8 класс Вероятность и статистика Множества

Пересечение и объединение множеств

Содержание

В уроке про множество и подмножество множество было обручем на столе, а его элементы — фишками внутри обруча. Сегодня положим на стол два обруча сразу и разберем две новые операции: пересечение и объединение множеств. Научимся находить их по списку и по диаграмме Эйлера и узнавать в задачах по союзам «и» и «или».

Два обруча на одном столе

В футбольную секцию класса записаны Аня, Боря, Вика, Гриша и Дима. В шахматную — Вика, Дима, Егор и Женя. Тренерам нужно знать две вещи: кто ходит и в футбол, и в шахматы (у таких ребят может совпасть расписание), и кто ходит хотя бы в одну секцию. Ответим в конце урока, а пока посмотрим, как это выглядит на модели.

Пусть $A$ — футбольная секция, $B$ — шахматная. Положим два обруча на стол и разложим фишки с именами. Вика и Дима есть в обоих списках, поэтому их фишки должны лежать сразу в двух обручах. Это возможно, только если обручи наложены друг на друга. Общая часть двух кругов похожа на линзу — так ее и будем называть.

Два обруча с именами: общие имена Вика и Дима лежат в общей части — Фишки, которые есть в обоих списках, ложатся в линзу — общую часть обручей

Теперь на столе видно три области: только в $A$ (Аня, Боря, Гриша), только в $B$ (Егор, Женя) и линза (Вика, Дима). Каждая фишка лежит ровно в одной из этих областей: фишка из линзы — внутри обоих обручей, остальные — внутри одного. Из этих областей и собираются две новые операции.

{"questions":[{"content":"[[image-1]]На диаграмме — делители чисел $12$ и $18$. Какие числа лежат в общей части кругов?[[choice-1]]","widgets":{"image-1":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/10/vcrmoqqqylk8.svg"},"choice-1":{"type":"choice","options":["$\\{9;\\,18\\}$","$\\{1;\\,2;\\,3;\\,4;\\,6;\\,9;\\,12;\\,18\\}$","$\\{4;\\,12\\}$","$\\{1;\\,2;\\,3;\\,6\\}$"],"explanations":["Это числа только в круге $18$","Это все числа на диаграмме, а не общая часть","Это числа только в круге $12$",""],"answer":[3]}},"hints":["Общая часть — элементы, которые лежат в обоих кругах сразу.","Это числа $\\{1;\\,2;\\,3;\\,6\\}$: каждое делит и $12$, и $18$."],"step":1}],"mix":1}

Общие фишки лежат в линзе

Возьмем только линзу. В ней лежат элементы, у которых выполнено сразу два условия: элемент есть в $A$ и есть в $B$. Это множество получило свое название и знак.

Определение

Пересечение множеств $A$ и $B$ — это множество элементов, принадлежащих и $A$, и $B$. Обозначение: $A\cap B$ (читается «$A$ пересечь $B$»).

Делители 20 и 30: пересечение — только общая часть {1; 2; 5; 10} — Пересечение $A\cap B$ — заштрихованная линза: только те фишки, что лежат в обоих обручах

Как найти пересечение по списку: идем по элементам $A$ и про каждый спрашиваем «есть ли он в $B$?». Ответ «да» — фишка в линзе, записываем ее. Порядок, в котором заданы множества, не важен: $A\cap B=B\cap A$, ведь линза одна и та же, с какого обруча на нее ни смотри.

Пример

Найдите пересечение множества $A$ делителей числа $20$ и множества $B$ делителей числа $30$.

Выпишем оба множества: $A=\{1;\,2;\,4;\,5;\,10;\,20\}$, $B=\{1;\,2;\,3;\,5;\,6;\,10;\,15;\,30\}$.

Проверяем элементы $A$: $1$ — есть в $B$; $2$ — есть; $4$ — нет; $5$ — есть; $10$ — есть; $20$ — нет.

Ответ: $A\cap B=\{1;\,2;\,5;\,10\}$. Это общие делители чисел $20$ и $30$; наибольший из них, $10$, — их НОД.

Союз «и» в условии задачи — сигнал пересечения. «Ученики, которые ходят и в хор, и в кружок», «числа, которые делятся и на $2$, и на $5$» — каждый раз речь о линзе.

