Личный кабинет Кабинет родителя Кабинет учителя Настройки Выйти Войти Регистрация
ТРЕНАЖЁРЫ
КУРСЫ
НАЗНАЧИТЬ

Перемещение тела при прямолинейном равноускоренном движении

Содержание

    Рассматривая прямолинейное равноускоренное движение на прошлых уроках, мы уже многое узнали об ускорении, скорости и их проекциях. Ускорение как физическая величина описывает быстроту изменения скорости за определенный промежуток времени.

    Рассчитать его проекцию можно по формуле: $a_x = \frac{\upsilon_x \space − \space \upsilon_{0x}}{t}$. Скорость же при равноускоренном движении изменяется (увеличивается или уменьшается) одинаково за равные промежутки времени. Ее проекцию мы можем рассчитать по формуле: $\upsilon_x = \upsilon_{0x} \space + \space a_xt$.

    Теперь мы перейдем к перемещению тела. На данном уроке мы докажем, что площадь под графиком проекции скорости численно равна проекции перемещения тела, и выведем формулу для ее расчета.

    Перемещение и площадь под графиком проекции скорости

    Когда мы рассматривали прямолинейное равномерное движение, проекцию вектора перемещения мы определяли по той же формуле, что и площадь прямоугольника, заключенного под графиком (рисунок 1).

    Рисунок 1. Проекция перемещения (площадь под графиком) при прямолинейном равномерном движении

    А теперь взгляните на график (отрезок AC)  зависимости проекции вектора скорости от времени (рисунок 2). Тело движется с постоянным ускорением $a$ (при начальной скорости $\upsilon_0$).

    Рисунок 2. График зависимости проекции вектора скорости от времени при прямолинейном равноускоренном движении

    Будет ли проекция перемещения тела в этом случае равна площади фигуры OACB под графиком проекции скорости? Давайте предположим, что они равны друг другу и докажем это.

    Для этого выделим на оси времени Ot маленький промежуток времени db (рисунок 3). Из точек d и b проведем перпендикуляры к оси Ot до их пересечения с графиком проекции скорости. Перпендикуляры пересекут график в двух точках: a и c. Скорость тела в точке a равна $\upsilon_{ax}$, в точке c — $\upsilon_{cx}$.

    Рисунок 3. Малый промежуток времени на графике зависимости проекции скорости от времени

    Мы выбрали настолько маленький промежуток времени db, что проекция скорости на нем практически не изменяется. Само движение в таком приближении будет очень похоже на равномерное, как будто теперь наше тело движется с постоянной скоростью.

    Значит, мы можем рассматривать участок ac как горизонтальный, а фигуру acbd как прямоугольник. Тогда проекция перемещения, которое тело совершило за промежуток времени db, будет численно равна площади фигуры acbd.

    На такие узкие прямоугольники-полоски мы можем разбить всю площадь трапеции OACB (рисунок 4).

    Рисунок 4. Разбиение трапеции OACB на узкие прямоугольники

    Сделаем вывод из вышесказанного.

    Проекция вектора перемещения $s_x$ за промежуток времени, соответствующий отрезку OB, численно равна площади $S$ трапеции OACB и определяется по той же формуле, что и эта площадь.

    Вывод формулы проекции перемещения

    Из курса геометрии мы знаем, что площадь трапеции равна произведению полусуммы ее оснований на высоту (рисунок 5).

    Рисунок 5. Площадь трапеции

    Наша трапеция OACB:

    • основание $OA = \upsilon_{0x}$;
    • основание $BC = \upsilon_x$;
    • высота $OB = t$.

    Получается, что площадь трапеции OACB равна:
    $S = \frac{\upsilon_{0x} \space + \space \upsilon_x}{2} \cdot t$.

    Площадь $S$ будет численно равна проекции перемещения $s_x$. Проекцию скорости $\upsilon_x$ мы можем выразить через проекцию ускорения $a_x$:
    $\upsilon_x = \upsilon_{0x} \space + \space a_xt$.

    Подставим эти выражения в формулу площади:
    $S = s_x = \frac{\upsilon_{0x} \space + \space \upsilon_{0x} \space + \space a_xt}{2} \cdot t = \frac{2 \upsilon_{0x} \space + \space a_xt^2}{2} = \upsilon_{0x}t \space + \space \frac{a_xt^2}{2}$.

    Так мы получили формулу проекции вектора перемещения при прямолинейном равноускоренном движении.

    $s_x =  \upsilon_{0x}t \space + \space \frac{a_xt^2}{2}$.

    Упражнения

    Упражнение №1

    Велосипедист съехал с горки за $5 \space с$, двигаясь с постоянным ускорением $0.5 \frac{м}{с^2}$. Определите длину горки, если известно, что в начале спуска скорость велосипедиста была равна $18 \frac{км}{ч}$.

