Карточки
Тесты
Зави
Число элементов объединения. Задачи на круги Эйлера
Число элементов объединения. Задачи на круги Эйлера
Вы уже умеете находить пересечение и объединение множеств. В этом уроке научимся считать, сколько элементов в объединении двух множеств, и решать задачи на круги Эйлера: про кружки, секции и языки. Главный вопрос урока: в классе из 30 человек 19 ходят на английский и 17 на немецкий. Может ли быть так, что никто не ходит на оба языка? Ответ вы найдете после третьего примера, а по пути выясним, почему сумма двух чисел часто дает ответ больше настоящего.
Сумма двух чисел считает общие фишки дважды
Положим на стол два обруча. В обруче $A$ лежат фишки учеников, которые ходят на футбол, в обруче $B$ — фишки тех, кто ходит на шахматы. В обруче $A$ пять фишек, в обруче $B$ — четыре. Обручи наложены друг на друга, и две фишки лежат в их общей части — линзе: эти ученики ходят в обе секции.
Посчитаем фишки по обручам. Обходим обруч $A$ — насчитали $5$. Обходим обруч $B$ — насчитали $4$, но по дороге снова прошли через линзу. Каждая фишка линзы попала в обе суммы. Поэтому $5 + 4 = 9$, а на столе всего $7$ фишек: $9-2 = 7$.
Определение
Число элементов конечного множества $A$ — количество его элементов. Обозначение: $n(A)$. Например, для $A=\{2;\,4;\,6\}$ число элементов $n(A)=3$, а для пустого множества $n(\varnothing)=0$.
Если обручи не пересекаются и линза пуста, сумма верна: $n(A\cup B)=n(A)+n(B)$. Если в линзе есть фишки, сумма больше настоящего числа ровно на столько, сколько фишек в линзе.
Формула объединения: линзу вычитаем один раз
Правило
Число элементов объединения двух конечных множеств равно сумме чисел их элементов без числа общих элементов:
Почему формула верна. Фишка, которая лежит только в $A$ или только в $B$, попадает ровно в одно слагаемое: в $n(A)$ или в $n(B)$. Фишка из линзы попадает в оба слагаемых, то есть посчитана два раза. Вычитая $n(A\cap B)$, мы убираем каждую фишку линзы один раз. В итоге каждая фишка объединения посчитана ровно один раз.
Пример 1
$A$ — множество натуральных делителей числа $12$, $B$ — множество натуральных делителей числа $18$. Найдите $n(A\cup B)$ по формуле и проверьте перечислением.
Решение. $A=\{1;\,2;\,3;\,4;\,6;\,12\}$, $n(A)=6$. $B=\{1;\,2;\,3;\,6;\,9;\,18\}$, $n(B)=6$.
Общие делители: $A\cap B=\{1;\,2;\,3;\,6\}$, $n(A\cap B)=4$. По формуле $n(A\cup B)=6 + 6-4 = 8$.
Проверка: $A\cup B=\{1;\,2;\,3;\,4;\,6;\,9;\,12;\,18\}$ — восемь чисел.
Ответ: $8$.
Ошибка
Решавр рассуждает так: «Делителей у $12$ шесть, у $18$ тоже шесть, значит, чисел, которые делят $12$ или $18$, всего $6 + 6 = 12$».
Проверим на числах: выпишем объединение из примера 1 — в нем только $8$ чисел, а не $12$.
Где сломалось рассуждение: числа $1$, $2$, $3$, $6$ стоят и в списке $A$, и в списке $B$, поэтому сумма посчитала их дважды. Складывать числа элементов без вычитания можно, только если у множеств нет общих элементов.
Обратите внимание
Из той же формулы находят число общих элементов, если известно объединение: $n(A\cap B)=n(A)+n(B)-n(A\cup B)$. Сумма $n(A)+n(B)$ больше объединения как раз на линзу.
Четыре области на столе и что лежит в каждой
Два обруча на столе-универсуме $U$ делят его на четыре области: «только в $A$», «в $A$ и в $B$» (линза), «только в $B$» и «ни в одном» (вне обоих обручей). Каждая фишка лежит ровно в одной области. Поэтому числа областей можно складывать без вычитаний.
