Вывод закона сохранения механической энергии

На прошлых уроках вы познакомились с такой физической величиной, как импульс тела: $p = m \upsilon$. Для замкнутой системы тел выполняется закон его сохранения (рисунок 1). Но это не единственная величина, которая остается постоянной при отсутствии действия внешних сил. В этот раз речь пойдет об энергии и законе ее сохранения.

На данном уроке мы вспомним основные определения, изученные нами в курсах 7 и 8 классов: механическая работа, потенциальная и кинетическая энергии, полная механическая энергия системы тел, закон ее сохранения. Но в этот раз мы уже сможем не просто озвучить термины и законы, но и, используя багаж наших новых знаний, самостоятельно вывести закон сохранения механической энергии и рассмотреть его применимость в решении задач.

Механическая работа

Мы можем говорить о совершении механической работы, если на тело действует какая-то сила и оно движется. То есть, если тело покоится или движется по инерции, то работа не совершается. Например, если рабочий толкает тележку и они перемещаются, то идет совершение механической работы (рисунок 2). 

Если же рабочий старается сдвинуть тележку, но у него не получается, то и совершенной работы нет (рисунок 3).

Или если в какой-то момент движения рабочий отпустил тележку и дальше она самостоятельно катится по инерции (рисунок 4), то механическая работа тоже не совершается.

Механическая работа — это физическая величина, прямо пропорциональная приложенной к телу силе и пройденному телом пути.

Если сила постоянна, но не совпадает по направлению с движением тела (рисунок 5), то мы можем рассчитать механическую работу по формуле:

$A = Fs \cdot cos \alpha$,
где $A$ — работа, $F$ — сила, $s$ — пройденный путь (перемещение), $cos \alpha$ — косинус угла между векторами силы и перемещения тела.

Если же сила и перемещение тела совпадают друг с другом по направлению, то мы можем использовать более простую формулу (рисунок 6).

$A = Fs$

В двух вышеприведенных случаях механическая работа будет иметь положительное значение ($A > 0$). Но тело может совершать и отрицательную работу: $A < 0$ (рисунок 7). Это происходит в случае, если сила направлена противоположно перемещению тела.

$A = −Fs$

Также механическая работа не совершается (равна нулю), если направление силы, действующей на тело, перпендикулярно направлению его движения (рисунок 8).

Работа измеряется в джоулях:

$[A] = Дж$.

{"questions":[{"content":"Какие два условия необходимы для совершения механической работы?[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["на тело действует сила","тело движется","тело находится в состоянии покоя","на тело не действуют никакие силы"],"answer":[0,1]}}}],"mix":1}

Механическая энергия

Каким же образом механическая работа связана с темой данного урока? Дело в том, что она напрямую связана с механической энергией.

Механическая энергия — это физическая величина, характеризующая способность тела или системы тел совершать работу.

Полная механическая энергия является суммой двух ее составляющих: потенциальной и кинетической энергий.

Обратите внимание, что мы говорим именно о механической энергии, ведь полная энергия тела будет состоять из механической энергии и внутренней энергии тела (рисунок 9).

{"questions":[{"content":"Что входит в полную механическую энергию тела?[[choice-6]]","widgets":{"choice-6":{"type":"choice","options":["потенциальная энергия тела","кинетическая энергия тела","внутренняя энергия","полная энергия тела"],"answer":[0,1]}}}],"mix":1}

Кинетическая энергия

Кинетическую энергию часто называют энергией движения (рисунок 10).

Кинетическая энергия — это способность находящегося в движении тела совершать механическую работу.

Рассчитать механическую энергию мы можем по нижеприведенной формуле.

$E_к = \frac{m \upsilon^2}{2}$.

{"questions":[{"content":"По формуле $E = \\frac{m \\upsilon^2}{2}$ можно рассчитать [[fill_choice_big-12]] энергию.","widgets":{"fill_choice_big-12":{"type":"fill_choice_big","options":["кинетическую","потенциальную","внутреннюю"],"answer":0}}}],"mix":1}

Потенциальная энергия

Если кинетическая энергия связана с движением, то потенциальная энергия имеет отношение к телам, находящимся в относительном состоянии покоя.

Потенциальная энергия — это энергия, определяемая относительным положением взаимодействующих тел и частей тела.

По-другому можно сказать, что потенциальная энергия описывает возможность тела совершить работу.

