Физика/9 класс/Движение и взаимодействие физических тел/Равноускоренное движение/

Перемещение тела при прямолинейном равноускоренном движении

Содержание

Рассматривая прямолинейное равноускоренное движение на прошлых уроках, мы уже многое узнали об ускорении, скорости и их проекциях. Ускорение как физическая величина описывает быстроту изменения скорости за определенный промежуток времени.

Рассчитать его проекцию можно по формуле: $a_x = \frac{\upsilon_x \space − \space \upsilon_{0x}}{t}$. Скорость же при равноускоренном движении изменяется (увеличивается или уменьшается) одинаково за равные промежутки времени. Ее проекцию мы можем рассчитать по формуле: $\upsilon_x = \upsilon_{0x} \space + \space a_xt$.

Теперь мы перейдем к перемещению тела. На данном уроке мы докажем, что площадь под графиком проекции скорости численно равна проекции перемещения тела, и выведем формулу для ее расчета.

Перемещение и площадь под графиком проекции скорости

Когда мы рассматривали прямолинейное равномерное движение, проекцию вектора перемещения мы определяли по той же формуле, что и площадь прямоугольника, заключенного под графиком (рисунок 1).

Рисунок 1. Проекция перемещения (площадь под графиком) при прямолинейном равномерном движении

А теперь взгляните на график (отрезок AC) зависимости проекции вектора скорости от времени (рисунок 2). Тело движется с постоянным ускорением $a$ (при начальной скорости $\upsilon_0$).

Рисунок 2. График зависимости проекции вектора скорости от времени при прямолинейном равноускоренном движении

Будет ли проекция перемещения тела в этом случае равна площади фигуры OACB под графиком проекции скорости? Давайте предположим, что они равны друг другу и докажем это.

Для этого выделим на оси времени Ot маленький промежуток времени db (рисунок 3). Из точек d и b проведем перпендикуляры к оси Ot до их пересечения с графиком проекции скорости. Перпендикуляры пересекут график в двух точках: a и c. Скорость тела в точке a равна $\upsilon_{ax}$, в точке c — $\upsilon_{cx}$.

Рисунок 3. Малый промежуток времени на графике зависимости проекции скорости от времени

Мы выбрали настолько маленький промежуток времени db, что проекция скорости на нем практически не изменяется. Само движение в таком приближении будет очень похоже на равномерное, как будто теперь наше тело движется с постоянной скоростью.

Значит, мы можем рассматривать участок ac как горизонтальный, а фигуру acbd как прямоугольник. Тогда проекция перемещения, которое тело совершило за промежуток времени db, будет численно равна площади фигуры acbd.

На такие узкие прямоугольники-полоски мы можем разбить всю площадь трапеции OACB (рисунок 4).

Рисунок 4. Разбиение трапеции OACB на узкие прямоугольники

Сделаем вывод из вышесказанного.

Проекция вектора перемещения $s_x$ за промежуток времени, соответствующий отрезку OB, численно равна площади $S$ трапеции OACB и определяется по той же формуле, что и эта площадь.

{"questions":[{"content":"Чему численно равна площадь фигуры под графиком проекции вектора скорости при прямолинейном равноускоренном движении?[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["проекции вектора перемещения","проекции вектора ускорения","проекции вектора начальной скорости","времени движения"],"answer":[0]}}}]}

Вывод формулы проекции перемещения

Из курса геометрии мы знаем, что площадь трапеции равна произведению полусуммы ее оснований на высоту (рисунок 5).

Наша трапеция OACB:

основание $OA = \upsilon_{0x}$;
основание $BC = \upsilon_x$;
высота $OB = t$.

Получается, что площадь трапеции OACB равна:
$S = \frac{\upsilon_{0x} \space + \space \upsilon_x}{2} \cdot t$.

Площадь $S$ будет численно равна проекции перемещения $s_x$. Проекцию скорости $\upsilon_x$ мы можем выразить через проекцию ускорения $a_x$:
$\upsilon_x = \upsilon_{0x} \space + \space a_xt$.

Подставим эти выражения в формулу площади:
$S = s_x = \frac{\upsilon_{0x} \space + \space \upsilon_{0x} \space + \space a_xt}{2} \cdot t = \frac{2 \upsilon_{0x} \space + \space a_xt^2}{2} = \upsilon_{0x}t \space + \space \frac{a_xt^2}{2}$.

Так мы получили формулу проекции вектора перемещения при прямолинейном равноускоренном движении.

$s_x = \upsilon_{0x}t \space + \space \frac{a_xt^2}{2}$.

