Аватар Неизвестный
Личный кабинет Кабинет родителя Кабинет учителя Настройки Выйти Войти Регистрация Подписаться
СОЗДАТЬ
Создать флеш-карточки
ТРЕНАЖЁРЫ
КУРСЫ
КАРТОЧКИ
Подобрать занятие
Подобрать занятие
Подобрать занятие
НАЗНАЧИТЬ

Скорость прямолинейного равноускоренного движения. График скорости

Содержание

При неравномерном движении тел их скорость может изменяться: увеличиваться или уменьшаться. Одним из видов такого движения является прямолинейное равноускоренное движение, с которым мы познакомились на прошлом уроке. В этом случае скорость движущегося тела изменяется определенным образом: одинаково за равные промежутки времени.

На данном уроке вы узнаете, как эту скорость (ее проекцию) можно вычислить, научитесь строить графики зависимости проекции скорости от времени и анализировать их.

Уравнение скорости при равноускоренном движении

Вам уже известно, что при прямолинейном равноускоренном движении ускорение мы можем определить по формуле:
$\vec a = \frac{\vec \upsilon_0 \space − \space \vec \upsilon}{t}$.

Выразим отсюда скорость $\upsilon$, которую тело будет иметь по окончании промежутка времени $t$:
$\vec \upsilon_0 \space − \space \vec \upsilon = \vec a t$,
$\vec \upsilon = \vec \upsilon_0 \space + \space \vec a t$.

Уравнение скорости при прямолинейном равноускоренном движении:
$\vec \upsilon = \vec \upsilon_0 \space + \space \vec a t$.

Проекция вектора скорости

Формулу для скорости мы получили, но она в векторном виде. Соответственно, так мы не сможем использовать ее для вычислений. Поэтому перепишем ее в проекции на ось OX:

$\upsilon_x = \upsilon_{0x} \space + \space a_xt$

Так выглядит формула, по которой можно рассчитать проекцию вектора мгновенной скорости прямолинейного равноускоренного движения, если известны проекция вектора начальной скорости и проекция вектора ускорения.

Если тело начало движение из состояния покоя ($\upsilon_{0x} = 0$), то наша формула принимает более лаконичный вид.

$\upsilon_x = a_xt$

Зависимость проекции вектора скорости от времени

Давайте рассмотрим, как проекция вектора скорости зависит от времени. В курсе математики вы уже познакомились с линейными функциями. Освежим знания.

Линейная функция — это функция вида $y = kx \space + \space b$,
где $x$ — аргумент, $k$ — постоянный коэффициент, $b$ — свободный член.

Графиком линейной функции является прямая линия.

Теперь взглянем на нашу формулу для проекции вектора скорости:
$\upsilon_x = a_xt \space + \space \upsilon_{0x}$.

Получается, что это тоже линейная функция с аргументом $t$, постоянным коэффициентом $a_x$ и свободным членом $\upsilon_{0x}$.

График проекции вектора скорости

Так как уравнение для проекции скорости является линейной функцией, то и его графиком будет прямая линия. Расположение этой линии относительно осей координат будет определяться значениями $a_x$ и $\upsilon_{0x}$.

Рассмотрим несколько разных случаев.

Начальная скорость равна нулю

Автомобиль трогается с места и движется прямолинейно с ускорением $1.5 \frac{м}{с^2}$ в течение $40 \space с$ ($\upsilon_x = a_xt$).

Пусть ось OX будет направлена в сторону движения автомобиля. Так проекции скорости и ускорения будут положительными.

Начнем построение графика. Он будет представлять собой прямую линию ($\upsilon_x = a_xt$). Значит, нам достаточно взять две точки: задавая произвольные значения времени $t$, мы можем определить значения проекции скорости $\upsilon_x$.

Первая точка:
$t_0 = 0 \space с$, $\upsilon_{0x} = 0 \frac{м}{с}$.

Вторая точка:
$t = 40 \space с$, $\upsilon_x = a_xt = 1.5 \frac{м}{с^2} \cdot 40 \space с = 60 \frac{м}{с}$.

