у $\sqrt2$? Цифры подбирают по одной так, чтобы квадрат оставался меньше 2: $\sqrt2=1{,}41421356\ldots$ Если бы у этой записи был конец или период, $\sqrt2$ было бы рациональным по правилу из раздела 1. Значит, запись бесконечна и периода у нее нет.
Определение
Иррациональное число — число, которое записывается бесконечной непериодической десятичной дробью. Например, $\sqrt2=1{,}41421356\ldots$ и $\pi=3{,}14159\ldots$
Пример 2
Докажем, что число $0{,}1\,01\,001\,0001\ldots$, где после каждой единицы нулей становится на один больше, иррационально.
Запись бесконечна: закон цифр не кончается. Предположим, что у нее есть период из $p$ цифр.
Дальше в записи встретится подряд больше $p$ нулей. Тогда весь период состоит из нулей, и после него единиц больше не будет. Но единица стоит после каждой серии нулей — противоречие.
Периода нет. Ответ: число иррационально.
Интересный факт: когда доказали иррациональность числа π
Скрыть
Что число $\pi$ иррационально, доказал Иоганн Генрих Ламберт: работа доложена в Берлинской академии в 1761 году и опубликована в 1768 году. Доказательство сложнее, чем для $\sqrt2$, и в школе его не разбирают.
Многоточие само ничего не доказывает
За многоточием в записи числа может стоять разное: бесконечный период, бесконечная непериодическая дробь с известным законом или просто обрыв — выписано только начало. По одному виду записи их не различить.
Ошибка
Как ошибаются. «Запись бесконечная, значит, число иррациональное» и обратное: «По выписанным цифрам период не виден, значит, число иррациональное».
Проверка на числах. $1:3=0{,}333\ldots$ — запись бесконечная, но это дробь $\frac13$, число рациональное. Калькулятор с шестью знаками покажет $5:7=0{,}714285$ — повтора среди этих цифр нет. Продолжим деление: $0{,}714285\,714285\ldots=0{,}(714285)$, период есть, а $\frac57$ рационально по определению.
Где ломается рассуждение. Бесконечная запись — еще не непериодическая. А о периоде нельзя судить по началу записи: он может быть длинным. Нужен закон цифр (как в примере 2) или доказательство (как для $\sqrt2$).
Правило
Как судить о числе по десятичной записи:
- запись конечна или указан период — число рациональное;
- запись бесконечна и по заданному закону или по доказательству периода нет — число иррациональное;
- выписано только начало, закон не назван (например, $-17{,}8657\ldots$) — вывода сделать нельзя: это лишь приближенное значение какого-то числа.
Одно число может иметь две записи. Например, $x=0{,}1(9)$: $10x=1{,}(9)$, $100x=19{,}(9)$, вычтем: $90x=18$, $x=0{,}2$. Запись с периодом 9 и конечная запись $0{,}2$ задают одну и ту же точку прямой.
Вместе рациональные и иррациональные числа заполняют прямую
Вернемся к прямой. Дроби стоят на ней сколь угодно густо, и все же между ними остаются «дыры»: точка $\sqrt2$, симметричная ей точка $-\sqrt2$, точка $\pi$ — путь, который пройдет круг диаметром 1 за один оборот. Иррациональные числа заполняют эти дыры. Вместе с рациональными они занимают всю прямую.
Определение
Действительные числа — все рациональные и все иррациональные числа вместе. Множество действительных чисел обозначают $\mathbb R$. Каждому действительному числу соответствует точка числовой прямой, и каждой точке — действительное число.
$$\mathbb N\subset\mathbb Z\subset\mathbb Q\subset\mathbb R$$
| Множество | Обозначение | Примеры |
|---|---|---|
| Натуральные | $\mathbb N$ | $1$, $5$, $\sqrt9=3$ |
| Целые | $\mathbb Z$ | $-3$, $0$, $7$ |
| Рациональные | $\mathbb Q$ | $\frac3{11}$, $-0{,}5$, $0{,}(27)$ |
| Иррациональные | — | $\sqrt2$, $-\sqrt2$, $\pi$ |
| Действительные | $\mathbb R$ | все числа выше |
Чтобы назвать наименьшее множество числа, сначала упростите запись. Например, $\sqrt9=3$, ведь $3^2=9$: знак корня еще не делает число иррациональным, это натуральное число. А $-\frac{8}{4}=-2$ — целое, но не натуральное.
