Личный кабинет Кабинет родителя Кабинет учителя Настройки Выйти Войти Регистрация
ТРЕНАЖЁРЫ
КУРСЫ
НАЗНАЧИТЬ

Скорость прямолинейного равноускоренного движения. График скорости

Содержание

    При неравномерном движении тел их скорость может изменяться: увеличиваться или уменьшаться. Одним из видов такого движения является прямолинейное равноускоренное движение, с которым мы познакомились на прошлом уроке. В этом случае скорость движущегося тела изменяется определенным образом: одинаково за равные промежутки времени.

    На данном уроке вы узнаете, как эту скорость (ее проекцию) можно вычислить, научитесь строить графики зависимости проекции скорости от времени и анализировать их.

    Уравнение скорости при равноускоренном движении

    Вам уже известно, что при прямолинейном равноускоренном движении ускорение мы можем определить по формуле:
    $\vec a = \frac{\vec \upsilon_0 \space − \space \vec \upsilon}{t}$.

    Выразим отсюда скорость $\upsilon$, которую тело будет иметь по окончании промежутка времени $t$:
    $\vec \upsilon_0 \space − \space \vec \upsilon = \vec a t$,
    $\vec \upsilon = \vec \upsilon_0 \space + \space \vec a t$.

    Уравнение скорости при прямолинейном равноускоренном движении:
    $\vec \upsilon = \vec \upsilon_0 \space + \space \vec a t$.

    Проекция вектора скорости

    Формулу для скорости мы получили, но она в векторном виде. Соответственно, так мы не сможем использовать ее для вычислений. Поэтому перепишем ее в проекции на ось OX:

    $\upsilon_x = \upsilon_{0x} \space + \space a_xt$

    Так выглядит формула, по которой можно рассчитать проекцию вектора мгновенной скорости прямолинейного равноускоренного движения, если известны проекция вектора начальной скорости и проекция вектора ускорения.

    Если тело начало движение из состояния покоя ($\upsilon_{0x} = 0$), то наша формула принимает более лаконичный вид.

    $\upsilon_x = a_xt$

    Зависимость проекции вектора скорости от времени

    Давайте рассмотрим, как проекция вектора скорости зависит от времени. В курсе математики вы уже познакомились с линейными функциями. Освежим знания.

    Линейная функция — это функция вида $y = kx \space + \space b$,
    где $x$ — аргумент, $k$ — постоянный коэффициент, $b$ — свободный член.

    Графиком линейной функции является прямая линия.

    Теперь взглянем на нашу формулу для проекции вектора скорости:
    $\upsilon_x = a_xt \space + \space \upsilon_{0x}$.

    Получается, что это тоже линейная функция с аргументом $t$, постоянным коэффициентом $a_x$ и свободным членом $\upsilon_{0x}$.

    График проекции вектора скорости

    Так как уравнение для проекции скорости является линейной функцией, то и его графиком будет прямая линия. Расположение этой линии относительно осей координат будет определяться значениями $a_x$ и $\upsilon_{0x}$.

    Рассмотрим несколько разных случаев.

    Начальная скорость равна нулю

    Автомобиль трогается с места и движется прямолинейно с ускорением $1.5 \frac{м}{с^2}$ в течение $40 \space с$ ($\upsilon_x = a_xt$).

    Пусть ось OX будет направлена в сторону движения автомобиля. Так проекции скорости и ускорения будут положительными.

    Начнем построение графика. Он будет представлять собой прямую линию ($\upsilon_x = a_xt$). Значит, нам достаточно взять две точки: задавая произвольные значения времени $t$, мы можем определить значения проекции скорости $\upsilon_x$.

    Первая точка:
    $t_0 = 0 \space с$, $\upsilon_{0x} = 0 \frac{м}{с}$.

    Вторая точка:
    $t = 40 \space с$, $\upsilon_x = a_xt = 1.5 \frac{м}{с^2} \cdot 40 \space с = 60 \frac{м}{с}$.

    Вы можете выбирать другие значения времени и получать соответствующие значения скорости. Используя другие точки при построении графика, вы не совершаете ошибку: график получится точно такой же, как и в случае выбранных выше точек.