По рисунку $n(A)=6+3=9$, $n(B)=4+3=7$, $n(A\cup B)=6+3+4=13$, всего в классе $18$.
| Область | Запись | Как найти | На рисунке |
|---|---|---|---|
| Только в $A$ | $A\setminus B$ | $n(A)-n(A\cap B)$ | $9-3 = 6$ |
| В обоих | $A\cap B$ | $n(A)+n(B)-n(A\cup B)$ | $9 + 7-13 = 3$ |
| Только в $B$ | $B\setminus A$ | $n(B)-n(A\cap B)$ | $7-3 = 4$ |
| Ни в одном | $\overline{A\cup B}$ | $n(U)-n(A\cup B)$ | $18-13 = 5$ |
Сумма четырех областей равна числу всех элементов: $6 + 3 + 4 + 5 = 18$. Это главная проверка любой задачи на круги Эйлера: если сумма областей не совпала с размером класса, где-то ошибка.
Ошибка
Решавр смотрит на тот же рисунок и пишет: «В круге $A$ девять учеников, значит, только в $A$ — девять».
Проверим на числах: тогда области дают $9 + 3 + 4 + 5 = 21$, а в классе $18$ учеников. Сумма больше класса.
Где сломалось рассуждение: число $n(A)=9$ уже включает трех учеников из линзы. «Ходит на футбол» и «ходит только на футбол» — разные области.
Задачу заполняем от линзы к краям
Алгоритм
- Нарисуйте два круга внутри прямоугольника — всего класса.
- Впишите число в линзу. Если его нет в условии, найдите по формуле $n(A\cap B)=n(A)+n(B)-n(A\cup B)$.
- Найдите края: «только $A$» $=n(A)-n(A\cap B)$, «только $B$» $=n(B)-n(A\cap B)$.
- Сложите три области внутри кругов — это $n(A\cup B)$.
- Вне кругов: все ученики минус $n(A\cup B)$.
- Проверьте: сумма четырех областей равна всему классу.
Начинать надо с линзы, потому что края от нее зависят. Если начать с краев, легко вписать в область «только $A$» все число $n(A)$ — и повторить ошибку Решавра.
Пример 2
В классе $28$ учеников. В хор ходят $13$ человек, в театральную студию — $9$, в оба коллектива — $4$. Сколько учеников ходят только в театральную студию и сколько не ходят никуда?
Решение. Линза: $4$. Только хор: $13-4 = 9$. Только студия: $9-4 = 5$.
Хотя бы куда-то ходят $9 + 4 + 5 = 18$ учеников. Никуда не ходят $28-18 = 10$.
Проверка: $9 + 4 + 5 + 10 = 28$ — весь класс.
Ответ: только в студию — $5$, никуда — $10$.
Пример 3
В классе $24$ ученика. На плавание ходят $15$, на шахматы — $11$, а $2$ ученика не ходят никуда. Сколько учеников ходят только на плавание?
Решение. Линзы в условии нет — найдем ее. Хотя бы в одну секцию ходят $24-2 = 22$ ученика, это $n(A\cup B)$.
Линза: $15 + 11-22 = 4$. Только плавание: $15-4 = 11$, только шахматы: $11-4 = 7$.
Проверка: $11 + 4 + 7 + 2 = 24$.
Ответ: $11$.
Вернемся к задаче из введения. Если бы никто не ходил на оба языка, то на английский и немецкий ходили бы $19+17=36$ человек, а в классе только $30$. Значит, линза не пуста: в ней не меньше $36-30=6$ человек.
Сравните примеры 2 и 3. В первом линза дана, и задача решается вычитаниями от линзы наружу. Во втором дано число тех, кто не ходит никуда: через него находим объединение, а уже из объединения — линзу. Порядок остальных шагов не меняется, и проверка суммой областей работает в обоих случаях.