{"questions":[{"content":"Даны множества $A=\\{1;\\,2;\\,4;\\,8;\\,16\\}$ и $B=\\{1;\\,2;\\,3;\\,4;\\,6;\\,8;\\,12;\\,24\\}$. Чему равно $A\\cap B$?[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["$\\{16\\}$","$\\{1;\\,2;\\,3;\\,4;\\,6;\\,8;\\,12;\\,16;\\,24\\}$","$\\{3;\\,6;\\,12;\\,16;\\,24\\}$","$\\{1;\\,2;\\,4;\\,8\\}$"],"explanations":["Это элементы только первого множества","Это объединение: взяты все элементы, а не только общие","Это элементы, которые лежат ровно в одном из множеств",""],"answer":[3]}},"hints":["Пересечение — множество общих элементов: они лежат и в $A$, и в $B$.","Проверьте каждый элемент $A$: есть ли он в $B$. Общие: $\\{1;\\,2;\\,4;\\,8\\}$.","Ответ: $A\\cap B=\\{1;\\,2;\\,4;\\,8\\}$."],"step":1},{"content":"Пусть $A$ — множество делителей числа $24$, $B$ — множество делителей числа $36$. Сколько элементов в $A\\cap B$? [[input-1]]","widgets":{"input-1":{"type":"input","answer":"6"}},"hints":["Выпишите $A=\\{1;\\,2;\\,3;\\,4;\\,6;\\,8;\\,12;\\,24\\}$ и $B=\\{1;\\,2;\\,3;\\,4;\\,6;\\,9;\\,12;\\,18;\\,36\\}$.","Общие элементы: $\\{1;\\,2;\\,3;\\,4;\\,6;\\,12\\}$.","Ответ: 6."],"step":1},{"content":"Пусть $A$ — ученики, которые ходят в хор, а $B$ — ученики, которые ходят в кружок. Ученики, которые ходят и в хор, и в кружок, — это множество [[fill_choice-1]].","widgets":{"fill_choice-1":{"type":"fill_choice","options":["$B$","$A$","$A\\cup B$","$A\\cap B$"],"answer":3}},"hints":["Союз «и» требует обоих условий сразу: ученик входит и в $A$, и в $B$.","Такие элементы лежат в общей части: это пересечение $A\\cap B$."],"step":1}],"mix":1}

Объединение: все фишки, но каждая один раз

Теперь возьмем все, что лежит внутри обручей: область только $A$, линзу и область только $B$. Здесь условие мягче: фишке достаточно быть хотя бы в одном обруче. Фишке из линзы это тоже подходит — она лежит даже в двух.

Определение

Объединение множеств $A$ и $B$ — это множество элементов, принадлежащих хотя бы одному из них. Обозначение: $A\cup B$ (читается «$A$ объединить с $B$»).

Здесь «или» — не «либо одно, либо другое», а «хотя бы одно». Знак $\cup$ похож на чашу, в которую ссыпали фишки из обоих обручей, а $\cap$ — на ту же чашу вверх дном: под ней остается только общее.

Объединение: каждая фишка один раз; слева повторы лишние — Слева: фишку из линзы записали дважды — так нельзя. Справа: $A\cup B$, каждая фишка один раз

Ошибка

Как ошибаются. Объединение $A=\{2;\,4;\,6\}$ и $B=\{4;\,6;\,8\}$ записывают «все подряд»: $\{2;\,4;\,6;\,4;\,6;\,8\}$ — шесть элементов. Другая версия той же ошибки — выбросить общие: «или» прочитано как «только в одном», получается $\{2;\,8\}$.

Проверка на фишках. Фишка «$4$» на столе одна, она лежит в линзе. Взять ее из обруча $A$, а потом еще раз из обруча $B$ нельзя: в множестве каждый элемент записывают один раз. И выбросить ее нельзя: она лежит в $A$, значит, условие «хотя бы в одном» выполнено.

Где ломается рассуждение. Обручи перебирают по очереди и забывают, что линза принадлежит обоим. Верно: $A\cup B=\{2;\,4;\,6;\,8\}$ — четыре элемента, а не $3+3=6$.

Пример

$A$ — натуральные числа от $1$ до $20$, кратные $3$; $B$ — натуральные числа от $1$ до $20$, кратные $4$. Найдите $A\cup B$ и число его элементов.