Вы можете выбирать другие значения времени и получать соответствующие значения скорости. Используя другие точки при построении графика, вы не совершаете ошибку: график получится точно такой же, как и в случае выбранных выше точек.

График проекции скорости представлен на рисунке 1.

Рисунок 1. График функции $\upsilon_x = 1.5t (\frac{м}{с})$

Что представляет собой график проекции вектора скорости равноускоренного движения при начальной скорости, равной нулю?
В этом случае график представляет собой прямую линию, проходящую через начало координат.

Модуль вектора скорости увеличивается

Рассмотрим случай, когда начальная скорость не равна нулю и с течением времени возрастает: $\upsilon_x = a_xt \space + \space \upsilon_{0x}$.

Пусть автомобиль двигался по дороге со скоростью $10 \frac{м}{с}$, когда водитель нажал на педаль газа. Теперь он двигается с постоянным ускорением $1.5 \frac{м}{с^2}$ — автомобиль разгоняется.

Построим график зависимости проекции вектора скорости автомобиля от времени для первых четырех секунд. Ось OX сонаправим скорости автомобиля.

В этом случае зависимость $\upsilon_x (t)$ описывается формулой $\upsilon_x = a_xt \space + \space \upsilon_{0x}$. Выберем две точки для построения:

  • в начале разгона (при $t_0 = 0$) автомобиль двигался со скоростью $\upsilon_{0x} = 10 \frac{м}{с}$;
  • рассчитаем проекцию скорости в момент времени $t = 3 \space с$:
    $\upsilon_x = 10 \frac{м}{с} \space + \space 1.5 \frac{м}{с^2} \cdot 3 \space с = 14.5 \frac{м}{с}$.

График, построенный по этим точкам, показан на рисунке 2.

Рисунок 2. График функции $\upsilon_x = 10 \space + \space 1.4t (\frac{м}{с})$

Что представляет собой график проекции вектора скорости равноускоренного движения при начальной скорости, не равной нулю?
Такой график представляет собой прямую линию, отсекающую на оси $\upsilon_x$ отрезок, равный проекции вектора начальной скорости.

Модуль вектора скорости уменьшается

Пусть автомобиль движется со скоростью $20 \frac{м}{с}$. Водитель плавно нажимает на педаль тормоза. Теперь автомобиль движется равноускоренно — он постепенно замедляется с ускорением $2 \frac{м}{с^2}$ и останавливается через $10 \space с$. Уравнение проекции вектора скорости в данном случае имеет следующий вид:
$\upsilon_x = −a_xt \space +\space \upsilon_{0x}$.

В этом случае построить график можно очень просто — без вычислений. Нам известно, что в момент времени $t_0 = 0$ проекция скорости была равна $\upsilon_x = 20 \frac{м}{с}$. А в момент времени $t = 10 \space с$ скорость стала равна нулю: $\upsilon_x = 0$. График, построенный по этим точкам, представлен на рисунке 3.

Рисунок 3. График функции $\upsilon_x = 20 \space − \space 2t (\frac{м}{с})$

Обратите внимание, что в случае уменьшения проекции вектора скорости, график будет образовывать тупой угол с положительным направлением оси $t$.

Чем сходны и чем отличаются друг от друга движения, графики которых представлены на рисунках 2 и 3?
В обоих случаях автомобиль имел начальную скорость. Оба графика отсекают на оси $\upsilon_x$ величину этой начальной скорости.
Отличие состоит в том, что в первом случае автомобиль обладал положительным ускорением, а во втором — отрицательным.

Если скорость тела возрастает, то график скорости образует с положительным направлением оси $t$ острый угол. Если же скорость уменьшается, то график будет образовывать с положительным направлением оси $t$  тупой угол.

Упражнения

Упражнение №1

Хоккеист слегка ударил клюшкой по шайбе, придав ей скорость $2 \frac{м}{с}$. Чему будет равна скорость шайбы через $4 \space с$ после удара, если в результате трения о лед она движется с ускорением $0.25 \frac{м}{с^2}$?

