Карточки
Тесты
Зави
Множество, подмножество, диаграммы Эйлера
Множество, подмножество, диаграммы Эйлера
Вы уже встречались с множествами в 6 классе. В этом уроке научимся записывать множества и их элементы, задавать множество перечислением и свойством, находить подмножества и пустое множество и изображать множества диаграммами Эйлера.
Фишка либо в обруче, либо снаружи
В классе $12$ человек ходят на футбол и $9$ — на шахматы. Это две группы учеников. Можно ли по этим числам понять, как группы связаны: есть ли ученики, которые ходят в обе секции, может ли одна группа целиком входить в другую? Ответим в конце урока, а сначала нужен язык, на котором о таких группах можно говорить точно.
Представьте стол, на котором лежит обруч. Внутри обруча — фишки с числами $1$, $2$, $5$, $10$, снаружи — фишки $3$ и $4$. Про любую фишку на столе можно сказать одно из двух: она в обруче или нет. Третьего не бывает: фишка не лежит «наполовину» внутри.
В обруче лежат натуральные делители числа $10$. Правило отбора проверяется для любого числа: $10 : 5 = 2$ — число $5$ делит $10$, а $10$ на $4$ нацело не делится. Поэтому состав обруча определен однозначно.
Определение
Множество — набор различных объектов, о каждом из которых можно сказать, принадлежит он набору или нет. Объекты, из которых состоит множество, называют элементами множества.
А «высокие ученики класса» — не множество: один считает высоким того, кто выше $170$ см, другой — выше $180$ см. Обруч для них не положить, потому что про некоторых учеников нельзя договориться, внутри они или снаружи.
Как записать множество и проверить элемент
Множества обозначают заглавными латинскими буквами, а элементы перечисляют в фигурных скобках через точку с запятой: $D=\{1;\,2;\,4;\,8;\,16\}$. Точка с запятой нужна, чтобы не спутать перечисление с десятичной дробью: $\{1{,}5;\,2\}$ — это два числа, а не три.
Обозначения
Запись $x\in A$ читают «$x$ принадлежит множеству $A$»: фишка $x$ лежит в обруче $A$. Запись $x\notin A$ — «$x$ не принадлежит $A$»: фишка снаружи.
Порядок элементов в записи не важен: $\{1;\,2;\,4\}$ и $\{4;\,1;\,2\}$ — одно и то же множество. Повторять элемент бессмысленно: в обруче не может быть двух одинаковых фишек «$2$». Запись $\{1;\,2;\,2;\,4\}$ задает то же множество из трех элементов, что и $\{1;\,2;\,4\}$.
Пример 1
Пусть $D$ — множество натуральных делителей числа $16$. Запишите его перечислением и проверьте, принадлежат ли ему числа $8$ и $6$.
Решение. Переберем натуральные числа от $1$ до $16$ и оставим те, на которые $16$ делится нацело: $1$, $2$, $4$, $8$, $16$. Значит, $D=\{1;\,2;\,4;\,8;\,16\}$.
$16 : 8 = 2$, поэтому $8\in D$. При делении $16$ на $6$ получается $2$ и остаток $4$, поэтому $6\notin D$.
Ответ: $D=\{1;\,2;\,4;\,8;\,16\}$; $8\in D$, $6\notin D$.
Перечислить или назвать свойство
Обруч можно описать двумя способами. Первый — перечислить фишки: $T=\{3;\,6;\,9\}$. Второй — назвать свойство, по которому фишки отбирают: «натуральные числа, кратные $3$ и меньшие $10$». Оба описания задают один и тот же обруч.
Перечисление удобно, когда элементов немного. Свойство выручает, когда их много или бесконечно много: все четные натуральные числа не выписать, а свойство «делится на $2$» описывает их полностью. Здесь модель обручей перестает работать: бесконечно много фишек на стол не выложить. В этом модуле мы будем работать с конечными множествами.
Важно
Свойство должно давать ровно нужные элементы: ни одного лишнего и ни одного потерянного. Проверяйте границу. «Натуральные числа, кратные $3$ и меньшие $9$» — это $\{3;\,6\}$, а «кратные $3$ и не большие $9$» — это $\{3;\,6;\,9\}$.
Обруч внутри обруча
Положим на стол оранжевый обруч $B$ с делителями числа $8$: $1$, $2$, $4$, $8$. Внутри него поместим голубой обруч $A$ с делителями числа $4$: $1$, $2$, $4$. Каждая фишка из $A$ есть и в $B$, поэтому голубой обруч целиком помещается внутри оранжевого.