Выпишем: $A=\{3;\,6;\,9;\,12;\,15;\,18\}$ — $6$ элементов, $B=\{4;\,8;\,12;\,16;\,20\}$ — $5$ элементов.

Берем все элементы $A$ и добавляем элементы $B$, которых в $A$ еще нет. Число $12$ уже записано — оно в линзе, второй раз его не пишем.

Ответ: $A\cup B=\{3;\,4;\,6;\,8;\,9;\,12;\,15;\,16;\,18;\,20\}$, в нем $10$ элементов, а не $6+5=11$.

В интерактиве ниже обруч $B$ двигают ползунком «сдвиг $B$» (семь положений). Следите за двумя числами: сколько фишек в линзе и сколько всего фишек в $A\cup B$. Попробуйте добиться, чтобы $n(A\cup B)$ стало равно $n(A)+n(B)$, — и посмотрите, что при этом происходит с линзой.

mn-linza

{"questions":[{"content":"Даны множества $A=\\{1;\\,3;\\,5;\\,7;\\,9\\}$ и $B=\\{3;\\,6;\\,9;\\,12\\}$. Сколько элементов в $A\\cup B$? [[input-1]]","widgets":{"input-1":{"type":"input","answer":"7"}},"hints":["Объединение — все элементы $A$ и $B$, каждый записывается один раз.","$\\{1;\\,3;\\,5;\\,6;\\,7;\\,9;\\,12\\}$.","Ответ: 7."],"step":1},{"content":"Даны $A=\\{1;\\,5;\\,9\\}$ и $B=\\{5;\\,9;\\,13\\}$. Решавр записал: $A\\cup B=\\{1;\\,5;\\,9;\\,5;\\,9;\\,13\\}$. В чем ошибка?[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["Нужно записать только общие: $\\{5;\\,9\\}$","Общие элементы $5$ и $9$ записаны дважды: верно $\\{1;\\,5;\\,9;\\,13\\}$","Нужно записать $\\{1;\\,13\\}$","Ошибки нет: объединение содержит все числа обоих множеств"],"explanations":["Это пересечение, а не объединение","","Это элементы, которые лежат ровно в одном множестве","Все числа обоих множеств — да, но каждое только один раз"],"answer":[1]}},"hints":["В множестве каждый элемент записывают один раз.","Числа $5$ и $9$ лежат в обоих множествах, их нужно записать по одному разу.","Ответ: $A\\cup B=\\{1;\\,5;\\,9;\\,13\\}$."],"step":1},{"content":"Пусть $A$ — ученики, которые любят чай, а $B$ — ученики, которые любят кофе. Кто входит в $A\\cup B$?[[choice-2]]","widgets":{"choice-2":{"type":"choice","options":["Только те, кто любит чай, но не кофе","Те, кто любит хотя бы один напиток","Только те, кто любит оба напитка","Те, кто любит только один напиток"],"explanations":["Это часть $A$, не весь объединенный круг","","Это пересечение $A\\cap B$","Любящие оба напитка тоже входят в объединение"],"answer":[1]}},"hints":["Объединение — «или»: элемент входит хотя бы в одно из множеств.","Значит, подходят те, кто любит чай, кофе или оба напитка."],"step":1}],"mix":1}

Когда линзы нет

Обручи можно положить и так, что они не касаются. Например, $A$ — нечетные числа от $1$ до $9$, $B$ — четные числа от $2$ до $8$. Нет ни одного числа, которое было бы сразу четным и нечетным, поэтому ни одна фишка не может лежать в двух обручах. Линзы нет.

Обручи не касаются: пересечение пусто, n(A ∪ B) = 5 + 4 = 9 — Обручи не пересекаются: $A\cap B=\varnothing$, а объединение — просто все фишки обоих обручей

Определение

Множества $A$ и $B$ называют непересекающимися, если у них нет общих элементов, то есть их пересечение — пустое множество.

Только в этом случае число элементов объединения равно сумме: $n(A\cup B)=n(A)+n(B)$, потому что ни одну фишку не считают дважды. Если линза есть, сумма $n(A)+n(B)$ больше $n(A\cup B)$.

Обратите внимание

Множества делителей двух чисел никогда не бывают непересекающимися: число $1$ делит любое натуральное число и всегда лежит в линзе. У делителей $8$ и $9$ пересечение $\{1\}$, а не $\varnothing$.

