Разность и дополнение множеств. Свойства операций

8 вопросов, при повторном прохождении вопросы меняются.

<div class="test"><pre><textarea>{"questions":[{"id":"1","content":"Для любого множества $A$ в универсуме $U$ верно $A\\cap\\overline{A}=$ [[fill_choice_big-1]].","widgets":{"fill_choice_big-1":{"type":"fill_choice_big","options":["Пустое множество $\\varnothing$","Дополнение $\\overline{A}$","Сам $A$","Универсум $U$"],"answer":0,"placeholder":0}},"hints":["Пересечение — общие элементы $A$ и $\\overline{A}$.","Элемент не может одновременно быть в $A$ и вне $A$: общих нет."],"step":1},{"id":"1","content":"Для любого множества $B$ в универсуме $U$ верно $B\\cup\\overline{B}=$ [[fill_choice_big-2]].","widgets":{"fill_choice_big-2":{"type":"fill_choice_big","options":["Пустое множество $\\varnothing$","Сам $B$","Универсум $U$","Дополнение $\\overline{B}$"],"answer":2,"placeholder":0}},"hints":["Объединение берет все элементы $B$ и все элементы, которых нет в $B$.","Вместе это весь универсум."],"step":1},{"id":"2","content":"Даны множества $A=\\{2;\\,3;\\,5;\\,7\\}$ и $B=\\{3;\\,7;\\,11;\\,13\\}$. Чему равно $B\\setminus A$?[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["$\\{11;\\,13\\}$","$\\{3;\\,7\\}$","$\\{2;\\,5\\}$","$\\{2;\\,3;\\,5;\\,7;\\,11;\\,13\\}$"],"explanations":["","Это пересечение — общие элементы","Это $A\\setminus B$: вычитают не из того множества","Это объединение"],"answer":[0]}},"hints":["Разность $B\\setminus A$ — элементы $B$, которых нет в $A$.","Из $B=\\{3;\\,7;\\,11;\\,13\\}$ уберите общие с $A$: $\\{3;\\,7\\}$.","Ответ: $B\\setminus A=\\{11;\\,13\\}$."],"step":1},{"id":"2","content":"Даны множества $A=\\{4;\\,8;\\,12;\\,16\\}$ и $B=\\{8;\\,16;\\,24\\}$. Чему равно $B\\setminus A$?[[choice-2]]","widgets":{"choice-2":{"type":"choice","options":["$\\{4;\\,12\\}$","$\\{4;\\,8;\\,12;\\,16;\\,24\\}$","$\\{24\\}$","$\\{8;\\,16\\}$"],"explanations":["Это $A\\setminus B$: вычитают не из того множества","Это объединение","","Это пересечение — общие элементы"],"answer":[2]}},"hints":["Разность $B\\setminus A$ — элементы $B$, которых нет в $A$.","Из $B=\\{8;\\,16;\\,24\\}$ уберите общие с $A$: $\\{8;\\,16\\}$.","Ответ: $B\\setminus A=\\{24\\}$."],"step":1},{"id":"3","content":"[[image-1]]На диаграмме показаны множества $A$ и $B$. Чему равно $A\\setminus B$?[[choice-3]]","widgets":{"image-1":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/10/rpqmowmhiwhg.svg"},"choice-3":{"type":"choice","options":["$\\{6;\\,7\\}$","$\\{1;\\,2;\\,3\\}$","$\\{4;\\,5\\}$","$\\{1;\\,2;\\,3;\\,4;\\,5;\\,6;\\,7\\}$"],"explanations":["Это $B\\setminus A$: числа только второго круга","","Это пересечение","Это объединение"],"answer":[1]}},"hints":["$A\\setminus B$ — числа только из круга $A$ (вне общей части).","Это $\\{1;\\,2;\\,3\\}$."],"step":1},{"id":"3","content":"[[image-2]]На диаграмме показаны множества $M$ и $K$. Чему равно $M\\setminus K$?[[choice-4]]","widgets":{"image-2":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/10/evc8nu8e2haf.svg"},"choice-4":{"type":"choice","options":["$\\{9;\\,12\\}$","$\\{6;\\,15\\}$","$\\{6;\\,9;\\,12;\\,14;\\,15\\}$","$\\{14\\}$"],"explanations":["Это пересечение","Это $K\\setminus M$: числа только второго круга","Это объединение",""],"answer":[3]}},"hints":["$M\\setminus K$ — числа только из круга $M$ (вне общей части).","Это $\\{14\\}$."],"step":1},{"id":"4","content":"Универсум $U=\\{1;\\,2;\\,3;\\,4;\\,5;\\,6;\\,7;\\,8\\}$, множество $A=\\{1;\\,3;\\,5;\\,7\\}$. Тогда $\\overline{A}=$ [[fill_choice_big-3]].","widgets":{"fill_choice_big-3":{"type":"fill_choice_big","options":["$\\{1;\\,2;\\,3;\\,4;\\,5;\\,6;\\,7;\\,8\\}$","$\\{2;\\,4;\\,6\\}$","$\\{1;\\,3;\\,5;\\,7\\}$","$\\{2;\\,4;\\,6;\\,8\\}$"],"answer":3,"placeholder":0}},"hints":["Дополнение $\\overline{A}$ — элементы $U$, которых нет в $A$.","Уберем из $U$ элементы $A$: $\\{2;\\,4;\\,6;\\,8\\}$."],"step":1},{"id":"4","content":"Универсум $U=\\{0;\\,1;\\,2;\\,3;\\,4;\\,5;\\,6\\}$, множество $A=\\{2;\\,4;\\,6\\}$. Тогда $\\overline{A}=$ [[fill_choice_big-4]].","widgets":{"fill_choice_big-4":{"type":"fill_choice_big","options":["$\\{0;\\,1;\\,2;\\,3;\\,4;\\,5;\\,6\\}$","$\\{0;\\,1;\\,3;\\,5\\}$","$\\{2;\\,4;\\,6\\}$","$\\{0;\\,1;\\,3\\}$"],"answer":1,"placeholder":0}},"hints":["Дополнение $\\overline{A}$ — элементы $U$, которых нет в $A$.","Уберем из $U$ элементы $A$: $\\{0;\\,1;\\,3;\\,5\\}$."],"step":1},{"id":"5","content":"Множество $A=\\{2;\\,4\\}$. Сопоставьте универсум и дополнение $\\overline{A}$. Одна запись лишняя.[[matcher-1]]","widgets":{"matcher-1":{"type":"matcher","labels":["$U=\\{1;\\,2;\\,3;\\,4;\\,5\\}$","$U=\\{2;\\,4;\\,6\\}$","$U=\\{2;\\,4\\}$"],"items":["$\\{1;\\,3;\\,5\\}$","$\\{6\\}$","$\\varnothing$","$\\{2;\\,4\\}$"]}},"instruction":"Сопоставьте универсум и дополнение","hints":["$\\overline{A}$ — элементы универсума $U$, которых нет в $A$: из каждого $U$ уберите элементы $A$.","$U=\\{1;\\,2;\\,3;\\,4;\\,5\\}$: $\\overline{A}=\\{1;\\,3;\\,5\\}$; $U=\\{2;\\,4;\\,6\\}$: $\\overline{A}=\\{6\\}$; $U=\\{2;\\,4\\}$: $\\overline{A}=\\varnothing$.","Лишняя запись $\\{2;\\,4\\}$ — это само $A$, а не дополнение."],"step":1},{"id":"5","content":"Множество $A=\\{3;\\,6\\}$. Сопоставьте универсум и дополнение $\\overline{A}$. Одна запись лишняя.[[matcher-2]]","widgets":{"matcher-2":{"type":"matcher","labels":["$U=\\{1;\\,2;\\,3;\\,4;\\,5;\\,6\\}$","$U=\\{3;\\,6;\\,9\\}$","$U=\\{3;\\,6\\}$"],"items":["$\\{1;\\,2;\\,4;\\,5\\}$","$\\{9\\}$","$\\varnothing$","$\\{3;\\,6\\}$"]}},"instruction":"Сопоставьте универсум и дополнение","hints":["$\\overline{A}$ — элементы универсума $U$, которых нет в $A$: из каждого $U$ уберите элементы $A$.","$U=\\{1;\\,2;\\,3;\\,4;\\,5;\\,6\\}$: $\\overline{A}=\\{1;\\,2;\\,4;\\,5\\}$; $U=\\{3;\\,6;\\,9\\}$: $\\overline{A}=\\{9\\}$; $U=\\{3;\\,6\\}$: $\\overline{A}=\\varnothing$.","Лишняя запись $\\{3;\\,6\\}$ — это само $A$, а не дополнение."],"step":1},{"id":"6","content":"Универсум $U=\\{1;\\,2;\\,\\ldots;\\,10\\}$, $A=\\{2;\\,3;\\,5\\}$, $B=\\{3;\\,6;\\,9\\}$. Сколько элементов в $\\overline{A\\cup B}$? [[input-1]]","widgets":{"input-1":{"type":"input","answer":"5"}},"hints":["Сначала объединение: $A\\cup B=\\{2;\\,3;\\,5;\\,6;\\,9\\}$.","Из $U$ уберите эти элементы: $\\{1;\\,4;\\,7;\\,8;\\,10\\}$.","Элементов: 5. Ответ: 5."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"6","content":"Универсум $U=\\{1;\\,2;\\,\\ldots;\\,12\\}$, $A=\\{2;\\,4;\\,6\\}$, $B=\\{6;\\,8;\\,12\\}$. Сколько элементов в $\\overline{A\\cup B}$? [[input-2]]","widgets":{"input-2":{"type":"input","answer":"7"}},"hints":["Сначала объединение: $A\\cup B=\\{2;\\,4;\\,6;\\,8;\\,12\\}$.","Из $U$ уберите эти элементы: $\\{1;\\,3;\\,5;\\,7;\\,9;\\,10;\\,11\\}$.","Элементов: 7. Ответ: 7."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"7","content":"Даны $A=\\{4;\\,8;\\,12\\}$ и $B=\\{8;\\,12;\\,16;\\,20\\}$. Решавр сказал: «$A\\setminus B=B\\setminus A$, потому что в обоих случаях убрали общие элементы $8$ и $12$». В чем ошибка?