Например, мяч, поднятый на какое-то расстояние от земли, не будет обладать кинетической энергией, но будет иметь запас потенциальной энергии (рисунок 11).

То есть здесь потенциальная энергия — это работа, которую совершит сила тяжести $F_{тяж} = mg$ при опускании мяча на землю с высоты $h$. Конечно, эта работа может быть совершена только при условии, что мы отпустим мяч.

В таких случаях мы можем рассчитать потенциальную энергию тела по формуле:

$E_п = mgh$.

Также потенциальной энергией обладают тела, испытывающие упругую деформацию. Например, натянутая тетива лука (рисунок 12).

Если отпустить тетиву, то она приведет в движение стрелу, сообщит ей некоторую кинетическую энергию. Значит, на данный момент тетива обладает запасом энергии. Рассчитать эту энергию можно по формуле:

$E_п = \frac{kx^2}{2}$,
где $k$ — жесткость деформируемого тела, $x$ — величина растяжения или сжатия от изначального состояния тела.

{"questions":[{"content":"Используя какие формулы, можно рассчитать потенциальную энергию тела?[[choice-18]]","widgets":{"choice-18":{"type":"choice","options":["$E = \\frac{kx^2}{2}$","$E = mgh$","$E = \\frac{m \\upsilon^2}{2}$"],"explanations":["","","Это формула для расчета кинетической энергии тела."],"answer":[0,1]}}}],"mix":1}

Закон сохранения энергии

Вспомним формулировку закона.

Механическая энергия замкнутой системы тел остается постоянной, если между телами системы действуют только силы тяготения и силы упругости и отсутствуют силы трения.

С течением времени в замкнутой системе тел потенциальная и кинетическая энергии могут изменяться, превращаясь друг в друга. Если будет уменьшаться кинетическая энергия, то потенциальная будет увеличиваться. Если же уменьшается потенциальная энергия, то кинетическая будет возрастать. При этом их сумма будет оставаться постоянной.

{"questions":[{"content":"По закону сохранения механической энергии потенциальная и кинетическая энергии тела [[fill_choice_big-22]].","widgets":{"fill_choice_big-22":{"type":"fill_choice_big","options":["могут изменяться, переходя друг в друга","всегда будут оставаться неизменными","будут равны нулю","могут вместе возрастать или вместе убывать"],"answer":0}}}],"mix":1}

Вывод закона сохранения энергии

А теперь подтвердим справедливость давно известного нам закона теоретическим выводом.

Возьмем стальной шарик массой $m$. Пусть он свободно падает на землю с некоторой высоты. Когда он будет находиться на отметке высоты $h_1$, его скорость будет равна $\upsilon_1$ (рисунок 13). Шарик падает с ускорением свободного падения $g$, поэтому его скорость с течением времени увеличивается. Так, на высоте $h_2$ скорость шарика увеличивается до некоторого значения $\upsilon_2$.

Шарик движется под действием силы тяжести. То есть сила тяжести совершает механическую работу по перемещению шарика. Эта работа по определению будет равна:
$A = F_{тяж} s$, где $F_{тяж} = mg$.

Перемещение шарика $s$ будет равно разности высот:
$s = h_1 \space − \space h_2$

Подставим формулы для силы тяжести и перемещения в уравнение механической работы:
$A = F_{тяж} s = mg (h_1 \space − \space h_2) = mgh_1 \space − \space mgh_2$.

Отсюда мы видим, что работа действующей на шарик силы тяжести равна величине изменения (уменьшения)  потенциальной энергии шарика ($E_п = mgh$):
$A = E_{п1} \space − \space E_{п2} = \Delta E_п$.

С другой стороны, у нас есть формула для перемещения тела, совершенного при свободном падении (рисунок 14):
$s = \frac{\upsilon_2^2 \space − \space \upsilon_1^2}{2g}$.

Подставим эту формулу в изначальное уравнение для механической работы:
$A = F_{тяж} s = mg \cdot \frac{\upsilon_2^2 \space − \space \upsilon_1^2}{2g} = \frac{m (\upsilon_2^2 \space − \space \upsilon_1^2)}{2} = \frac{m \upsilon_2^2}{2} \space − \space \frac{m \upsilon_1^2}{2}$.

