Операции над множествами

В предыдущем уроке мы познакомились с множествами, их элементами и подмножествами. Мы научились сравнивать множества и изображать их с помощью диаграмм Эйлера-Венна.

Множества можно не только сравнивать между собой, но также и выполнять различные операции.

Например, пусть $A$ — множество учеников, которые изучают математику, а $B$ — множество учеников, которые изучают физику. Можно найти учеников, которые изучают хотя бы один из этих предметов. Можно также определить тех, кто изучает оба предмета.

Для этого в математике используют специальные операции над множествами.

В этом уроке разберем объединение, пересечение и разность множеств. Также научимся изображать эти операции с помощью диаграмм Эйлера-Венна и применять их при решении задач.

Объединение множеств

Начнем с самой простой операции над множествами — объединения.

Представим, что $A$ — множество учеников, которые занимаются футболом, а $B$ — множество учеников, которые занимаются баскетболом. Если мы хотим узнать, какие ученики занимаются хотя бы одним из этих видов спорта, нужно объединить два множества.

Объединение множеств — это множество всех элементов, которые принадлежат хотя бы одному из данных множеств.

Объединение множеств $A$ и $B$ обозначают символом $\cup$: $A\cup B.$ Читается: «объединение множеств $A$ и $B$».

Показать решение

Скрыть

Объединение на диаграмме Эйлера-Венна

На диаграмме Эйлера-Венна объединение включает всю область множества $A$ и всю область множества $B$.

Если множества пересекаются, общая часть также входит в объединение.

Показать решение

Скрыть

Важно помнить: при объединении мы ничего не исключаем. Если элемент принадлежит хотя бы одному множеству, он входит в объединение.

{"questions":[{"content":"Что называют объединением множеств $A$ и $B$?<br>[[choice-988]]","widgets":{"choice-988":{"type":"choice","options":["Множество всех элементов, которые принадлежат хотя бы одному из множеств $A$ или $B$.","Множество элементов, которые принадлежат одновременно множествам $A$ и $B$.","Множество элементов множества $A$, которые не принадлежат множеству $B$.","Множество всех элементов, которые не принадлежат ни множеству $A$, ни множеству $B$."],"explanations":["Объединение множеств $A$ и $B$ — это множество всех элементов, принадлежащих хотя бы одному из этих множеств. Его обозначают $A \\cup B$.","","",""],"answer":[0]}},"hints":["В объединение входят элементы обоих множеств. Общие элементы при этом записывают один раз."]}]}

Пересечение множеств

Иногда нас интересуют не все элементы двух множеств, а только те, которые встречаются одновременно в обоих.

Например, пусть $A$ — множество учеников, которые изучают английский язык, а $B$ — множество учеников, которые изучают немецкий язык. Если нужно найти учеников, которые изучают оба языка, нас интересуют только общие элементы множеств $A$ и $B$.

Для этого используют пересечение множеств.

Пересечение множеств — это множество всех элементов, которые принадлежат одновременно обоим множествам.

Пересечение множеств $A$ и $B$ обозначают символом $\cap$: $A\cap B.$ Читается: «пересечение множеств $A$ и $B$».

Показать решение

Скрыть

Пересечение на диаграмме Эйлера-Венна

На диаграмме Эйлера-Венна пересечению соответствует общая часть двух множеств.

Если две области пересекаются, общая область показывает элементы, которые принадлежат обоим множествам.

Показать решение

Скрыть

А если множества вообще не имеют общих элементов?

Показать решение

Скрыть

{"questions":[{"content":"Даны множества $A=\\{2;4;6;8\\}$ и $B=\\{1;2;3;4;5\\}$. Найдите $A\\cap B$.<br>[[fill_choice_big-1]]","widgets":{"fill_choice_big-1":{"type":"fill_choice_big","options":["$\\{2;4\\}$","$\\{1;3;5\\}$","$\\{2;4;6\\}$","$\\varnothing$"],"placeholder":0,"answer":0}},"step":1,"hints":["Пересечение множеств содержит элементы, которые входят и в множество $A$, и в множество $B$.","Общие элементы этих множеств — $2$ и $4$, поэтому $A\\cap B=\\{2;4\\}$."]}]}

Разность множеств

До этого мы рассматривали ситуации, когда нужно собрать элементы из двух множеств или найти их общие элементы. Теперь рассмотрим другую задачу.

Пусть $A$ — множество учеников, которые занимаются футболом, а $B$ — множество учеников, которые занимаются баскетболом. Как найти учеников, которые занимаются футболом, но не занимаются баскетболом?

В этом случае нам нужны элементы, которые принадлежат множеству $A$, но не принадлежат множеству $B$. Для этого используют разность множеств.

Разность множеств $A$ и $B$ — это множество всех элементов множества $A$, которые не принадлежат множеству $B$.

Разность множеств обозначают символом $\setminus$: $A\setminus B.$ Читается: «разность множеств $A$ и $B$».

Показать решение

Скрыть

Разность на диаграмме Эйлера-Венна

На диаграмме Эйлера-Венна разность $A\setminus B$ — это та часть множества $A$, которая не входит в множество $B$.

Здесь важно обратить внимание на порядок множеств.

Рассмотрим те же множества: $A=\{1;2;3;4;5\},$ $B=\{3;4;5;6;7\}.$ Для них мы уже получили: $A\setminus B=\{1;2\}.$

Теперь поменяем множества местами: $$B\setminus A=\{6;7\}.$$

Получились разные множества: $$A\setminus B\ne B\setminus A.$$

Это означает, что при нахождении разности порядок множеств имеет значение.

{"questions":[{"content":"Какое утверждение о разности множеств $A \\setminus B$ является правильным?<br>[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["В $A \\setminus B$ входят элементы множества $A$, которые не принадлежат множеству $B$","В $A \\setminus B$ входят все элементы множеств $A$ и $B$","В $A \\setminus B$ входят только общие элементы множеств $A$ и $B$","В $A \\setminus B$ входят элементы множества $B$, которые не принадлежат множеству $A$"],"explanations":["Это определение разности множеств $A$ и $B$.","Так описывают объединение множеств.","Так описывают пересечение множеств.","Так описывают разность $B \\setminus A$."],"answer":[0]}},"explanation":"Разность $A \\setminus B$ состоит из всех элементов множества $A$, которые не принадлежат множеству $B$. Порядок множеств важен: в общем случае $A \\setminus B \\ne B \\setminus A$.","hints":["Обратите внимание на порядок множеств: элементы выбирают из множества, записанного перед знаком $\\setminus$. Чтобы получить разность, из него исключают элементы второго множества."]}],"mix":1}

Вывод

Можно запомнить операции через три коротких вопроса:

• Объединение: что есть хотя бы где-то?
• Пересечение: что есть в обоих?
• Разность: что есть в первом, но не во втором?

Часто задаваемые вопросы