В результате трения о лед, скорость шайбы будет постепенно уменьшаться. То есть, векторы скорости и ускорения будут направлены противоположно друг другу. В этом случае не забывайте, что проекция ускорения будет отрицательной (направление оси OX совпадает с направлением движения и скорости).

Дано:
$\upsilon_{0x} = 2 \frac{м}{с}$
$t = 4 \space с$
$a_x = −0.25 \frac{м}{с^2}$

$\upsilon_x — ?$

Посмотреть решение и ответ

Скрыть

Решение:

Запишем формулу для вычисления проекции вектора скорости и рассчитаем ее:
$\upsilon_x = \upsilon_{0x} \space + \space a_xt$,
$\upsilon_x = 2 \frac{м}{с} \space − \space 0.25 \frac{м}{с^2} \cdot 4 \space с = 2 \frac{м}{с} \space − \space 1 \frac{м}{с} = 1 \frac{м}{с}$.

Ответ: $\upsilon_x = 1 \frac{м}{с}$.

Упражнение №2

Лыжник съезжает с горы из состояния покоя с ускорением, равным $0.2 \frac{м}{с^2}$. Через какой промежуток времени его скорость возрастет до $2 \frac{м}{с}$?

В данном случае скорость лыжника увеличивается. Значит, все проекции, используемые при вычислениях, будут положительными.

Дано:
$\upsilon_{0x} = 0 \frac{м}{с}$
$a_x = 0.2 \frac{м}{с^2}$
$\upsilon_x = 2 \frac{м}{с}$

$t — ?$

Посмотреть решение и ответ

Скрыть

Решение:

Запишем формулу для проекции вектора скорости:
$\upsilon_x = \upsilon_{0x} \space + \space a_xt$.

Начальная скорость равна нулю ($\upsilon_{0x} = 0$), поэтому формула примет вид:
$\upsilon_x = a_xt$.

Выразим отсюда время $t$ и рассчитаем его:
$t = \frac{\upsilon_x}{a_x}$,
$t = \frac{2 \frac{м}{с}}{0.2 \frac{м}{с^2}} = 10 \space с$.

Ответ: $t = 10 \space с$.

Упражнение №3

В одних и тех же координатных осях постройте графики проекции вектора скорости (на ось OX, сонаправленную вектору начальной скорости) при прямолинейном равноускоренном движении для случаев:

  1. $\upsilon_{0x} = 1 \frac{м}{с}$, $a_x = 0.5 \frac{м}{с^2}$;
  2. $\upsilon_{0x} = 1 \frac{м}{с}$, $a_x = 1 \frac{м}{с^2}$;
  3. $\upsilon_{0x} = 2 \frac{м}{с}$, $a_x = 1 \frac{м}{с^2}$.

Используйте масштаб: $1 \space см$ — $1 \frac{м}{с}$; $1 \space см$ — $1 \space с$.

Посмотреть ответ

Скрыть

Ответ:

Построим первый график: $\upsilon_x = 0.5t \space + \space 1 (\frac{м}{с})$.

Первая точка: 

  • $t_0 = 0$;
  • $\upsilon_x = 1 \frac{м}{с}$.

Вторая точка:

  • $t = 4 \space с$;
  • $\upsilon_x = 0.5 \frac{м}{с^2} \cdot 4 \space с \space + \space 1 \frac{м}{с} = 3 \frac{м}{с}$.

Соблюдая масштаб, отметьте эти две точки на координатной плоскости и соедините между собой. Так мы получим необходимый график (рисунок 4).

Рисунок 4. График проекции скорости для тела 1

Строим второй график: $\upsilon_x = t \space + \space 1 (\frac{м}{с})$.

Первая точка: 

  • $t_0 = 0$;
  • $\upsilon_x = 1 \frac{м}{с}$.

Вторая точка:

  • $t = 4 \space с$;
  • $\upsilon_x = 1 \frac{м}{с^2} \cdot 4 \space с \space + \space 1 \frac{м}{с} = 5 \frac{м}{с}$.

Используя эти точки, строим график в той же координатной плоскости (рисунок 5).