[[choice-5]]","widgets":{"choice-5":{"type":"choice","options":["Обе разности равны $\\{4;\\,16;\\,20\\}$ — все необщие","Обе разности равны $\\{8;\\,12\\}$ — убрали общие","Ошибки нет","Остатки разные: $A\\setminus B=\\{4\\}$, а $B\\setminus A=\\{16;\\,20\\}$"],"explanations":["Элемент $4$ есть только в $A$, а $16$ и $20$ — только в $B$: в одну разность они не попадают","Общие элементы как раз вычитают, они не остаются","Убрали одни и те же элементы, но остались разные множества",""],"answer":[3]}},"hints":["$A\\setminus B$ — остаток от $A$: $\\{4\\}$.","$B\\setminus A$ — остаток от $B$: $\\{16;\\,20\\}$.","Остатки разные."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"7","content":"Решавр утверждает: «Для $A=\\{2;\\,5;\\,8;\\,11\\}$ и $B=\\{8;\\,11;\\,14\\}$ обе разности одинаковы: $A\\setminus B=B\\setminus A=\\{2;\\,5;\\,14\\}$, ведь это необщие элементы». Что неверно?[[choice-6]]","widgets":{"choice-6":{"type":"choice","options":["Верно только $A\\setminus B=\\{2;\\,5;\\,14\\}$","Все верно: необщие элементы одни и те же","Обе разности равны $\\{8;\\,11\\}$","Остатки разные: $A\\setminus B=\\{2;\\,5\\}$, а $B\\setminus A=\\{14\\}$"],"explanations":["Числа $14$ нет в $A$, поэтому в $A\\setminus B$ его быть не может","Числа $2$ и $5$ лежат только в $A$, а $14$ — только в $B$: в одну разность они не попадают вместе","Это общие элементы — их как раз убирают",""],"answer":[3]}},"hints":["$A\\setminus B$ — элементы $A$, которых нет в $B$: $\\{2;\\,5\\}$.","$B\\setminus A$ — элементы $B$, которых нет в $A$: $\\{14\\}$.","Необщие элементы делятся между разностями: остатки разные."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"8","content":"Универсум $U=\\{1;\\,2;\\,3;\\,4;\\,5;\\,6;\\,7\\}$, $A=\\{1;\\,3;\\,5;\\,7\\}$. Решавр записал $\\overline{A}=\\{2;\\,4;\\,6;\\,8\\}$: «дополнение к нечетным — четные». В чем ошибка?[[choice-7]]","widgets":{"choice-7":{"type":"choice","options":["Верно $\\overline{A}=U$","Ошибки нет: дополнение к нечетным — четные","Дополнение берут только из $U$: $\\overline{A}=\\{2;\\,4;\\,6\\}$","Нужно $\\overline{A}=\\{1;\\,3;\\,5;\\,7\\}$"],"explanations":["Дополнение не содержит элементов $A$","Четные берут только из $U$, а числа $8$ в нем нет","","Это само $A$, а дополнение — то, чего в $A$ нет"],"answer":[2]}},"hints":["Дополнение — элементы $U$, которых нет в $A$.","Числа $8$ нет в $U$: $8\\notin U$.","Верно: $\\overline{A}=\\{2;\\,4;\\,6\\}$."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"8","content":"На карточках написаны числа от $2$ до $10$: универсум $U=\\{2;\\,3;\\,4;\\,5;\\,6;\\,7;\\,8;\\,9;\\,10\\}$, $A=\\{2;\\,4;\\,6;\\,8;\\,10\\}$ — четные. Решавр записал $\\overline{A}=\\{1;\\,3;\\,5;\\,7;\\,9\\}$: «дополнение к четным — нечетные». В чем ошибка?[[choice-8]]","widgets":{"choice-8":{"type":"choice","options":["Дополнение берут только из $U$: $\\overline{A}=\\{3;\\,5;\\,7;\\,9\\}$","Нужно $\\overline{A}=\\{2;\\,4;\\,6;\\,8;\\,10\\}$","Ошибки нет: дополнение к четным — нечетные","Нужно $\\overline{A}=\\{1;\\,3;\\,5;\\,7;\\,9;\\,11\\}$"],"explanations":["","Это само $A$, а дополнение — то, чего в $A$ нет","Нечетные берут только из $U$, а карточки с числом $1$ нет","Чисел $1$ и $11$ нет на карточках, то есть в $U$"],"answer":[0]}},"hints":["Дополнение — элементы $U$, которых нет в $A$. Другие числа в него не входят.","Карточки с числом $1$ нет: $1\\notin U$.","Верно: $\\overline{A}=\\{3;\\,5;\\,7;\\,9\\}$."],"level":"повышенный","step":1}]}</textarea></pre></div>