КАРТОЧКИ
ТЕСТЫ
ЧАТ С ИИ
Множества, подмножества. Диаграммы Эйлера-Венна. Числовые множества: повторение и обобщение
Множества, подмножества. Диаграммы Эйлера-Венна. Числовые множества
Каждый день мы сталкиваемся с необходимостью объединять объекты в группы. В магазине товары распределены по отделам, в библиотеке книги расставлены по жанрам, а на компьютере файлы лежат в разных папках. Такой способ организации помогает быстрее находить нужную информацию и понимать, как различные объекты связаны между собой.
В математике для описания подобных групп используют понятие множества. Несмотря на простоту этой идеи, именно она лежит в основе современной математики. С помощью множеств описывают числа, геометрические фигуры, функции, события в теории вероятностей и даже алгоритмы, работающие в программировании.
Множество и его элементы
С понятием множества вы уже не раз сталкивались еще с 5 класса. Например, когда говорили о четных числах, простых числах или решениях уравнения, вы фактически рассматривали различные множества чисел. В этом курсе это понятие станет более строгим и превратится в удобный математический инструмент.
Кроме изучения самих множеств, важно понимать, как устроены числовые множества. Натуральные, целые, рациональные и действительные числа связаны между собой определённым образом. Каждое следующее множество расширяет предыдущее и включает его в себя. Эта идея будет использоваться практически во всех разделах школьной математики — при решении уравнений, исследовании функций, изучении производной, интеграла и элементов математического анализа.
Множество — это совокупность объектов, объединенных по некоторому признаку и рассматриваемых как единое целое.
Объекты, входящие в множество, называют элементами множества. Например:
- множество месяцев года;
- множество букв русского алфавита;
- множество простых чисел;
- множество учеников класса;
- множество решений некоторого уравнения.
Важно
Порядок записи элементов обычно не имеет значения. Если множество содержит одни и те же элементы, то независимо от их расположения оно остаётся тем же самым множеством.
Например, записи $A=\{1;2;3\}$ и $A=\{3;1;2\}$ задают одно и то же множество. Кроме того, каждый элемент указывается только один раз. Даже если записать число несколько раз, множество не изменится.$$A=\{1;2;2;3;3\}=\{1;2;3\}.$$
Это связано с тем, что множество учитывает только факт принадлежности элемента, а не количество его повторений.
Обычно множества обозначают заглавными латинскими буквами: $A,B,C,M,N.$ Элементы множества принято обозначать строчными латинскими буквами: $a,b,c,x,y.$ Например,
в множестве $A=\{2;4;6;8\}$ числа $2$, $4$, $6$ и $8$ являются элементами множества $A$.
Чтобы показать, что элемент входит в множество, используют символ $\in,$ который читается как «принадлежит». Например, если $A=\{2;4;6;8\},$ то можно записать $4\in A,$ поскольку число $4$ является элементом множества.
Если элемент отсутствует в множестве, используют символ $\notin,$ который читается как «не принадлежит». Например, $5\notin A,$ так как числа $5$ в данном множестве нет.
Способы задания множества
Перечисление элементов — самый простой и наглядный способ задать множество. Все элементы записывают внутри фигурных скобок. Такой способ удобен, если элементов немного, например, $A=\{2;4;6;8;10\}.$
Указание общего свойства: если множество содержит много элементов или даже бесконечно, перечислить их невозможно. Тогда указывают свойство, которым обладают все элементы множества. Например, запись $A=\{x\mid x\text{ — чётное натуральное число}\}$ читается как «множество всех $x$, таких что $x$ — чётное натуральное число.» Такой способ часто используется при решении уравнений, неравенств и исследовании функций.
Как записать множество всех существующих положительных чисел?
Скрыть
$$A=\{x \mid x>0\}.$$ Перечислить все элементы невозможно, поэтому используют запись через свойство.
Изображение на координатной прямой полезно при изучении неравенств и промежутков. Например: отдельные точки соответствуют конечному множеству чисел; закрашенный отрезок изображает множество всех чисел из некоторого промежутка; луч показывает множество чисел, больших или меньших заданного значения.
Подмножества
При работе с множествами часто оказывается, что все элементы одного множества уже содержатся в другом. В этом случае говорят, что первое множество является подмножеством второго.
Подмножество — это множество, каждый элемент которого принадлежит другому множеству.
Для обозначения подмножества используют символ $\subset$. Запись $A \subset B$ читается так: «Множество $A$ является подмножеством множества $B$». Это означает, что любой элемент множества $A$ обязательно содержится в множестве $B$.
Пример
Сделайте вывод о множествах $A=\{2;4;6\}$ и $B=\{1;2;3;4;5;6;7\}.$
Показать решение
Скрыть
Все элементы множества $A$ входят в множество $B$. Следовательно, $A\subset B.$
Пример
Сделайте вывод о множествах $C=\{3;5;8\}$ и $D=\{1;2;3;4;5;6;7\}.$
Показать решение
Скрыть
Числа $3$ и $5$ принадлежат множеству $D$, а число $8$ — нет. Следовательно, $C \not\subset D.$
Достаточно одного элемента, отсутствующего во втором множестве, чтобы множество перестало быть его подмножеством.