Рисунок 5. Графики проекций вектора скорости для тел 1 и 2

Построим третий график: $\upsilon_x = t \space + \space 2 (\frac{м}{с})$.

Первая точка: 

  • $t_0 = 0$;
  • $\upsilon_x = 2 \frac{м}{с}$.

Вторая точка:

  • $t = 4 \space с$;
  • $\upsilon_x = 1 \frac{м}{с^2} \cdot 4 \space с \space + \space 2 \frac{м}{с} = 6 \frac{м}{с}$.

Соединяем точки и получаем третий график на нашей координатной плоскости (рисунок 6).

Рисунок 6. Графики проекций скорости для тел 1, 2 и 3

Упражнение №4

В одних и тех же координатных осях постройте графики проекции вектора скорости (на ось OX, сонаправленную вектору начальной скорости) при прямолинейном равноускоренном движении для случаев:

  1. $\upsilon_{0x} = 4.5 \frac{м}{с}$, $a_x = −1.5 \frac{м}{с^2}$;
  2. $\upsilon_{0x} = 3 \frac{м}{с}$, $a_x = −1 \frac{м}{с^2}$.

Посмотреть ответ

Скрыть

Ответ:

Выберем точки для первого графика ($\upsilon_x = −1.5t \space + \space 4.5 (\frac{м}{с})$):

  • $t_0 = 0$, $\upsilon_x = 4.5 \frac{м}{с}$;
  • $t = 3 \space с$, $\upsilon_x = −1.5 \frac{м}{с^2} \cdot 3 \space с \space + \space 4.5 \frac{м}{с} = 0$.

Точки для второго графика ($\upsilon_x = −t \space + \space 3 (\frac{м}{с})$):

  • $t_0 = 0$, $\upsilon_x = 3 \frac{м}{с}$;
  • $t = 3 \space с$, $\upsilon_x = −1 \frac{м}{с^2} \cdot 3 \space с \space + \space 3 \frac{м}{с} = 0$.

Строим графики по этим точкам в одной координатной плоскости. Результат показан на рисунке 7.

Рисунок 7. Графики проекций векторов скорости

Упражнение №5

На рисунке 8 представлены графики зависимости модуля вектора скорости от времени при прямолинейном движении двух тел. С каким по модулю ускорением движется тело 1; тело 2?

Рисунок 8. Графики зависимости модуля вектора скорости от времени

Посмотреть решение и ответ

Скрыть

Решение:

Запишем формулу для вычисления проекции (модуля) ускорения:
$a_x = a = \frac{\upsilon_{0x} \space − \space \upsilon_x}{t}$.

Величины $\upsilon_{0x}$, $\upsilon_x$ в момент времени, не равный нулю, и соответствующее значение времени $t$ мы можем взять из графиков.

Для тела 1:

  • $\upsilon_{0x} = 3 \frac{м}{с}$;
  • $t = 6 \space с$, $\upsilon_x = 0$.

Рассчитаем модуль ускорения первого тела:
$|a_{x1}| = \frac{|3 \frac{м}{с} \space − \space 0|}{6 \space с} = 0.5 \frac{м}{с^2}$.

Для тела 2:

  • $\upsilon_{0x} = 0,5 \frac{м}{с}$;
  • $t = 3 \space с$, $\upsilon_x = 4 \frac{м}{с}$.

Рассчитаем модуль ускорения второго тела:
$|a_{x2}| = \frac{|0,5 \frac{м}{с} \space − \space 4 \frac{м}{с}|}{3 \space с} = 1\frac{1}{6} \frac{м}{с^2}$.

Ответ: $|a_{x1}| = 0.5 \frac{м}{с^2}$, $|a_{x2}| = 1\frac{1}{6} \frac{м}{с^2}$.

5
5
1
5Количество опыта, полученного за урок

Оценить урок

Отзыв отправлен. Спасибо, что помогаете нам стать лучше!

Комментарии

Получить ещё подсказку

Трудности? Воспользуйтесь подсказкой

Верно! Посмотрите пошаговое решение

НАЗНАЧИТЬ