{"questions":[{"content":"Разложите пары множеств на две группы.[[grouper-1]]","widgets":{"grouper-1":{"type":"grouper","labels":["Пересечение пусто","Есть общие элементы"],"items":[["Нечетные и четные числа от 1 до 10","Числа от 1 до 9, кратные 5, и числа от 1 до 9, кратные 7","Четные числа до 10 и числа 1, 3, 5"],["Делители числа 14 и делители числа 15","Делители числа 10 и делители числа 21","Числа до 15, кратные 3, и числа до 15, кратные 5"]]}},"instruction":"Распределите пары по группам","hints":["Для каждой пары найдите хотя бы один общий элемент. Нашли — пересечение не пусто.","У делителей любых двух чисел всегда есть общий элемент $1$; у кратных $3$ и кратных $5$ до $15$ общий элемент $15$.","Пустое пересечение: нечетные и четные числа до $10$; кратные $5$ и кратные $7$ от $1$ до $9$; четные до $10$ и $\\{1;\\,3;\\,5\\}$."],"step":1},{"content":"Для какой пары множеств пересечение пусто?[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["Числа, кратные $2$, и числа, кратные $3$, от $1$ до $12$","Числа от $1$ до $20$, кратные $6$, и числа от $1$ до $20$, кратные $7$","Делители числа $6$ и делители числа $9$","Простые и нечетные числа от $1$ до $10$"],"explanations":["Общие элементы: $6$ и $12$","","Общие элементы: $1$ и $3$","Общие элементы: $3$, $5$, $7$"],"answer":[1]}},"hints":["Проверьте, есть ли у пары общий элемент.","Среди $\\{6;\\,12;\\,18\\}$ и $\\{7;\\,14\\}$ нет общих чисел. Ответ: кратные $6$ и кратные $7$ до $20$."],"step":1}],"mix":1}

Обруч внутри обруча

Вспомним прошлый урок: если $A\subseteq B$, то обруч $A$ целиком лежит внутри обруча $B$. Где теперь линза? Общая часть двух кругов — это весь маленький круг $A$. А вместе обручи занимают ровно столько места, сколько большой круг $B$.

A внутри B: A ∩ B = A, A ∪ B = B (делители 6 и 12) — Если $A\subseteq B$, линза совпадает с $A$, а объединение — с $B$

Правило

Если $A$ — подмножество $B$, то пересечение равно меньшему множеству, а объединение — большему:

Почему это верно. Каждый элемент $A$ лежит и в $B$, значит, все элементы $A$ общие, и других общих нет — получаем $A\cap B=A$. А к элементам $B$ объединение ничего не добавляет: все элементы $A$ там уже есть, поэтому $A\cup B=B$.

Пример

$A$ — делители числа $6$, $B$ — делители числа $12$. Найдите $A\cap B$ и $A\cup B$.

$A=\{1;\,2;\,3;\,6\}$, $B=\{1;\,2;\,3;\,4;\,6;\,12\}$. Каждый делитель $6$ делит и $12$, поэтому $A\subseteq B$.

По правилу: $A\cap B=\{1;\,2;\,3;\,6\}=A$, $A\cup B=\{1;\,2;\,3;\,4;\,6;\,12\}=B$. Проверка перебором дает то же самое.

Пересечение и объединение совпадают только в одном случае — когда обручи совпали полностью, то есть $A=B$. Тогда на столе нет ни одной фишки вне линзы.

{"questions":[{"content":"Если $A\\subseteq B$, то $A\\cap B=$ [[fill_choice-1]].","widgets":{"fill_choice-1":{"type":"fill_choice","options":["$B$","$A$","Пустое множество $\\varnothing$","$A\\cup B$"],"answer":1}},"hints":["Все элементы $A$ лежат и в $B$, значит, они общие.","Других общих элементов нет: пересечение равно $A$."],"step":1},{"content":"[[image-1]]На диаграмме множество $A$ лежит внутри множества $B$. Чему равно $A\\cup B$?[[choice-1]]","widgets":{"image-1":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/10/fywwrft0f6ic.svg"},"choice-1":{"type":"choice","options":["Пустое множество $\\varnothing$","$A\\cap B$","$B$","$A$"],"explanations":["Объединение не бывает меньше каждого из множеств","Это пересечение, оно равно $A$","","Это пересечение, а не объединение"],"answer":[2]}},"hints":["Объединение — все элементы обоих множеств.","Все элементы $A$ уже есть в $B$, поэтому объединение совпадает с $B$."],"step":1},{"content":"При каком условии $A\\cup B=A\\cap B$?[[choice-2]]","widgets":{"choice-2":{"type":"choice","options":["Когда $A\\subseteq B$","Только когда $A=B$","Когда $A$ и $B$ не пересекаются","Никогда"],"explanations":["Тогда пересечение равно $A$, а объединение равно $B$: они разные, если $A\\ne B$","","Тогда пересечение пусто, а объединение — нет (если множества не пусты)","При $A=B$ оба равны $A$"],"answer":[1]}},"hints":["Объединение содержит все элементы обоих множеств, пересечение — только общие.","Они совпадают, только если у множеств нет необщих элементов: $A$ и $B$ состоят из одних и тех же элементов."],"level":"повышенный","step":1}],"mix":1}