Свойство подмножества может показаться необычным, но оно полностью верно: каждое множество является подмножеством самого себя. Рассмотрим множество $A=\{2;4;6\}.$
Все его элементы, очевидно, принадлежат самому множеству $A$. Поэтому всегда выполняется запись $A \subset A.$ Такое свойство справедливо для любого множества.
Диаграммы Эйлера-Венна
При работе с множествами удобно использовать специальные рисунки, которые позволяют наглядно показать отношения между ними. Такие изображения называют диаграммами Эйлера-Венна.
Диаграммы Эйлера-Венна — графические схемы в виде кругов или других фигур, которые изображают отношения между разными множествами, их пересечения и объединения.
На диаграммах:
- каждое множество изображается замкнутой областью (обычно кругом или овалом);
- элементы располагаются внутри соответствующих областей;
- взаимное расположение областей показывает связь между множествами.
Диаграммы помогают быстро понять, какие множества пересекаются, какие полностью содержатся друг в друге, а какие не имеют общих элементов.
Подмножество на диаграмме
Пусть $A=\{2;4\},$ $B=\{1;2;3;4;5\}.$
Так как все элементы множества $A$ входят в множество $B$, область, соответствующая множеству $A$, полностью располагается внутри области множества $B$. Изобразим это на диаграмме:
Равные множества на диаграмме
Если два множества совпадают, их области полностью накладываются друг на друга. Это означает, что каждое множество одновременно является подмножеством другого.
Множества без общих элементов
Рассмотрим множества $A=\{1;2;3\},$ $B=\{6;7;8\}.$ У них нет ни одного общего элемента. На диаграмме такие множества изображаются отдельными, не пересекающимися областями. Такие множества будут называться непересекающимися.
Числовые множества
До этого момента мы рассматривали множества в самом общем виде. Их элементами могли быть числа, буквы, города, книги или любые другие объекты. Однако в математике наиболее часто приходится работать именно с числовыми множествами.
Разные задачи требуют использования разных видов чисел. Например, для подсчета предметов достаточно натуральных чисел, для измерения температуры нужны отрицательные числа, а для вычисления длины диагонали квадрата приходится использовать числа, которые невозможно представить в виде обычной дроби.
Поэтому в математике существует несколько основных числовых множеств. Они не являются независимыми: каждое следующее множество расширяет предыдущее, включая в себя новые числа.
Натуральные числа
Натуральные числа — это числа, используемые для счета предметов. Их множество обозначается буквой $\mathbb N.$
В большинстве стран СНГ традиционно натуральные числа начинаются с единицы: $\mathbb N=\{1;2;3;4;5;\ldots\}.$ При этом ноль не считается натуральным, хотя в международной практике его часто относят к натуральным числам. Множество натуральных чисел бесконечно.
Целые числа
Не все величины можно описать натуральными числами. Например:
- температура может быть отрицательной;
- этаж здания может иметь номер $-1$ (подземный этаж);
- прибыль компании может оказаться нулевой, если на предприятии прибыль и убытки совпали.
Для описания подобных ситуаций вводят множество целых чисел.
Целые числа — это натуральные числа, нуль и отрицательные числа. Они не имеют дробной части.
Оно обозначается $\mathbb Z.$ Множество целых чисел имеет вид $\mathbb Z=\{\ldots;-3;-2;-1;0;1;2;3;\ldots\}.$ Оно содержит:
- отрицательные целые числа;
- все натуральные числа;
- число $0$.
Натуральные числа являются частью целых. Каждое натуральное число одновременно является целым.
Поэтому $$\mathbb N\subset\mathbb Z.$$
Рациональные и иррациональные числа
Однако во многих задачах недостаточно только целых чисел. Например, когда речь идет о половине торта, четверти часа, скорости $12,5$ км/ч, массе $3,75$ кг.
Все подобные числа входят во множество рациональных чисел. Оно обозначается $\mathbb Q.$
Рациональные числа — любые числа, которые можно представить в виде дроби $\frac{m}{n},$ где $m\in\mathbb Z,n\in\mathbb Z,n\ne0.$
Рациональными являются:
- все целые числа;
- все натуральные числа;
- обыкновенные дроби;
- конечные десятичные дроби;
- бесконечные периодические десятичные дроби.
Почему множество называется «рациональным»
Слово «рациональный» происходит от латинского ratio, что означает «отношение». Действительно, каждое рациональное число представляет собой отношение двух целых чисел.
Не каждое число можно представить в виде дроби $\frac{m}{n}.$ Существуют числа, десятичная запись которых продолжается бесконечно и никогда не начинает повторяться. Такие числа называют иррациональными.