    График проекции скорости представлен на рисунке 1.

    Рисунок 1. График функции $\upsilon_x = 1.5t (\frac{м}{с})$

    Что представляет собой график проекции вектора скорости равноускоренного движения при начальной скорости, равной нулю?
    В этом случае график представляет собой прямую линию, проходящую через начало координат.

    Модуль вектора скорости увеличивается

    Рассмотрим случай, когда начальная скорость не равна нулю и с течением времени возрастает: $\upsilon_x = a_xt \space + \space \upsilon_{0x}$.

    Пусть автомобиль двигался по дороге со скоростью $10 \frac{м}{с}$, когда водитель нажал на педаль газа. Теперь он двигается с постоянным ускорением $1.5 \frac{м}{с^2}$ — автомобиль разгоняется.

    Построим график зависимости проекции вектора скорости автомобиля от времени для первых четырех секунд. Ось OX сонаправим скорости автомобиля.

    В этом случае зависимость $\upsilon_x (t)$ описывается формулой $\upsilon_x = a_xt \space + \space \upsilon_{0x}$. Выберем две точки для построения:

    • в начале разгона (при $t_0 = 0$) автомобиль двигался со скоростью $\upsilon_{0x} = 10 \frac{м}{с}$;
    • рассчитаем проекцию скорости в момент времени $t = 3 \space с$:
      $\upsilon_x = 10 \frac{м}{с} \space + \space 1.5 \frac{м}{с^2} \cdot 3 \space с = 14.5 \frac{м}{с}$.

    График, построенный по этим точкам, показан на рисунке 2.

    Рисунок 2. График функции $\upsilon_x = 10 \space + \space 1.4t (\frac{м}{с})$

    Что представляет собой график проекции вектора скорости равноускоренного движения при начальной скорости, не равной нулю?
    Такой график представляет собой прямую линию, отсекающую на оси $\upsilon_x$ отрезок, равный проекции вектора начальной скорости.

    Модуль вектора скорости уменьшается

    Пусть автомобиль движется со скоростью $20 \frac{м}{с}$. Водитель плавно нажимает на педаль тормоза. Теперь автомобиль движется равноускоренно — он постепенно замедляется с ускорением $2 \frac{м}{с^2}$ и останавливается через $10 \space с$. Уравнение проекции вектора скорости в данном случае имеет следующий вид:
    $\upsilon_x = −a_xt \space +\space \upsilon_{0x}$.

    В этом случае построить график можно очень просто — без вычислений. Нам известно, что в момент времени $t_0 = 0$ проекция скорости была равна $\upsilon_x = 20 \frac{м}{с}$. А в момент времени $t = 10 \space с$ скорость стала равна нулю: $\upsilon_x = 0$. График, построенный по этим точкам, представлен на рисунке 3.

    Рисунок 3. График функции $\upsilon_x = 20 \space − \space 2t (\frac{м}{с})$

    Обратите внимание, что в случае уменьшения проекции вектора скорости, график будет образовывать тупой угол с положительным направлением оси $t$.

    Чем сходны и чем отличаются друг от друга движения, графики которых представлены на рисунках 2 и 3?
    В обоих случаях автомобиль имел начальную скорость. Оба графика отсекают на оси $\upsilon_x$ величину этой начальной скорости.
    Отличие состоит в том, что в первом случае автомобиль обладал положительным ускорением, а во втором — отрицательным.

    Если скорость тела возрастает, то график скорости образует с положительным направлением оси $t$ острый угол. Если же скорость уменьшается, то график будет образовывать с положительным направлением оси $t$  тупой угол.

    Упражнения

    Упражнение №1

    Хоккеист слегка ударил клюшкой по шайбе, придав ей скорость $2 \frac{м}{с}$. Чему будет равна скорость шайбы через $4 \space с$ после удара, если в результате трения о лед она движется с ускорением $0.25 \frac{м}{с^2}$?

    В результате трения о лед, скорость шайбы будет постепенно уменьшаться. То есть, векторы скорости и ускорения будут направлены противоположно друг другу. В этом случае не забывайте, что проекция ускорения будет отрицательной (направление оси OX совпадает с направлением движения и скорости).