Три обруча: те же шаги, только областей больше
Три обруча делят стол на восемь областей: центр (во всех трех), три области «ровно в двух», три области «ровно в одном» и область вне обручей. Алгоритм тот же: заполняем от самой общей части наружу — сначала центр, потом области «ровно в двух», потом «ровно в одном».
Пример 4 (повышенный уровень)
В классе $30$ учеников. В кружок робототехники ходят $14$, в шахматный — $12$, на танцы — $10$. В робототехнику и шахматы ходят $5$, в робототехнику и на танцы — $4$, в шахматы и на танцы — $3$ (в этих числах учтены и те, кто ходит во все три), во все три кружка — $2$. Сколько учеников ходят ровно в один кружок и сколько никуда?
Решение. Центр: $2$. Ровно в двух: робототехника и шахматы $5-2 = 3$, робототехника и танцы $4-2 = 2$, шахматы и танцы $3-2 = 1$.
Ровно в одном: робототехника $14-2-3-2 = 7$, шахматы $12-2-3-1 = 6$, танцы $10-2-2-1 = 5$. Всего $7 + 6 + 5 = 18$.
Хотя бы в один кружок: $2 + 3 + 2 + 1 + 7 + 6 + 5 = 26$. Никуда: $30-26 = 4$. Проверка: восемь областей дают $26 + 4 = 30$.
Ответ: ровно в один кружок — $18$, никуда — $4$.
Ошибка
Решавр считает «только робототехнику» так: $14-5-4 = 5$. Проверка: тогда восемь областей дают $28$, а в классе $30$. Где сломалось: центр входит и в $5$, и в $4$, поэтому его вычли дважды. Сначала вычтите центр, затем области «ровно в двух»: $14-2-3-2 = 7$.
Вывод
Задачи на круги Эйлера встречаются везде, где люди или предметы входят в несколько групп сразу: секции, языки, покупки. Чтобы не ошибиться, представьте обручи с фишками: каждая фишка лежит ровно в одной области, а сумма чисел двух обручей считает линзу дважды. Если вернуться к задаче из начала урока: $19+17=36>30$, значит, в линзе не меньше $6$ человек, и не ходить на оба языка никто не может. Позже так же будем считать исходы случайных событий.
| Что спрашивают | Что делаем с обручами |
|---|---|
| Сколько хотя бы в одном | Складываем обручи и вычитаем линзу: $n(A)+n(B)-n(A\cap B)$ |
| Сколько в обоих | Сумма обручей минус объединение: $n(A)+n(B)-n(A\cup B)$ |
| Сколько только в $A$ | Обруч без линзы: $n(A)-n(A\cap B)$ |
| Сколько ни в одном | Весь стол минус объединение: $n(U)-n(A\cup B)$ |
| Как проверить | Сумма всех областей равна числу всех элементов |
Часто задаваемые вопросы
Только когда у множеств нет общих элементов: линза пуста, $n(A\cap B)=0$. Тогда формула дает ту же сумму. Если хотя бы один элемент общий, сумма окажется больше объединения.
Числа краев зависят от линзы: «только в $A$» равно $n(A)$ без линзы. Пока линза не вписана, края найти нельзя. Начав с краев, легко записать туда все $n(A)$ и получить сумму областей больше класса.
Найдите сначала объединение: например, весь класс минус те, кто никуда не ходит. Затем линза равна $n(A)+n(B)-n(A\cup B)$. Дальше решайте по обычному алгоритму.
Есть, но в задачах проще заполнять восемь областей от центра наружу, как в примере 4. Тот же ответ дает проверка: сумма всех областей должна совпасть с числом всех элементов.
5
5
1
5
Получите полный доступ ко всем материалам и занимайтесь в удобном темпе — без ограничений.
- Более 700 000 учеников и 50 000 учителей по всей России.
- Повышение среднего балла по предмету до 20 % после месяца занятий.
- Всплеск интереса к учебе и более глубокое понимание предметов.
Создайте бесплатный аккаунт — и откройте больше возможностей:
- Отслеживайте прогресс освоения тем
- Получайте персональные подборки полезных уроков и заданий
- Проводите работу над ошибками после занятий