Теперь получается, что работа совершается за счет увеличения кинетической энергии шарика ($E_к = \frac{m \upsilon^2}{2}$):
$A = E_{к2} \space − \space E_{к1} = \Delta E_к$.

Но мы рассматривали одну и ту же работу. То есть правые части наших уравнений равны друг другу:
$mgh_1 \space − \space mgh_2 = \frac{m \upsilon_2^2}{2} \space − \space \frac{m \upsilon_1^2}{2}$.

Отсюда следует, что при движении шарика его потенциальная энергия уменьшилась на столько же, на сколько увеличилась кинетическая.

Переставим члены в последнем уравнении:
$mgh_1 \space + \frac{m \upsilon_1^2}{2} = mgh_2 \space + \frac{m \upsilon_2^2}{2}$.

Это уравнение и есть свидетельство того, что полная механическая энергия шарика при его движении остается постоянной:
$E_{п1} \space + \space E_{к1} = E_{п2} \space + \space E_{к2}$.

Так мы получили математическую запись закона сохранения механической энергии и теоретически доказали его.

Математическая запись закона сохранения энергии:
$mgh_1 \space + \frac{m \upsilon_1^2}{2} = mgh_2 \space + \frac{m \upsilon_2^2}{2}$,
$E_{п1} \space + \space E_{к1} = E_{п2} \space + \space E_{к2}$.

{"questions":[{"content":"Если потенциальная энергия свободно падающего тела в замкнутой системе уменьшается, то его кинетическая энергия [[fill_choice_big-27]].","widgets":{"fill_choice_big-27":{"type":"fill_choice_big","options":["увеличивается","тоже уменьшается","остается неизменной","равна нулю"],"answer":0}}}],"mix":1}

Применение закона сохранения энергии

Теперь давайте рассмотрим применение закона сохранения механической энергии для решения задач.

Решение задачи № 1

Яблоко массой $200 \space г$ падает с дерева с высоты $3 \space м$. Какой кинетической энергией оно будет обладать на высоте $1 \space м$ от земли?

Запишем условие задачи и перейдем к ее решению.

$E_{к2} — ?$

Решение:

Сначала запишем закон сохранения механической энергии:
$E_{п1} \space + \space E_{к1} = E_{п2} \space + \space E_{к2}$.

Начальная кинетическая энергия яблока $E_{к1}$ будет равна нулю, так как яблоко спокойно висело на дереве:
$E_{к1} = \frac{m \upsilon_1^2}{2} = \frac{m \cdot 0}{2} = 0$.

С учетом этого перепишем закон сохранения энергии:
$E_{п1} = E_{п2} \space + \space E_{к2}$.

Выразим отсюда искомую кинетическую энергию яблока на высоте $1 \space м$:
$E_{к2} = E_{п1} \space − \space E_{п2}$.

Потенциальная энергия яблока в положении 1:
$E_{п1} = mgh_1$.
Потенциальная энергия яблока в положении 2:
$E_{п2} = mgh_2$.

Подставим в уравнение для кинетической энергии:
$E_{к2} = mgh_1 \space − \space mgh_2 = mg (h_1 \space − \space h_2)$.

Рассчитаем эту энергию:
$E_{к2} = 0.2 \space кг \cdot 10 \frac{м}{с^2} \cdot (3 \space м \space − \space 1 \space м) =  0.2 \space кг \cdot 10 \frac{м}{с^2} \cdot 2 \space м = 4 \frac{кг \cdot м}{с^2} \cdot м = 4 \space Н \cdot м = 4 \space Дж$.

Ответ: $E_{к2} = 4 \space Дж$.

{"questions":[{"content":"Какие уравнения являются математической записью закона сохранения механической энергии?[[choice-31]]","widgets":{"choice-31":{"type":"choice","options":["$mgh_1 \\space + \\frac{m \\upsilon_1^2}{2} = mgh_2 \\space + \\frac{m \\upsilon_2^2}{2}$","$E_{п1} \\space + \\space E_{к1} = E_{п2} \\space + \\space E_{к2}$","$E_{п1} \\space + \\space E_{п2} = E_{к1} \\space + \\space E_{к2}$","$mgh_1 \\space + \\frac{\\upsilon_1^2}{2} = 0$"],"answer":[0,1]}}}],"mix":1}

Решение задачи № 2

Мяч бросают вниз с высоты $h_1 = 1.8 \space м$ со скоростью $\upsilon_1 = 8 \frac{м}{с}$. На какую высоту $h_2$ отскочит мяч после удара о землю при абсолютно упругом соударении? Потери энергии при движении мяча и его ударе о землю не учитывайте.