К иррациональным числам относятся корни, которые не извлекаются нацело, математические константы (числа $\pi,$ $e$). Их десятичные записи бесконечны и непериодичны.
| Рациональное число | Иррациональное число |
|---|---|
| Можно представить в виде дроби | Нельзя представить в виде дроби |
| Десятичная запись конечная или периодическая | Десятичная запись бесконечная непериодическая |
Действительные числа
Все рациональные и все иррациональные числа вместе образуют множество действительных чисел. Оно обозначается $\mathbb R.$ Иными словами, $$\mathbb R=\mathbb Q\cup\{\text{иррациональные числа}\}.$$
Действительными числами являются все числа, которые можно отметить точкой на координатной прямой. Именно поэтому координатную прямую иногда называют числовой прямой действительных чисел.
Например, действительными являются $-15,$ $0,$ $\frac{3}{4},$ $\sqrt2,$ $\pi.$ Все они принадлежат множеству $\mathbb R.$
Вложенность числовых множеств
Основные числовые множества связаны между собой отношением подмножества. Каждое следующее множество содержит все элементы предыдущего и добавляет новые числа. Эта связь записывается так: $$\mathbb N\subset\mathbb Z\subset\mathbb Q\subset\mathbb R.$$
Рассмотрим, что означает каждый переход.
- При переходе от натуральных чисел к целым добавляются число $0$ и отрицательные целые числа.
- При переходе от целых чисел к рациональным добавляются дробные числа.
- При переходе от рациональных чисел к действительным добавляются иррациональные числа.
Таким образом, любое натуральное число автоматически является целым, рациональным и действительным. Например, число $7$ принадлежит сразу всем четырём множествам: $7\in\mathbb N, 7\in\mathbb Z, 7\in\mathbb Q, 7\in\mathbb R.$
А число $\frac{3}{4}$ не является натуральным и целым, но принадлежит множествам $\mathbb Q$ и $\mathbb R.$
Число $\sqrt2$ не принадлежит множеству рациональных чисел, однако входит в множество действительных чисел.
Числовые множества образуют единую систему вложенных множеств. Натуральные числа входят в множество целых, целые — в множество рациональных, а рациональные вместе с иррациональными образуют множество действительных чисел.
Понимание этой структуры необходимо для дальнейшего изучения алгебры, функций, уравнений и математического анализа.
Практика
Пример 1
Даны множества $A=\{2;4;6\},$ $B=\{1;2;3;4;5;6;7\}.$
Является ли множество $A$ подмножеством множества $B$?
Показать решение
Скрыть
Проверяем все элементы множества $A$.
- число $2$ принадлежит множеству $B$;
- число $4$ принадлежит множеству $B$;
- число $6$ принадлежит множеству $B$.
Все элементы содержатся во множестве $B$.
Следовательно, $$A\subset B.$$
Ответ: Да, множество $A$ является подмножеством множества $B$.
Пример 2
Даны множества $A=\{1;2;3;5\},$ $B=\{3;4;5;6\}.$
Найдите объединение множеств.
Показать решение
Скрыть
В объединение входят все различные элементы обоих множеств. Записываем их по одному разу: $$A\cup B=\{1;2;3;4;5;6\}.$$
Ответ: $A\cup B=\{1;2;3;4;5;6\}$.
Пример 3
Пусть $A=\{2;3;5;7;11\},$ $B=\{1;2;4;6;7;10\}.$
Найдите пересечение множеств.
Показать решение
Скрыть
Выбираем только элементы, которые присутствуют сразу в обоих множествах. Это числа $2$ и $7$.
Следовательно, $$A\cap B=\{2;7\}.$$
Ответ: $A\cap B=\{2;7\}$.
Пример 4
Определите, каким числовым множествам принадлежит число $-12.$
Показать решение
Скрыть
Число отрицательное, поэтому оно не является натуральным. Оно является целым числом.
Любое целое число можно представить в виде дроби $-12=\frac{-12}{1},$ поэтому оно рациональное.
Все рациональные числа являются действительными.
Следовательно, $$-12\in\mathbb Z,$$ $$-12\in\mathbb Q,$$ $$-12\in\mathbb R.$$
Пример 5
Определите вид числа $\sqrt{49}.$
Показать решение
Скрыть
Вычислим значение корня:$$\sqrt{49}=7.$$
Получили натуральное число. Следовательно, оно принадлежит множествам $$\mathbb N, \mathbb Z, \mathbb Q,\mathbb R.$$
Часто задаваемые вопросы
Необязательно. В множестве важен только состав элементов, а не порядок их записи.
Нет. Каждый элемент множества учитывается только один раз.
Потому что множество учитывает только наличие элемента, а не количество его повторений.
Рациональное число можно представить в виде дроби $\frac{m}{n},$ где $m$ и $n$ — целые числа, а $n\ne0$. Иррациональное число представить таким образом нельзя.
5
5
1
5
Получите полный доступ ко всем материалам и занимайтесь в удобном темпе — без ограничений.
- Более 700 000 учеников и 50 000 учителей по всей России.
- Повышение среднего балла по предмету до 20 % после месяца занятий.
- Всплеск интереса к учебе и более глубокое понимание предметов.
Создайте бесплатный аккаунт — и откройте больше возможностей:
- Отслеживайте прогресс освоения тем
- Получайте персональные подборки полезных уроков и заданий
- Проводите работу над ошибками после занятий
Хотите оставить комментарий?
Войти