Дробью диагональ можно записать только приближенно
Теперь ответ на вопрос из начала. Точно записать длину диагонали дробью нельзя: она равна $\sqrt2$. Но можно найти дробь, которая отличается от $\sqrt2$ сколь угодно мало. Будем зажимать $\sqrt2$, как под лупой, каждый раз в отрезок в 10 раз короче.
$1{,}4^2=1{,}96<2<2{,}25=1{,}5^2$, значит $1{,}4<\sqrt2<1{,}5$. Делим этот отрезок на 10 частей и снова сравниваем квадраты с 2: $\sqrt2$ попадает в отрезок от $1{,}41$ до $1{,}42$. Следующий шаг — от $1{,}414$ до $1{,}415$. Сами границы $1{,}414<\sqrt2<1{,}415$ еще не говорят, как округлять до тысячных: для этого нужна следующая цифра, и она уже известна — $\sqrt2=1{,}41421\ldots$
Правило
Иррациональное число на практике заменяют приближенным значением — десятичной дробью, округленной до нужного разряда. Пишут знак $\approx$, а не $=$. Чтобы округлить, оставьте нужные знаки и посмотрите на следующую цифру: если она 0–4, последнюю оставленную цифру сохраняют, если 5–9 — увеличивают на 1.
Еще пример: $\sqrt6=2{,}449489\ldots$ Сотые — 2,44; следующая цифра 9, поэтому сотые увеличиваем: $\sqrt6\approx2{,}45$.
$$\sqrt2\approx1{,}4\ \text{(до десятых)},\quad \sqrt2\approx1{,}414\ \text{(до тысячных)}$$
Обратите внимание
Приближенное значение — не само число. $1{,}414^2=1{,}999396\ne2$, и точно так же $\pi\ne3{,}14$: $3{,}14$ — лишь приближение $\pi$ до сотых.
Вывод
Иррациональные числа появляются не из прихоти: длину диагонали квадрата со стороной 1 нельзя записать никакой дробью. Чтобы вспомнить главное, представьте числовую прямую с дробями и дырами между ними.
В следующем уроке разберем, как устроено число $\sqrt S$ для любого $S\ge0$ и как с ним работать.
Часто задаваемые вопросы
Калькулятор показывает 8–12 цифр — это приближенное значение. Запись $\sqrt2$ бесконечна и без периода, поэтому последней цифры у нее нет. Точный квадрат любого конечного десятичного приближения не равен 2. Например, $1{,}414^2=1{,}999396$. Калькулятор округляет и результат вычисления, поэтому надпись 2 на экране сама по себе не доказывает точного равенства.
Нет. $\sqrt{81}=9$, потому что $9^2=81$, — это натуральное число. Корень из натурального числа иррационален, когда это число не является квадратом натурального: $\sqrt2$, $\sqrt3$, $\sqrt5$; для $\sqrt2$ это доказано в уроке, а иррациональность $\sqrt3$ и $\sqrt5$ здесь принимается без доказательства. Число $-\sqrt2$ тоже иррационально: если бы оно было дробью, то и $\sqrt2$ была бы дробью.
Да. Число $\pi$ и дробь $0{,}1\,01\,001\,0001\ldots$ из примера 2 иррациональны, хотя корня в их записи нет. Иррациональность определяется десятичной записью, а не значком.
Некоторые — да. Точку $\sqrt2$ строят циркулем: откладывают от нуля диагональ единичного квадрата. Записать ее координату конечной дробью нельзя, а построить — можно.
Дальше: тест урока
- Тест к уроку «Рациональные и иррациональные числа. Действительные числа» — проверьте, как вы усвоили тему
Следующий урок: Квадратный корень
Повторите: Периодические дроби; Перевод периодической дроби в обыкновенную дробь
5
5
1
5
Получите полный доступ ко всем материалам и занимайтесь в удобном темпе — без ограничений.
- Более 700 000 учеников и 50 000 учителей по всей России.
- Повышение среднего балла по предмету до 20 % после месяца занятий.
- Всплеск интереса к учебе и более глубокое понимание предметов.
Создайте бесплатный аккаунт — и откройте больше возможностей:
- Отслеживайте прогресс освоения тем
- Получайте персональные подборки полезных уроков и заданий
- Проводите работу над ошибками после занятий