    Дано:
    $\upsilon_{0x} = 2 \frac{м}{с}$
    $t = 4 \space с$
    $a_x = −0.25 \frac{м}{с^2}$

    $\upsilon_x — ?$

    Посмотреть решение и ответ

    Скрыть

    Решение:

    Запишем формулу для вычисления проекции вектора скорости и рассчитаем ее:
    $\upsilon_x = \upsilon_{0x} \space + \space a_xt$,
    $\upsilon_x = 2 \frac{м}{с} \space − \space 0.25 \frac{м}{с^2} \cdot 4 \space с = 2 \frac{м}{с} \space − \space 1 \frac{м}{с} = 1 \frac{м}{с}$.

    Ответ: $\upsilon_x = 1 \frac{м}{с}$.

    Упражнение №2

    Лыжник съезжает с горы из состояния покоя с ускорением, равным $0.2 \frac{м}{с^2}$. Через какой промежуток времени его скорость возрастет до $2 \frac{м}{с}$?

    В данном случае скорость лыжника увеличивается. Значит, все проекции, используемые при вычислениях, будут положительными.

    Дано:
    $\upsilon_{0x} = 0 \frac{м}{с}$
    $a_x = 0.2 \frac{м}{с^2}$
    $\upsilon_x = 2 \frac{м}{с}$

    $t — ?$

    Посмотреть решение и ответ

    Скрыть

    Решение:

    Запишем формулу для проекции вектора скорости:
    $\upsilon_x = \upsilon_{0x} \space + \space a_xt$.

    Начальная скорость равна нулю ($\upsilon_{0x} = 0$), поэтому формула примет вид:
    $\upsilon_x = a_xt$.

    Выразим отсюда время $t$ и рассчитаем его:
    $t = \frac{\upsilon_x}{a_x}$,
    $t = \frac{2 \frac{м}{с}}{0.2 \frac{м}{с^2}} = 10 \space с$.

    Ответ: $t = 10 \space с$.

    Упражнение №3

    В одних и тех же координатных осях постройте графики проекции вектора скорости (на ось OX, сонаправленную вектору начальной скорости) при прямолинейном равноускоренном движении для случаев:

    1. $\upsilon_{0x} = 1 \frac{м}{с}$, $a_x = 0.5 \frac{м}{с^2}$;
    2. $\upsilon_{0x} = 1 \frac{м}{с}$, $a_x = 1 \frac{м}{с^2}$;
    3. $\upsilon_{0x} = 2 \frac{м}{с}$, $a_x = 1 \frac{м}{с^2}$.

    Используйте масштаб: $1 \space см$ — $1 \frac{м}{с}$; $1 \space см$ — $1 \space с$.

    Посмотреть ответ

    Скрыть

    Ответ:

    Построим первый график: $\upsilon_x = 0.5t \space + \space 1 (\frac{м}{с})$.

    Первая точка: 

    • $t_0 = 0$;
    • $\upsilon_x = 1 \frac{м}{с}$.

    Вторая точка:

    • $t = 4 \space с$;
    • $\upsilon_x = 0.5 \frac{м}{с^2} \cdot 4 \space с \space + \space 1 \frac{м}{с} = 3 \frac{м}{с}$.

    Соблюдая масштаб, отметьте эти две точки на координатной плоскости и соедините между собой. Так мы получим необходимый график (рисунок 4).

    Рисунок 4. График проекции скорости для тела 1

    Строим второй график: $\upsilon_x = t \space + \space 1 (\frac{м}{с})$.

    Первая точка: 

    • $t_0 = 0$;
    • $\upsilon_x = 1 \frac{м}{с}$.

    Вторая точка:

    • $t = 4 \space с$;
    • $\upsilon_x = 1 \frac{м}{с^2} \cdot 4 \space с \space + \space 1 \frac{м}{с} = 5 \frac{м}{с}$.

    Используя эти точки, строим график в той же координатной плоскости (рисунок 5).