Определение
Множество $A$ называют подмножеством множества $B$, если каждый элемент $A$ является элементом $B$. Записывают так:
Проверка всегда одна: берем по очереди каждый элемент $A$ и ищем его в $B$. Хватит одной фишки снаружи, чтобы $A$ перестало быть подмножеством. Возьмем $C$ — делители числа $6$: $C=\{1;\,2;\,3;\,6\}$. Фишки $1$ и $2$ в $B$ есть, а $3$ и $6$ — нет. Значит, $C$ не подмножество $B$: $C\not\subseteq B$.
Рисунок, на котором множества изображены областями (обычно кругами), а элементы — точками внутри них, называют диаграммой Эйлера. Подмножество на диаграмме — круг, который целиком лежит в другом круге. Если $A\subseteq B$ и одновременно $B\subseteq A$, обручи содержат одни и те же фишки. Такие множества называют равными и пишут $A=B$.
На столе ниже обручи $A$ и $B$ частично накрывают друг друга. Включение $A\subseteq B$ выполнено, когда в области «только $A$» нет ни одной фишки: тогда обруч $A$ можно сжать и положить целиком внутрь $B$.
Пример 2
Даны множества $M=\{5;\,10\}$ и $N$ — натуральные числа, кратные $5$ и меньшие $30$. Верно ли, что $M\subseteq N$? Верно ли, что $N\subseteq M$?
Решение. Перечислим $N$: $N=\{5;\,10;\,15;\,20;\,25\}$. Элементы $M$ — числа $5$ и $10$ — оба есть в $N$, поэтому $M\subseteq N$. В $N$ есть число $15$, которого нет в $M$, поэтому $N\not\subseteq M$.
Ответ: $M\subseteq N$ верно, $N\subseteq M$ неверно.
Ошибка
Решавр пишет: «$2\subseteq\{1;\,2;\,4\}$, ведь число $2$ там есть».
Проверим на фишках. Знак $\subseteq$ сравнивает два обруча: слева должен стоять обруч, а $2$ — это фишка. Фишка лежит в обруче, поэтому верно $2\in\{1;\,2;\,4\}$. Если положить фишку $2$ в маленький обруч, получится множество $\{2\}$ — и вот этот обруч лежит внутри большого: $\{2\}\subseteq\{1;\,2;\,4\}$.
Где сломалось рассуждение: Решавр не различил фишку и обруч с одной фишкой. Знак $\in$ ставят между элементом и множеством, знак $\subseteq$ — между двумя множествами.
Интересный факт: откуда диаграммы Эйлера
Скрыть
Леонард Эйлер изображал понятия кругами в «Письмах к немецкой принцессе» — книге, где он объяснял науку без формул. Тома вышли в 1768–1772 годах. С помощью кругов Эйлер показывал, какие рассуждения верны: если круг «все квадраты» лежит внутри круга «все прямоугольники», то каждый квадрат — прямоугольник.
Пустой обруч — тоже множество
Отберем натуральные числа, которые меньше $5$ и делятся на $7$. Таких чисел нет: обруч на столе лежит, а фишек в нем ни одной. Это тоже множество, и у него есть свое имя.
Определение
Пустое множество — множество, в котором нет ни одного элемента. Его обозначают $\varnothing$.
Пустое множество — подмножество любого множества: $\varnothing\subseteq B$. Проверим по определению: нужно, чтобы каждый элемент $\varnothing$ лежал в $B$. Элементов нет, значит, нет и такого, который оказался бы снаружи, — выпасть из $B$ нечему. Кроме того, любое множество — подмножество самого себя: $B\subseteq B$, ведь все фишки $B$ лежат в $B$.
Ошибка
Решавр пишет: «$\varnothing=\{0\}$, ведь в пустом множестве ноль элементов».
Проверим на фишках. В обруче $\{0\}$ лежит одна фишка — на ней написано число $0$. В обруче $\varnothing$ не лежит ни одной фишки. В одном множестве один элемент, в другом — ни одного, значит, множества не равны.
Где сломалось рассуждение: «ноль элементов» говорит, сколько фишек в обруче, а «число $0$» — что написано на фишке. Пустое множество записывают только знаком $\varnothing$, без скобок и нуля.