Запишем условие задачи и перейдем к ее решению.

Дано:
$h_1 = 1.8 \space м$
$\upsilon_1 = 8 \frac{м}{с}$
$g = 10 \frac{м}{с^2}$

$h_2 — ?$

Решение:

Начинаем с записи закона сохранения механической энергии:
$E_{п1} \space + \space E_{к1} = E_{п2} \space + \space E_{к2}$.

Когда мяч отскочит от земли и поднимется на максимальную высоту, его скорость будет равна нулю. Значит, его кинетическая энергия тоже будет равна нулю:
$E_{к2} = \frac{m \upsilon_2^2}{2} = \frac{m \cdot 0}{2} = 0$.

С учетом этого перепишем закон сохранения энергии:
$E_{п1} \space + \space E_{к1} = E_{п2}$,
$mgh_1 \space + \space \frac{m \upsilon_1^2}{2} = mgh_2$.

Теперь выразим отсюда высоту $h_2$:
$mg (h_1 \space + \space \frac{\upsilon_1^2}{2g}) = mgh_2$,
$h_2 = h_1 \space + \space \frac{\upsilon_1^2}{2g}$,
$h_2 = 1.8 \space м \space + \space \frac{(8 \frac{м}{с})^2}{2 \cdot 10 \frac{м}{с^2}} = 1.8 \space м \space + \space 3.2 \space м = 5 \space м$.

Ответ: $h_2 = 5 \space м$.

{"questions":[{"content":"Потенциальную энергию тела, поднятого на какую-то высоту над землей, можно рассчитать по формуле [[fill_choice_big-35]].","widgets":{"fill_choice_big-35":{"type":"fill_choice_big","options":["$E_п = mgh$","$E_п = mg$","$E_п = \\frac{kx^2}{2}$","$E_п = \\frac{m \\upsilon^2}{2}$"],"answer":0}}}],"mix":1}

Решение задачи № 3

Спусковую пружину игрушечного пистолета сжали на $5 \space см$, при вылете шарик массой $20 \space г$ приобрел скорость $2 \frac{м}{с}$. Необходимо рассчитать, какова жесткость пружины.

Запишем условие задачи и перейдем к ее решению.

$k — ?$

Решение:

По закону сохранения энергии потенциальная энергия деформированной пружины переходит в кинетическую энергию движения шарика:
$E_п = E_к$,
$\frac{kx^2}{2} = \frac{m \upsilon^2}{2}$,
$kx^2 = m \upsilon^2$.

Выразим отсюда жесткость пружины $k$ и рассчитаем ее:
$k = \frac{m \upsilon^2}{x^2}$,
$k = \frac{0.02 \space кг \cdot (2 \frac{м}{с})^2}{(0.05 \space м)^2} = 32 \frac{кг}{с^2} = 32 \frac{Н}{м}$.

Ответ: $k = 32 \frac{Н}{м}$.

{"questions":[{"content":"Если тело испытывает упругую деформацию, то его потенциальную энергию можно рассчитать по формуле [[fill_choice_big-35]].","widgets":{"fill_choice_big-35":{"type":"fill_choice_big","options":["$E_п = mgh$","$E_п = mg$","$E_п = \\frac{kx^2}{2}$","$E_п = \\frac{m \\upsilon^2}{2}$"],"answer":2}}}],"mix":1}

Упражнения

Дано:
$h_1 = 1.8 \space м$
$\upsilon_1 = 8 \frac{м}{с}$
$g = 10 \frac{м}{с^2}$

$h_2 — ?$

Посмотреть решение и ответ

Скрыть

Решение:

Сначала рассмотрим движение мяча вниз (рисунок 15). Мяч движется прямолинейно и равноускоренно (под действием ускорения свободного падения $g$). Используем формулу для перемещения при таком движении:
$s_x = \upsilon_{0x} t \space + \space \frac{a_x t^2}{2}$.

Векторы скорости, перемещения и ускорения свободного падения направлены в одну сторону. Поэтому мы можем перейти от проекций к модулям величин:
$h_1 = \upsilon_1 t \space + \space \frac{g t^2}{2}$.

