Множества решений уравнений и неравенств

Когда мы решаем уравнение, мы ищем значения переменной, при которых равенство становится верным. Например, решим уравнение: $x+2=5$. Подходит только число $3$. Значит, $3$ — решение этого уравнения. Но иногда подходящих значений бывает несколько. Например, уравнение $x^2=4$ имеет два решения: $-2$ и $2$.

Иногда решений бывает бесконечно много. Например, неравенству $x>2$ удовлетворяют все числа, большие $2$. Получается, при решении уравнений и неравенств мы каждый раз получаем некоторую совокупность подходящих чисел. Такую совокупность называют множеством решений.

В этом уроке рассмотрим решения не просто как отдельные числа или промежутки, а как множества. Научимся находить множество решений, записывать его и работать с ним.

Множество решений уравнения

При решении уравнения мы ищем все значения переменной, при которых равенство становится верным. Совокупность всех таких значений называют множеством решений уравнения.

Если уравнение $x+3=7$, то его решением является число $4$, поэтому множество решений можно записать так: $\{4\}.$ Если уравнение имеет несколько решений, в множество входят все найденные значения. Например, уравнение $x^2=9$ имеет два решения: $x=-3$ и $x=3$. Поэтому его множество решений имеет вид $\{-3;3\}.$

Уравнение может иметь не только одно или несколько решений. Иногда решений нет. Например, уравнение $x^2=-1$ не имеет решений среди действительных чисел, поэтому его множество решений — пустое множество: $\varnothing.$

В другом случае решений может быть бесконечно много. Например, уравнение $2(x+1)=2x+2$ верно при любом действительном $x$. Тогда множество решений — все действительные числа: $\mathbb{R}.$

{"questions":[{"content":"Для уравнения $x(x-3)=0$ справедливо утверждение: [[choice-1899]]","widgets":{"choice-1899":{"type":"choice","options":["Множество решений уравнения — $\\{0; 3\\}$.","Уравнение имеет единственное решение $x=3$.","Множество решений уравнения — $\\varnothing$;","Решением уравнения является любое число."],"answer":[0]}},"hints":["Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю."]}]}

Множество решений неравенства

Теперь рассмотрим множество решений неравенства. Здесь идея остается той же: мы ищем все значения переменной, при которых неравенство становится верным.

Например, рассмотрим неравенство $x>3.$ Ему удовлетворяют все числа, большие $3$. Таких чисел бесконечно много, поэтому перечислить их по одному невозможно. В этом случае множество решений удобно записать с помощью промежутка: $x\in(3;+\infty).$

При записи промежутков важно учитывать, входит ли граничное значение в множество решений. Например, для неравенства $x\geqslant3$ число $3$ подходит, поэтому множество решений записывается так: $x\in[3;+\infty).$ Квадратная скобка показывает, что число $3$ входит в множество решений. Для строгого неравенства $x>3$ число $3$ не подходит, поэтому используется круглая скобка: $x\in(3;+\infty).$

Множество решений неравенства можно представить и на числовой прямой. Для неравенства $x>3$ число $3$ отмечают незакрашенной точкой, а вправо проводят луч. Для неравенства $x\geqslant3$ точку $3$ отмечают закрашенной, поскольку она входит в множество решений.

Решение неравенства может состоять не только из одного промежутка. Например, рассмотрим $x^2>4.$ Квадрат числа больше $4$, если $x<-2$ или $x>2.$ Поэтому множество решений состоит из двух промежутков: $$x\in(-\infty;-2)\cup(2;+\infty).$$

При работе с неравенствами удобно использовать числовую прямую и промежутки. Подробнее правила решения неравенств можно вспомнить в уроке по неравенствам . В дальнейшем мы будем рассматривать полученные промежутки как множества и выполнять с ними различные операции.

