Карточки
Тесты
Зави
Разность и дополнение множеств. Свойства операций
Разность и дополнение множеств. Свойства операций
Вы уже умеете находить пересечение и объединение множеств: накладывать два обруча и смотреть на их общую часть — линзу. В этом уроке научимся из одного обруча вырезать линзу (это разность множеств) и брать все, что лежит вне обруча (это дополнение). В конце соберем из операций составные выражения и выясним, какие из них не зависят от порядка.
Из обруча вырезаем линзу
В классе $10$ учеников: Артем, Вика, Гена, Даша, Женя, Игорь, Лиза, Миша, Оля и Саша. На футбол ходят Артем, Вика, Гена, Даша и Лиза — это множество $A$. В шахматный кружок ходят Вика, Даша, Женя и Игорь — это множество $B$. Зададим два вопроса: кто ходит на футбол, но не на шахматы? И кто не ходит ни туда, ни туда? На первый ответим сразу, ко второму вернемся в конце урока.
Положим на стол два обруча и разложим фишки с именами. Вика и Даша ходят в обе секции, их фишки лежат в линзе. Чтобы найти тех, кто только на футболе, возьмем обруч $A$ и уберем из него линзу. Остаются Артем, Гена и Лиза. Фишки обруча $B$ мы вообще не берем: нас спрашивали только о футболистах.
Определение
Разность множеств $A$ и $B$ — множество элементов, которые принадлежат $A$ и не принадлежат $B$. Обозначение: $A\setminus B$ (читают «$A$ без $B$»).
Как найти разность
Выпишите элементы $A$ и вычеркните те, что есть в $B$. Остаток — разность.
Обратите внимание: в разность попадают только элементы первого множества. Элементы $B$, которых нет в $A$, в $A\setminus B$ не входят, их просто не из чего вычеркивать.
Если множества даны диаграммой, а не списком, разность читают прямо по картинке. Каждый обруч делится линзой на две части. $A\setminus B$ — числа из той части обруча $A$, которая лежит вне линзы. Числа в линзе и числа из обруча $B$ в ответ не берут.
Пример 1
$A$ — делители числа $20$, $B$ — делители числа $30$. Найдем $A\setminus B$ и $B\setminus A$.
Решение. $A=\{1;\,2;\,4;\,5;\,10;\,20\}$, $B=\{1;\,2;\,3;\,5;\,6;\,10;\,15;\,30\}$. Общие элементы (линза): $1$, $2$, $5$, $10$.
Из $A$ вычеркиваем общие: $A\setminus B=\{4;\,20\}$.
Из $B$ вычеркиваем общие: $B\setminus A=\{3;\,6;\,15;\,30\}$.
Ответ: $A\setminus B=\{4;\,20\}$, $B\setminus A=\{3;\,6;\,15;\,30\}$.
От перестановки разность меняется
Вернемся к классу. Кто ходит на шахматы, но не на футбол? Берем обруч $B$ и вырезаем ту же линзу с Викой и Дашей. Остаются Женя и Игорь. Получилось $B\setminus A$ — совсем другие ученики, чем в $A\setminus B$.
Линза в обоих случаях одна и та же, а остаток разный: в $A\setminus B$ он из обруча $A$, в $B\setminus A$ — из обруча $B$. Поэтому порядок в записи разности важен, как в вычитании чисел: $7-3\ne3-7$.
Ошибка
Решавр рассуждает так: «Пересечение не зависит от порядка, объединение тоже. Значит, и $A\setminus B=B\setminus A$: в обоих случаях мы убираем общие элементы».
Проверим на числах. Пусть $A=\{1;\,2;\,3\}$, $B=\{2;\,3;\,4;\,5\}$. Тогда $A\setminus B=\{1\}$, а $B\setminus A=\{4;\,5\}$. Множества разные.
Где сломалось рассуждение. Убираем действительно одно и то же — линзу. Но остаток берем из разных обручей. Пересечение и объединение одинаково относятся к $A$ и к $B$, а разность — нет: первое множество в ней главное.
