Множества, подмножества. Диаграммы Эйлера-Венна. Числовые множества: повторение и обобщение

{"questions":[{"content":"Даны множества $A = \\{2, 4\\}$ и $B = \\{1, 2, 3, 4, 5\\}$. Какое утверждение описывает отношение между ними? [[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["$A \\subset B$","$B\\subset A$","$A = B$","$A \\cap B = \\varnothing$"],"explanations":["","Числа $1$, $3$ и $5$ не принадлежат множеству $A$.","Множества отличаются количеством и составом элементов.","Множества имеют общие элементы $2$ и $4$."],"answer":[0]}},"step":1,"hints":["Проверим, принадлежат ли числа $2$ и $4$ множеству $B$.","Оба элемента множества $A$ входят в множество $B$, поэтому $A$ является подмножеством $B$. Получаем $A \\subset B$."],"id":"0"},{"content":"Даны множества $C = \\{а, в, д\\}$ и $D = \\{а, б, в, г, д\\}$. Какое утверждение описывает отношение между ними?[[choice-205]]","widgets":{"choice-205":{"type":"choice","options":["$D \\subset C$","$C \\subset D$","$C = D$","$C \\cap D = \\varnothing$"],"explanations":["Элементы «б» и «г» множества $D$ не входят в множество $C$.","","В множестве $D$ есть дополнительные элементы «б» и «г».","Множества имеют общие элементы «а», «в» и «д»."],"answer":[1]}},"step":1,"hints":["Рассмотрим по очереди элементы множества $C$: «а», «в» и «д».","Каждый из этих элементов находится в множестве $D$. Следовательно, $C \\subset D$."],"id":"0"},{"content":"Какое из данных чисел является иррациональным? [[choice-11]]","widgets":{"choice-11":{"type":"choice","options":["$0{,}25$","$\\frac{11}{4}$","$\\sqrt{7}$","$-3$"],"explanations":["Конечную десятичную дробь можно представить как отношение целых чисел: $0{,}25 = \\frac{1}{4}$.","Число уже записано в виде отношения двух целых чисел.","","Любое целое число является рациональным: $-3 = \\frac{-3}{1}$."],"answer":[2]}},"step":1,"hints":["Иррациональное число нельзя представить в виде $\\frac{m}{n}$, где $m$ и $n$ — целые числа и $n \\ne 0$.","Числа $0{,}25$, $\\frac{11}{4}$ и $-3$ можно представить обыкновенными дробями.","Число $7$ не является квадратом целого числа, поэтому $\\sqrt{7}$ нельзя представить отношением двух целых чисел."],"id":"5"},{"content":"Какое утверждение о числовых множествах является истинным?[[choice-1654]]","widgets":{"choice-1654":{"type":"choice","options":["Каждое действительное число является рациональным.","Каждое целое число является натуральным.","Каждое рациональное число является действительным.","Каждое иррациональное число является целым."],"explanations":["Среди действительных чисел есть иррациональные числа, например $\\sqrt{2}$.","Отрицательные целые числа не являются натуральными.","Множество рациональных чисел является подмножеством множества действительных чисел.","Иррациональные числа нельзя представить отношением целых чисел, поэтому они не являются целыми."],"answer":[2]}},"step":1,"hints":["Вспомним вложенность основных числовых множеств: $\\mathbb{N} \\subset \\mathbb{Z} \\subset \\mathbb{Q} \\subset \\mathbb{R}$.","Из этой цепочки следует, что все рациональные числа входят в множество действительных чисел."],"id":"5"},{"content":"Какого способа задания множеств не существует?[[choice-673]]","widgets":{"choice-673":{"type":"choice","options":["Перечисление элементов.","Указание общего свойства.","Изображение на координатной прямой.","Замена элементов."],"explanations":["Самый простой и наглядный способ задать множество. Все элементы записывают внутри фигурных скобок.","При этом указывают свойство, которым обладают все элементы множества.","Способ полезен при изучении неравенств и промежутков.",""],"answer":[3]}}},{"content":"Зачем используются диаграммы Эйлера — Венна?[[choice-850]]","widgets":{"choice-850":{"type":"choice","options":["Чтобы наглядно изобразить отношения между множествами.","Чтобы отследить количество элементов множеств.","Чтобы исследовать функции.","Чтобы отобразить изменение структуры множеств."],"explanations":["Диаграммы Эйлера — Венна — графические схемы в виде кругов или других фигур, которые изображают отношения между разными множествами, их пересечения и объединения.","","",""],"answer":[0]}},"hints":["Диаграммы помогают быстро понять, какие множества пересекаются, какие полностью содержатся друг в друге, а какие не имеют общих элементов."]}],"mix":1}