Перенесем все члены уравнения в одну сторону и подставим численные значения:
$\frac{g t^2}{2} \space + \space \upsilon_1 t \space − \space h_1 = 0$,
$\frac{10 \frac{м}{с^2} \cdot t^2}{2} \space + \space 8 \frac{м}{с} t \space − \space 1.8 \space м = 0$,
$5 \frac{м}{с^2} \cdot t^2 \space + \space 8 \frac{м}{с} t \space − \space 1.8 \space м = 0$.
Теперь перед нами квадратное уравнение с неизвестной переменной $t$.

Рассчитаем дискриминант и найдем решение:
$D = 8^2 \space + \space 4 \cdot 5 \cdot 1.8 = 100$,
$t = \frac{−8 \space + \space \sqrt{100}}{2 \cdot 5} = 0.2 \space с$.

Зная время полета мяча вниз, мы можем рассчитать скорость в самом конце этого движения. То есть ту скорость, с которой мяч ударяется о землю. Для этого используем формулу для скорости при прямолинейном равноускоренном движении:
$\upsilon = \upsilon_0 \space + \space gt$.

В наших обозначениях формула примет вид:
$\upsilon_2 =  \upsilon_1 \space + \space gt$.

Рассчитаем эту скорость:
$\upsilon_2 = 8 \frac{м}{с} \space + \space 10 \frac{м}{с^2} \cdot 0.2 \space с = 10 \frac{м}{с}$.

Так как мы не учитываем потери энергии, скорость мяча после удара о землю будет такой же по численному значению, но изменит свое направление на противоположное (рисунок 16). Конечная скорость мяча в верхней точке подъема будет равна нулю.

Мяч движется только под действием силы тяжести, значит, мы можем использовать формулу для свободного падения тела:
$s = \frac{\upsilon^2 \space − \space \upsilon_0^2}{2a}$.

В нашем случае $s = h_2$, $\upsilon = 0$, $\upsilon_0 = \upsilon_2$, $a = −g$.

Тогда эта формула примет вид:
$h_2 = \frac{\upsilon_2^2}{2g}$.

Рассчитаем высоту, на которую поднимется мяч после удара о землю:
$h_2 = \frac{(10 \frac{м}{с})^2}{2 \cdot 10 \frac{м}{с^2}} = 5 \space м$.

Ответ: $h_2 = 5 \space м$.

Упражнение № 2

Оторвавшаяся от крыши сосулька падает с высоты $h_0 = 36 \space м$ от земли. Какую скорость $\upsilon$ она будет иметь на высоте $h = 31 \space м$? Принять $g = 10 \frac{м}{с^2}$.

Дано:
$h_0 = 36 \space м$
$h = 31 \space м$
$g = 10 \frac{м}{с^2}$

$\upsilon — ?$

Посмотреть решение и ответ

Скрыть

Упражнение № 3

Шарик вылетает из детского пружинного пистолета вертикально вверх с начальной скоростью $\upsilon_0 = 5 \frac{м}{с}$. На какую высоту от места вылета он поднимется? Принять $g = 10 \frac{м}{с^2}$.

Дано:
$\upsilon_0 = 5 \frac{м}{с}$
$g = 10 \frac{м}{с^2}$

$h — ?$

Посмотреть решение и ответ

Скрыть

Задание

Придумайте и проведите простой опыт, наглядно демонстрирующий, что тело движется криволинейно, если скорость движения этого тела и действующая на него сила направлены вдоль пересекающихся прямых. Опишите используемое оборудование, ваши действия и наблюдаемые результаты.

Показать пример опыта

Скрыть

Постоянная сила, действующая на все тела, — это сила тяжести. А направление скорости мы можем задать телу достаточно просто.

Для опыта нам понадобится небольшой мячик и камера в режиме серийной фотосъемки. На фоне стены кидаем мяч параллельно ей и полу (рисунок 17).

Теперь берем несколько из полученных кадров и рисуем приблизительную схему движения мяча (рисунок 18).

Мы видим, что траектория его движения является кривой линией. Направление скорости изменяется с течением времени под действием силы тяжести. Но в любой момент времени вектор скорости мяча и вектор действующей на него силы тяжести направлены вдоль пересекающихся прямых.

Часто задаваемые вопросы