    Рисунок 5. Графики проекций вектора скорости для тел 1 и 2

    Построим третий график: $\upsilon_x = t \space + \space 2 (\frac{м}{с})$.

    Первая точка: 

    • $t_0 = 0$;
    • $\upsilon_x = 2 \frac{м}{с}$.

    Вторая точка:

    • $t = 4 \space с$;
    • $\upsilon_x = 1 \frac{м}{с^2} \cdot 4 \space с \space + \space 2 \frac{м}{с} = 6 \frac{м}{с}$.

    Соединяем точки и получаем третий график на нашей координатной плоскости (рисунок 6).

    Рисунок 6. Графики проекций скорости для тел 1, 2 и 3

    Упражнение №4

    В одних и тех же координатных осях постройте графики проекции вектора скорости (на ось OX, сонаправленную вектору начальной скорости) при прямолинейном равноускоренном движении для случаев:

    1. $\upsilon_{0x} = 4.5 \frac{м}{с}$, $a_x = −1.5 \frac{м}{с^2}$;
    2. $\upsilon_{0x} = 3 \frac{м}{с}$, $a_x = −1 \frac{м}{с^2}$.

    Посмотреть ответ

    Скрыть

    Ответ:

    Выберем точки для первого графика ($\upsilon_x = −1.5t \space + \space 4.5 (\frac{м}{с})$):

    • $t_0 = 0$, $\upsilon_x = 4.5 \frac{м}{с}$;
    • $t = 3 \space с$, $\upsilon_x = −1.5 \frac{м}{с^2} \cdot 3 \space с \space + \space 4.5 \frac{м}{с} = 0$.

    Точки для второго графика ($\upsilon_x = −t \space + \space 3 (\frac{м}{с})$):

    • $t_0 = 0$, $\upsilon_x = 3 \frac{м}{с}$;
    • $t = 3 \space с$, $\upsilon_x = −1 \frac{м}{с^2} \cdot 3 \space с \space + \space 3 \frac{м}{с} = 0$.

    Строим графики по этим точкам в одной координатной плоскости. Результат показан на рисунке 7.

    Рисунок 7. Графики проекций векторов скорости

    Упражнение №5

    На рисунке 8 представлены графики зависимости модуля вектора скорости от времени при прямолинейном движении двух тел. С каким по модулю ускорением движется тело 1; тело 2?

    Рисунок 8. Графики зависимости модуля вектора скорости от времени

    Посмотреть решение и ответ

    Скрыть

    Решение:

    Запишем формулу для вычисления проекции (модуля) ускорения:
    $a_x = a = \frac{\upsilon_{0x} \space − \space \upsilon_x}{t}$.

    Величины $\upsilon_{0x}$, $\upsilon_x$ в момент времени, не равный нулю, и соответствующее значение времени $t$ мы можем взять из графиков.

    Для тела 1:

    • $\upsilon_{0x} = 3 \frac{м}{с}$;
    • $t = 6 \space с$, $\upsilon_x = 0$.

    Рассчитаем модуль ускорения первого тела:
    $|a_{x1}| = \frac{|3 \frac{м}{с} \space − \space 0|}{6 \space с} = 0.5 \frac{м}{с^2}$.

    Для тела 2:

    • $\upsilon_{0x} = 1 \frac{м}{с}$;
    • $t = 3 \space с$, $\upsilon_x = 4 \frac{м}{с}$.

    Рассчитаем модуль ускорения второго тела:
    $|a_{x2}| = \frac{|1 \frac{м}{с} \space − \space 4 \frac{м}{с}|}{3 \space с} = 1 \frac{м}{с^2}$.

    Ответ: $|a_{x1}| = 0.5 \frac{м}{с^2}$, $|a_{x2}| = 1 \frac{м}{с^2}$.

    5
    5
    5Количество опыта, полученного за урок

    Оценить урок

    Спасибо, что помогаете нам стать лучше!

    Проверим знания по теме?

    Скорость равноускоренного движения и график ее проекции
    Комментарии

    Получить ещё подсказку

    Трудности? Воспользуйтесь подсказкой

    Верно! Посмотрите пошаговое решение

    НАЗНАЧИТЬ