Вернемся к секциям

Теперь ответим тренерам. Футбол: $A$ — Аня, Боря, Вика, Гриша, Дима. Шахматы: $B$ — Вика, Дима, Егор, Женя.

Секции: в обеих 2 ученика, хотя бы в одной 7, а не 5 + 4 = 9 — В обе секции ходят $2$ человека, хотя бы в одну — $7$, а не $5+4=9$

Вопрос	Союз	Операция	Ответ
Кто ходит и в футбол, и в шахматы?	«и»	$A\cap B$	Вика, Дима
Кто ходит хотя бы в одну секцию?	«или»	$A\cup B$	Аня, Боря, Вика, Гриша, Дима, Егор, Женя

Всего в секциях $7$ разных человек, хотя в списках $5+4=9$ имен: Вика и Дима из линзы записаны в обоих списках. Как сразу посчитать число элементов объединения, не выписывая его, разберем в уроке о числу элементов объединения. А в следующем уроке научимся вырезать линзу из обруча — это разность и дополнение.

{"questions":[{"content":"В хор ходят Катя, Лев, Маша и Ника, в театральную студию — Маша, Ника и Олег. Сопоставьте описание и множество учеников.[[matcher-1]]","widgets":{"matcher-1":{"type":"matcher","labels":["Ходят и в хор, и в студию","Ходят хотя бы в один из двух кружков","Ходят в хор"],"items":["Маша, Ника","Катя, Лев, Маша, Ника, Олег","Катя, Лев, Маша, Ника","Катя, Лев, Олег"]}},"instruction":"Сопоставьте описание и множество","hints":["«И в хор, и в студию» — общие элементы, пересечение: Маша и Ника.","«Хотя бы в одну студию» — объединение, каждый один раз: Катя, Лев, Маша, Ника, Олег.","«В хор» — само множество хора: Катя, Лев, Маша, Ника. Набор «Катя, Лев, Олег» — те, кто ходит ровно в одну студию; он лишний."],"step":1}],"mix":1}

Вывод

Пересечение и объединение — два способа собрать новое множество из двух данных. Они понадобятся в теории вероятностей: там события тоже соединяют союзами «и» и «или». Чтобы вспомнить правило, представьте два обруча на столе.

Часто задаваемые вопросы

Чем отличаются знаки $\cap$ и $\cup$?

Знак $\cup$ открыт вверх, как чаша: в нее ссыпают фишки обоих обручей, это объединение. Знак $\cap$ — та же чаша вверх дном: остается только общее, это пересечение.

Может ли объединение быть меньше одного из множеств?

Нет. Все элементы $A$ входят в $A\cup B$, поэтому объединение содержит каждое из множеств. Оно равно большему из них, если меньшее вложено в большее.

Почему в объединении нельзя писать общий элемент дважды?

Множество — набор различных объектов: фишка на столе одна, даже если она лежит в двух обручах. Повтор не делает элементов больше, но сбивает при подсчете, сколько их.

Важно ли, какое множество написать первым?

Нет: $A\cap B=B\cap A$ и $A\cup B=B\cup A$. Линза и вся область внутри обручей не зависят от того, какой обруч назвать первым. С разностью множеств это уже не так — об этом следующий урок.

Что значит «или» в математике?

В определении объединения «или» означает «хотя бы одно из условий», включая случай, когда выполнены оба. Если нужно «ровно одно», это говорят отдельно: «только в $A$ или только в $B$».

Награды за урок