Особый случай: если обруч $A$ целиком лежит внутри обруча $B$, то вся область $A$ и есть линза. Вырезав ее, ничего не получим: при $A\subseteq B$ разность $A\setminus B=\varnothing$. А вот $B\setminus A$ при этом может быть непустой.
Когда две разности все-таки равны
Скрыть
Каждый элемент $A\setminus B$ не лежит в $B$, а каждый элемент $B\setminus A$ лежит в $B$. Значит, общих элементов у этих разностей нет. Два множества без общих элементов равны, только если оба пустые. Тогда $A\subseteq B$ и $B\subseteq A$, то есть $A=B$. Итак, $A\setminus B=B\setminus A$ только при $A=B$, и обе разности тогда пусты.
Все, что на столе вне обруча
Кто в классе не ходит на футбол? Это Женя, Игорь, Миша, Оля и Саша. Мы искали их не «во всем мире», а среди $10$ учеников класса. Весь класс — это стол, на котором лежат обручи. Фишки вне обруча $A$, но на столе, и есть ответ.
Определение
Универсум $U$ — множество, из элементов которого выбирают элементы всех множеств задачи. Дополнение множества $A$ — множество элементов $U$, которые не принадлежат $A$. Обозначение: $\overline{A}$ (читают «не $A$»).
Дополнение — это разность
Дополнение — это универсум без обруча $A$.
Пример 2
$U$ — натуральные числа от $1$ до $12$, $A$ — простые числа из $U$. Найдем $\overline{A}$ и число его элементов.
Решение. $A=\{2;\,3;\,5;\,7;\,11\}$ — пять чисел. Вычеркиваем их из $U$: $\overline{A}=\{1;\,4;\,6;\,8;\,9;\,10;\,12\}$.
Проверка. В $U$ двенадцать чисел, в $A$ пять, значит, в $\overline{A}$ должно быть $12-5=7$. Пересчитываем: семь.
Ответ: $\overline{A}=\{1;\,4;\,6;\,8;\,9;\,10;\,12\}$, в нем $7$ элементов.
Ошибка
Решавр получил задание: «$A=\{2;\,4;\,6\}$, найдите $\overline{A}$» — и сразу ответил: «Это нечетные числа $\{1;\,3;\,5\}$».
Проверим. Если $U=\{1;\,2;\,3;\,4;\,5;\,6\}$, то $\overline{A}=\{1;\,3;\,5\}$. Если $U=\{1;\,2;\,\ldots;\,8\}$, то $\overline{A}=\{1;\,3;\,5;\,7;\,8\}$ — в ответ попало даже четное число $8$.
Где сломалось рассуждение. Решавр сам выбрал стол, а его в условии не было. Без универсума дополнение не определено: сначала узнайте, что лежит на столе.
Что не зависит от порядка
Положите обруч $B$ на стол первым, а $A$ — сверху. Линза останется той же самой, и область, закрытая хотя бы одним обручом, тоже. Порядок, в котором мы называем обручи, на картинку не влияет.
Теперь возьмем один обруч $A$ и его дополнение. Каждая фишка на столе лежит либо внутри обруча, либо снаружи — третьего не дано. Если собрать обе области вместе, получится весь стол. А фишек, которые одновременно внутри и снаружи, нет.
Свойства операций
Для любых множеств $A$ и $B$ в универсуме $U$:
Для разности такого свойства нет: $A\setminus B$ и $B\setminus A$, как правило, различны.
Почему эти равенства верны всегда, а не только на одном рисунке? Пересечение определяется словами «принадлежит и $A$, и $B$», объединение — «принадлежит хотя бы одному». В обоих определениях $A$ и $B$ стоят на равных, перестановка ничего не меняет. А равенства для дополнения следуют из того, что любой элемент $U$ либо принадлежит $A$, либо не принадлежит.
Разность через дополнение и законы де Моргана (повышенный уровень)
Скрыть
Разность можно записать через пересечение: $A\setminus B=A\cap\overline{B}$ — элементы $A$, лежащие вне обруча $B$.