Пример 3
Ученик выбирает кружки из множества $\{\text{Ф};\,\text{Ш}\}$, где Ф — футбол, Ш — шахматы. Выпишите все подмножества этого множества — все возможные выборы.
Решение. Разберем по числу элементов. Ни одного кружка: $\varnothing$. Один кружок: $\{\text{Ф}\}$ и $\{\text{Ш}\}$. Оба кружка: $\{\text{Ф};\,\text{Ш}\}$.
Ответ: четыре подмножества: $\varnothing$, $\{\text{Ф}\}$, $\{\text{Ш}\}$, $\{\text{Ф};\,\text{Ш}\}$. Пустое множество и само множество в списке обязательны.
Почему подмножеств вдвое больше
У множества $\{a\}$ два подмножества: $\varnothing$ и $\{a\}$. Добавим элемент $b$. Каждое прежнее подмножество теперь можно взять в двух видах: без $b$ или с $b$. Из $\varnothing$ получаются $\varnothing$ и $\{b\}$, из $\{a\}$ — $\{a\}$ и $\{a;\,b\}$. Было два подмножества — стало четыре. Так происходит при добавлении любого нового элемента: число подмножеств удваивается.
Что числа говорят о футболистах и шахматистах
Вернемся к вопросу из начала урока. Пусть $F$ — множество футболистов класса ($12$ человек), $S$ — множество шахматистов ($9$ человек). Положим два обруча на стол. Числа $12$ и $9$ не говорят, как именно они лежат, поэтому возможны три расположения.
Первое: обручи лежат врозь — ни один ученик не ходит в обе секции. Второе: обручи частично накрывают друг друга — некоторые ученики ходят в обе секции. Третье: обруч $S$ целиком внутри $F$ — каждый шахматист играет и в футбол, то есть $S\subseteq F$.
Четвертый случай, $F\subseteq S$, невозможен: тогда все $12$ футболистов оказались бы среди $9$ шахматистов. В подмножестве не может быть больше элементов, чем в самом множестве. Чтобы узнать, какое расположение на самом деле, нужен список учеников. Общую часть двух обручей — тех, кто ходит в обе секции, — разберем в уроке пересечение и объединение множеств.
Вывод
Множества — язык, на котором говорят о группах объектов в теории вероятностей и статистике: события, выборки, ответы опроса. Событие «выпало четное число» — это множество $\{2;\,4;\,6\}$, подмножество всех исходов $\{1;\,2;\,3;\,4;\,5;\,6\}$. Чтобы вспомнить главное, представьте обручи с фишками на столе.
Главное различие урока: фишка и обруч с одной фишкой — разные вещи. Поэтому $2\in A$, но $\{2\}\subseteq A$, и $\varnothing\ne\{0\}$.
Часто задаваемые вопросы
$2$ — это число, элемент множества. $\{2\}$ — множество, в котором один элемент — число $2$. Поэтому пишут $2\in\{1;\,2\}$, но $\{2\}\subseteq\{1;\,2\}$.
Множества равны, если у них одни и те же элементы. У любых двух пустых множеств элементов нет совсем, значит, различить их нечем. Поэтому «натуральные числа, меньшие $1$» и «натуральные числа, меньшие $5$ и кратные $7$» — одно и то же множество $\varnothing$.
В учебниках встречаются обе записи. Мы пишем точку с запятой, потому что запятая в числах отделяет дробную часть: запись $\{1{,}5;\,2\}$ однозначна, а через запятые ее легко прочитать как три числа.
На диаграмме Эйлера круги расположены так, как множества связаны на самом деле: подмножество — внутри, множества без общих элементов — врозь. На диаграмме Венна круги всегда рисуют пересекающимися, а пустые части отмечают отдельно.
О конечных и бесконечных множествах рассказано в уроке 6 класса, а о числовых множествах — в уроке 10 класса о множествах.
5
5
1
5
Получите полный доступ ко всем материалам и занимайтесь в удобном темпе — без ограничений.
- Более 700 000 учеников и 50 000 учителей по всей России.
- Повышение среднего балла по предмету до 20 % после месяца занятий.
- Всплеск интереса к учебе и более глубокое понимание предметов.
Создайте бесплатный аккаунт — и откройте больше возможностей:
- Отслеживайте прогресс освоения тем
- Получайте персональные подборки полезных уроков и заданий
- Проводите работу над ошибками после занятий