{"questions":[{"content":"Какое утверждение о множестве решений неравенства является верным? [[choice-1925]]","widgets":{"choice-1925":{"type":"choice","options":["Множество решений неравенства состоит из всех значений переменной, при которых неравенство истинно.","Множество решений неравенства всегда состоит из одного числа.","Множество решений любого неравенства содержит только положительные числа.","Множество решений неравенства обязательно совпадает с множеством решений соответствующего уравнения."],"answer":[0]}},"hints":["Вспомните, что решить неравенство — значит найти все значения переменной, удовлетворяющие его условию."]}]}

Решение уравнений и неравенств как поиск множества

Решить уравнение или неравенство — значит найти все значения переменной, которые ему удовлетворяют. Поэтому недостаточно найти одно подходящее значение. Нужно убедиться, что других решений нет.

Разложим левую часть на множители: $$(x-2)(x-3)=0.$$ Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю: $$x=2\quad\text{или}\quad x=3.$$ Поэтому множество решений имеет вид $\{2;3\}.$

Теперь проверим, является ли число $4$ решением этого уравнения. Подставим его вместо $x$: $$4^2-5\cdot4+6=16-20+6=2.$$ Получили не $0$, поэтому число $4$ не является решением. А если подставить $2$, получим $2^2-5\cdot2+6=4-10+6=0,$ значит, $2$ действительно принадлежит множеству решений.

С неравенствами рассуждаем аналогично.

Решим его: $$2x>6,$$ $$x>3.$$ Значит, множество решений имеет вид $x\in(3;+\infty).$ Число $5$ принадлежит этому множеству, поскольку $5>3$. Число $3$ не принадлежит множеству решений, поскольку $3>3$ — неверное утверждение.

Таким образом, любое значение можно проверить на принадлежность множеству решений. Если после подстановки получается верное равенство или неравенство, число является решением. Если получается неверное утверждение, число решением не является.

{"questions":[{"content":"Найдите множество решений квадратного уравнения $$x^2+x-12=0.$$ [[fill_choice_big-56]]","widgets":{"fill_choice_big-56":{"type":"fill_choice_big","options":["$\\{-4;3\\}$","$\\{3; 4\\}$","$\\{-3;4\\}$","$\\{-4;-3\\}$"],"placeholder":0,"answer":0}},"step":1,"hints":["Разложим левую часть на множители: $x^2+x-12=(x+4)(x-3)$.","Произведение равно нулю, если хотя бы один множитель равен нулю. Получаем $x=-4$ или $x=3$, поэтому множество решений — $\\{-4;3\\}$."]},{"content":"Найдите множество решений неравенства $$3x-7\\leqslant5.$$ [[fill_choice_big-140]]","widgets":{"fill_choice_big-140":{"type":"fill_choice_big","options":["$(-\\infty;3]$","$(-\\infty;4]$","$(4; +\\infty]$","$(-4; +\\infty]$"],"placeholder":0,"answer":1}},"step":1,"hints":["Перенесем число $-7$ в правую часть: $3x\\leqslant12$.","Разделим обе части на положительное число $3$: $x\\leqslant4$. Множество решений — $(-\\infty;4]$."]}],"mix":1}

Равносильность множеств решений

До этого мы рассматривали уравнения и неравенства как способы задать некоторые множества чисел. Теперь можно посмотреть на знакомые преобразования с другой стороны: нас интересует не только само выражение, но и то, какое множество решений оно задаёт.

Два уравнения называют равносильными, если множества их решений совпадают.

Например, уравнения $$x^2-5x+6=0\ \text{и}\ (x-2)(x-3)=0$$ равносильны, поскольку оба задают одно и то же множество решений: $\{2;3\}.$

Точно так же можно сравнивать и неравенства. Неравенства $$x+2>5\ \text{и}\ x>3$$ равносильны, потому что множество решений у них одинаковое: $\{x\in\mathbb{R}\mid x>3\}.$

Понятие равносильности особенно важно, когда мы работаем с множествами решений. Если два выражения имеют одинаковое множество решений, их можно рассматривать как разные записи одного и того же множества. Например, неравенства $$x>2\ \text{и}\ 2x>4$$ выглядят по-разному, но задают одно множество: $x\in(2;+\infty).$

Можно сказать, что разные математические записи описывают один и тот же объект — множество решений. При этом равносильность можно рассматривать и непосредственно как равенство множеств.