    Дано:
    $\upsilon_{0x} = 18 \frac{км}{ч}$
    $t = 5 \space с$
    $a_x = 0.5 \frac{м}{с^2}$

    СИ:
    $\upsilon_{0x} = 5 \frac{м}{с}$

    $l — ?$

    Посмотреть решение и ответ

    Скрыть

    Решение:

    В данном случае длина горки — это и есть перемещение, совершенное велосипедистом.

    Рассчитаем это перемещение:
    $l = s_x = \upsilon_{0x}t \space + \space \frac{a_xt^2}{2}$,
    $l = 5 \frac{м}{с} \cdot 5 \space с \space + \space \frac{0.5 \frac{м}{с^2} \cdot {5 \space с}^2}{2} = 25 \space м \space + \space 6.25 \space м = 31.25 \space м$.

    Ответ: $l = 31.25 \space м$.

    Упражнение №2

    Поезд, идущий со скоростью $15 \frac{м}{с}$, остановился через $20 \space с$ после начала торможения. Считая, что торможение происходило с постоянным ускорением, определите перемещение поезда за $20 \space с$.

    Дано:
    $\upsilon_{0x} = 15 \frac{м}{с}$
    $t = 20 \space с$
    $\upsilon_x = 0$

    $s_x — ?$

    Посмотреть решение и ответ

    Скрыть

    Решение:

    Для начала нам необходимо вычислить ускорение, с которым двигался поезд:
    $a_x = \frac{\upsilon_x \space − \space \upsilon_{0x}}{t}$,
    $a_x = \frac{0 \space − \space 15 \frac{м}{с}}{20 \space с} = −0.75 \frac{м}{с^2}$.

    Теперь мы можем рассчитать перемещение:
    $s_x = \upsilon_{0x}t \space + \space \frac{a_xt^2}{2}$,
    $s_x = 15 \frac{м}{с} \cdot 20 \space с \space + \space \frac{−0.75 \frac{м}{с^2} \cdot {20 \space с}^2}{2} = 300 \space м \space − \space 150 \space м = 150 \space м$.

    Ответ: $s_x = 150 \space м$.

    Упражнение №3

    Приведите формулу $S = \frac{\upsilon_{0x} \space + \space \upsilon_x}{2} \cdot t$ к виду $s_x = \frac{{\upsilon_x}^2 \space − \space {\upsilon_{0x}}^2}{2a_x}$.

    Посмотреть ответ

    Скрыть

    Ответ:

    В формуле, которую нам надо получить, нет времени $t$. Выразим его из формулы для проекции ускорения:
    $a_x = \frac{\upsilon_x \space − \space \upsilon_{0x}}{t}$,
    $t = \frac{\upsilon_x \space − \space \upsilon_{0x}}{a_x}$.

    Подставим в изначальную формулу:
    $S = s_x = \frac{\upsilon_{0x} \space + \space \upsilon_x}{2} \cdot t = \frac{\upsilon_{0x} \space + \space \upsilon_x}{2} \cdot \frac{\upsilon_x \space − \space \upsilon_{0x}}{a_x} = \frac{(\upsilon_{0x} \space + \space \upsilon_x) \cdot (\upsilon_x \space − \space \upsilon_{0x})}{2a_x}$.

    Посмотрите на числитель. Здесь мы можем воспользоваться формулой сокращенного умножения:
    $(a \space + \space b)(a \space − \space b) = a^2 \space − \space b^2$.

    Так мы и получаем нужный вид формулы:
    $s_x = \frac{(\upsilon_{0x} \space + \space \upsilon_x) \cdot (\upsilon_x \space − \space \upsilon_{0x})}{2a_x} = \frac{{\upsilon_x}^2 \space − \space {\upsilon_{0x}}^2}{2a_x}$.

    Часто задаваемые вопросы

    Чему равна проекция вектора перемещения на графике зависимости проекции скорости от времени при прямолинейном равноускоренном движении?

    Проекция вектора перемещения численно равна площади фигуры под графиком проекции вектора скорости.

    По какой формуле можно рассчитать проекцию вектора перемещения при прямолинейном равноускоренном движении?

    Проекцию вектора перемещения можно рассчитать по формуле:
    $s_x =  \upsilon_{0x}t \space + \space \frac{a_xt^2}{2}$.

    5
    5
    5Количество опыта, полученного за урок

    Оценить урок

    Спасибо, что помогаете нам стать лучше!

    Следующий урок

    Перемещение при прямолинейном равноускоренном движении без начальной скорости
    Комментарии

    Получить ещё подсказку

    Трудности? Воспользуйтесь подсказкой

    Верно! Посмотрите пошаговое решение

    НАЗНАЧИТЬ