Есть и два равенства, которые называют законами де Моргана: $\overline{A\cup B}=\overline{A}\cap\overline{B}$ и $\overline{A\cap B}=\overline{A}\cup\overline{B}$. Первое читается так: «не попасть ни в один обруч» — то же, что «быть вне $A$ и вне $B$». Проверьте его на классе из начала урока.
Сложное выражение считаем по шагам
Операции можно соединять, как действия с числами. Правило то же: сначала действие в скобках, потом остальные. Каждый шаг — новое множество, его выписываем целиком и только потом делаем следующий шаг.
Пример 3
$A=\{2;\,4;\,6;\,8\}$, $B=\{3;\,6;\,9\}$, $C=\{1;\,2;\,3;\,4;\,5\}$. Найдем $(A\cup B)\setminus C$.
Шаг 1. Скобки: $A\cup B=\{2;\,3;\,4;\,6;\,8;\,9\}$.
Шаг 2. Общие элементы этого множества и $C$: $2$, $3$, $4$.
Шаг 3. Вычеркиваем их: $(A\cup B)\setminus C=\{6;\,8;\,9\}$.
Сравним. Если поставить скобки иначе, $A\cup(B\setminus C)$, то $B\setminus C=\{6;\,9\}$ и ответ $\{2;\,4;\,6;\,8;\,9\}$. Скобки меняют результат, поэтому их нельзя пропускать.
Ответ: $\{6;\,8;\,9\}$.
Теперь ответим на второй вопрос из начала урока: кто не ходит ни на футбол, ни на шахматы? Сначала соберем всех, кто ходит хотя бы куда-то: $A\cup B$ — это $7$ учеников. Затем возьмем дополнение: $\overline{A\cup B}=U\setminus(A\cup B)$. Остаются Миша, Оля и Саша. Проверка: $10-7=3$.
Обратите внимание: здесь важно, что сначала собрано объединение, а дополнение взято от него целиком. Если взять дополнение только к $A$, получатся все, кто не ходит на футбол, — среди них Женя и Игорь, которые ходят на шахматы.
Проверьте себя в модели: по записи выберите из списка область, которая ей соответствует; после проверки появится эталонная заливка. В части раундов с тремя обручами нужно, наоборот, найти запись по штриховке.
Вывод
Разность и дополнение позволяют отвечать на вопросы со словами «но не» и «не». В задачах на круги Эйлера они понадобятся, чтобы считать фишки в каждой области, а позже так же будем описывать события: «не произошло» — это дополнение. Чтобы вспомнить главное, представьте обручи на столе.
Часто задаваемые вопросы
Похожи они тем, что порядок важен. Но из множества вычитают элементы, а не количество: если в $B$ есть элементы, которых нет в $A$, они просто не участвуют. Поэтому $n(A\setminus B)$ не всегда равно $n(A)-n(B)$: для делителей $20$ и $30$ из примера получаем $2$, а не $6-8$.
Да, когда каждый элемент $A$ лежит в $B$, то есть $A\subseteq B$. Например, $\{1;\,2\}\setminus\{1;\,2;\,3\}=\varnothing$. При этом $\{1;\,2;\,3\}\setminus\{1;\,2\}=\{3\}$ — снова видно, что порядок важен.
Обычно он ясен из условия: «ученики класса», «числа от $1$ до $20$», «участники олимпиады». Если из условия его понять нельзя, дополнение найти нельзя — нужно уточнить, о каком множестве идет речь.
Самому множеству: $\overline{\overline{A}}=A$. Взяли все вне обруча, а потом все вне этой области — вернулись в обруч.
5
5
1
5
Получите полный доступ ко всем материалам и занимайтесь в удобном темпе — без ограничений.
- Более 700 000 учеников и 50 000 учителей по всей России.
- Повышение среднего балла по предмету до 20 % после месяца занятий.
- Всплеск интереса к учебе и более глубокое понимание предметов.
Создайте бесплатный аккаунт — и откройте больше возможностей:
- Отслеживайте прогресс освоения тем
- Получайте персональные подборки полезных уроков и заданий
- Проводите работу над ошибками после занятий