Если первое уравнение имеет множество решений $A=\{1;3;5\},$ а второе — множество $B=\{1;3;5\},$ то $A=B.$ Именно поэтому в дальнейшем при решении систем и совокупностей нам будет удобно работать не только с уравнениями и неравенствами, но и с множествами, которые они задают.

{"questions":[{"content":"Какое уравнение равносильно уравнению $$x^2-5x+6=0?$$ [[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["$(x-2)(x-3)=0$","$(x+2)(x+3)=0$","$(x-1)(x-6)=0$","$(x-2)(x+3)=0$"],"explanations":["","Это уравнение имеет корни $-2$ и $-3$.","Это уравнение имеет корни $1$ и $6$.","Это уравнение имеет корни $2$ и $-3$."],"answer":[0]}},"step":1,"hints":["Разложим квадратный трехчлен на множители: $x^2-5x+6=(x-2)(x-3)$.","Корни $2$ и $3$ позволяют разложить многочлен на множители: $x^2-5x+6=(x-2)(x-3)$. Следовательно, равносильное уравнение — $(x-2)(x-3)=0$, поскольку оба задают одно и то же множество решений $\\{2;3\\}$."]},{"content":"Какое неравенство равносильно неравенству $$-2x+4\\geqslant10?$$ [[choice-2]]","widgets":{"choice-2":{"type":"choice","options":["$x+3\\leqslant0$","$x+3\\geqslant0$","$x-3\\leqslant0$","$2x\\leqslant-3$"],"explanations":["","Это неравенство задает множество $[-3;+\\infty)$, а исходное — $(-\\infty;-3]$.","Это неравенство задает множество $(-\\infty;3]$, а исходное — $(-\\infty;-3]$.","Это неравенство задает множество $(-\\infty;-\\frac{3}{2}]$, а исходное — $(-\\infty;-3]$."],"answer":[0]}},"step":1,"hints":["Перенесем число $4$ в правую часть: $-2x\\geqslant6$.","Разделим обе части на $-2$ и изменим знак неравенства: $x\\leqslant-3$. Это условие можно записать как $x+3\\leqslant0$, оба неравенства имеют множество решений $(-\\infty;-3]$."]}],"mix":1}

Системы уравнений и неравенств как операции над множествами

Рассмотрим систему уравнений и неравенств с точки зрения множеств. Пусть первое условие задаёт множество решений $A$, а второе — множество решений $B$. Чтобы число было решением системы, оно должно одновременно удовлетворять обоим условиям. Поэтому решение системы состоит из общих элементов множеств $A$ и $B$.

Иными словами, множество решений системы — это пересечение множеств решений.

Первое неравенство задаёт множество $A=(2;+\infty),$ а второе — множество $B=(-\infty;5).$ Общими для них являются числа, расположенные между $2$ и $5$. Поэтому множество решений системы равно $$A\cap B=(2;5).$$

Это напрямую связано с операцией пересечения множеств, которую мы изучали в уроке «Операции над множествами».

Первое условие задаёт множество $A=[-3;4],$ а второе — множество $B=[1;7].$ Тогда решения системы должны принадлежать одновременно обоим множествам. Их общая часть имеет вид $$A\cap B=[1;4].$$

Если общих элементов нет, система не имеет решений. Например, для множеств $A=(-\infty;2),$ $B=(5;+\infty)$ пересечение пусто: $$A\cap B=\varnothing.$$

Таким образом, систему можно рассматривать как условие одновременной принадлежности. Решением являются только те значения, которые входят в каждое из множеств решений системы.

Практика

Показать решение

Скрыть

Показать решение

Скрыть

Показать решение

Скрыть

{"questions":[{"content":"Какое утверждение верно для множеств решений уравнений и неравенств?[[choice-280]]","widgets":{"choice-280":{"type":"choice","options":["Множество решений всегда состоит из одного числа.","Множество решений состоит из всех значений переменной, при которых уравнение или неравенство становится истинным числовым равенством или неравенством.","Множество решений содержит все числа из области допустимых значений.","Уравнение и неравенство с одной переменной всегда имеют одинаковые множества решений."],"answer":[1]}},"hints":["Подставим значение переменной в исходную запись и проверим, становится ли полученное равенство или неравенство истинным."]}]}

Часто задаваемые вопросы