{"questions":[{"content":"По какой формуле можно рассчитать проекцию вектора перемещения тела при прямолинейном равноускоренном движении?[[choice-6]]","widgets":{"choice-6":{"type":"choice","options":["$s_x =  \\upsilon_{0x}t \\space + \\space \\frac{a_xt^2}{2}$","$s_x = \\upsilon_x t$","$s_x =  \\upsilon_{0x}t \\space + \\space a_xt^2$","$s_x = \\frac{\\upsilon_x}{t} \\space + \\space \\upsilon_{0x}$"],"explanations":["","Эта формула работает при рассмотрении равномерного прямолинейного движения.","",""],"answer":[0]}}}]}

Упражнения

Упражнение №1

Велосипедист съехал с горки за $5 \space с$, двигаясь с постоянным ускорением $0.5 \frac{м}{с^2}$. Определите длину горки, если известно, что в начале спуска скорость велосипедиста была равна $18 \frac{км}{ч}$.

Дано:
$\upsilon_{0x} = 18 \frac{км}{ч}$
$t = 5 \space с$
$a_x = 0.5 \frac{м}{с^2}$

СИ:
$\upsilon_{0x} = 5 \frac{м}{с}$

$l — ?$

Посмотреть решение и ответ

Скрыть

Решение:

В данном случае длина горки — это и есть перемещение, совершенное велосипедистом.

Рассчитаем это перемещение:
$l = s_x = \upsilon_{0x}t \space + \space \frac{a_xt^2}{2}$,
$l = 5 \frac{м}{с} \cdot 5 \space с \space + \space \frac{0.5 \frac{м}{с^2} \cdot {5 \space с}^2}{2} = 25 \space м \space + \space 6.25 \space м = 31.25 \space м$.

Ответ: $l = 31.25 \space м$.

Упражнение №2

Поезд, идущий со скоростью $15 \frac{м}{с}$, остановился через $20 \space с$ после начала торможения. Считая, что торможение происходило с постоянным ускорением, определите перемещение поезда за $20 \space с$.

Дано:
$\upsilon_{0x} = 15 \frac{м}{с}$
$t = 20 \space с$
$\upsilon_x = 0$

$s_x — ?$

Посмотреть решение и ответ

Скрыть

Решение:

Для начала нам необходимо вычислить ускорение, с которым двигался поезд:
$a_x = \frac{\upsilon_x \space − \space \upsilon_{0x}}{t}$,
$a_x = \frac{0 \space − \space 15 \frac{м}{с}}{20 \space с} = −0.75 \frac{м}{с^2}$.

Теперь мы можем рассчитать перемещение:
$s_x = \upsilon_{0x}t \space + \space \frac{a_xt^2}{2}$,
$s_x = 15 \frac{м}{с} \cdot 20 \space с \space + \space \frac{−0.75 \frac{м}{с^2} \cdot {20 \space с}^2}{2} = 300 \space м \space − \space 150 \space м = 150 \space м$.

Ответ: $s_x = 150 \space м$.

Упражнение №3

Приведите формулу $S = \frac{\upsilon_{0x} \space + \space \upsilon_x}{2} \cdot t$ к виду $s_x = \frac{{\upsilon_x}^2 \space − \space {\upsilon_{0x}}^2}{2a_x}$.

Посмотреть ответ

Скрыть

Ответ:

В формуле, которую нам надо получить, нет времени $t$. Выразим его из формулы для проекции ускорения:
$a_x = \frac{\upsilon_x \space − \space \upsilon_{0x}}{t}$,
$t = \frac{\upsilon_x \space − \space \upsilon_{0x}}{a_x}$.

Подставим в изначальную формулу:
$S = s_x = \frac{\upsilon_{0x} \space + \space \upsilon_x}{2} \cdot t = \frac{\upsilon_{0x} \space + \space \upsilon_x}{2} \cdot \frac{\upsilon_x \space − \space \upsilon_{0x}}{a_x} = \frac{(\upsilon_{0x} \space + \space \upsilon_x) \cdot (\upsilon_x \space − \space \upsilon_{0x})}{2a_x}$.

Посмотрите на числитель. Здесь мы можем воспользоваться формулой сокращенного умножения:
$(a \space + \space b)(a \space − \space b) = a^2 \space − \space b^2$.

Так мы и получаем нужный вид формулы:
$s_x = \frac{(\upsilon_{0x} \space + \space \upsilon_x) \cdot (\upsilon_x \space − \space \upsilon_{0x})}{2a_x} = \frac{{\upsilon_x}^2 \space − \space {\upsilon_{0x}}^2}{2a_x}$.