Скорость прямолинейного равноускоренного движения. График скорости

При неравномерном движении тел их скорость может изменяться: увеличиваться или уменьшаться. Одним из видов такого движения является прямолинейное равноускоренное движение, с которым мы познакомились на прошлом уроке. В этом случае скорость движущегося тела изменяется определенным образом: одинаково за равные промежутки времени.

На данном уроке вы узнаете, как эту скорость (ее проекцию) можно вычислить, научитесь строить графики зависимости проекции скорости от времени и анализировать их.

Уравнение скорости при равноускоренном движении

Вам уже известно, что при прямолинейном равноускоренном движении ускорение мы можем определить по формуле:
$\vec a = \frac{\vec \upsilon_0 \space − \space \vec \upsilon}{t}$.

Выразим отсюда скорость $\upsilon$, которую тело будет иметь по окончании промежутка времени $t$:
$\vec \upsilon_0 \space − \space \vec \upsilon = \vec a t$,
$\vec \upsilon = \vec \upsilon_0 \space + \space \vec a t$.

Уравнение скорости при прямолинейном равноускоренном движении:
$\vec \upsilon = \vec \upsilon_0 \space + \space \vec a t$.

{"questions":[{"content":"Уравнение для скорости прямолинейного равноускоренного движения мы можем получить из формулы[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["ускорения","проекции скорости","силы тяжести","мгновенной скорости"],"answer":[0]}}}]}

Проекция вектора скорости

Формулу для скорости мы получили, но она в векторном виде. Соответственно, так мы не сможем использовать ее для вычислений. Поэтому перепишем ее в проекции на ось OX:

$\upsilon_x = \upsilon_{0x} \space + \space a_xt$

Так выглядит формула, по которой можно рассчитать проекцию вектора мгновенной скорости прямолинейного равноускоренного движения, если известны проекция вектора начальной скорости и проекция вектора ускорения.

Если тело начало движение из состояния покоя ($\upsilon_{0x} = 0$), то наша формула принимает более лаконичный вид.

$\upsilon_x = a_xt$

{"questions":[{"content":"По какой формуле можно вычислить проекцию вектора скорости при прямолинейном равноускоренном движении?[[choice-5]]","widgets":{"choice-5":{"type":"choice","options":["$\\upsilon_x = \\upsilon_{0x} \\space + \\space a_xt$","$\\upsilon_x = s_x \\space + \\space a_xt$","$\\upsilon_x = \\upsilon_{0x} \\space + \\space t$","$\\upsilon_x = t \\space + \\space \\upsilon_{0x} a_x$"],"answer":[0]}}}]}

Зависимость проекции вектора скорости от времени

Давайте рассмотрим, как проекция вектора скорости зависит от времени. В курсе математики вы уже познакомились с линейными функциями. Освежим знания.

Линейная функция — это функция вида $y = kx \space + \space b$,
где $x$ — аргумент, $k$ — постоянный коэффициент, $b$ — свободный член.

Графиком линейной функции является прямая линия.

Теперь взглянем на нашу формулу для проекции вектора скорости:
$\upsilon_x = a_xt \space + \space \upsilon_{0x}$.

Получается, что это тоже линейная функция с аргументом $t$, постоянным коэффициентом $a_x$ и свободным членом $\upsilon_{0x}$.

{"questions":[{"content":"Формула проекции вектора скорости при прямолинейном равноускоренном движении представляет собой[[choice-11]]","widgets":{"choice-11":{"type":"choice","options":["линейную функцию","квадратичную функцию","синус","косинус"],"answer":[0]}}}]}

График проекции вектора скорости

Так как уравнение для проекции скорости является линейной функцией, то и его графиком будет прямая линия. Расположение этой линии относительно осей координат будет определяться значениями $a_x$ и $\upsilon_{0x}$.

{"questions":[{"content":"График проекции вектора скорости представляет собой[[choice-15]]","widgets":{"choice-15":{"type":"choice","options":["прямую линию","кривую линию","окружность"],"answer":[0]}}}]}

Рассмотрим несколько разных случаев.

Начальная скорость равна нулю

Автомобиль трогается с места и движется прямолинейно с ускорением $1.5 \frac{м}{с^2}$ в течение $40 \space с$ ($\upsilon_x = a_xt$).

Пусть ось OX будет направлена в сторону движения автомобиля. Так проекции скорости и ускорения будут положительными.

Начнем построение графика. Он будет представлять собой прямую линию ($\upsilon_x = a_xt$). Значит, нам достаточно взять две точки: задавая произвольные значения времени $t$, мы можем определить значения проекции скорости $\upsilon_x$.

Первая точка:
$t_0 = 0 \space с$, $\upsilon_{0x} = 0 \frac{м}{с}$.

Вторая точка:
$t = 40 \space с$, $\upsilon_x = a_xt = 1.5 \frac{м}{с^2} \cdot 40 \space с = 60 \frac{м}{с}$.

Вы можете выбирать другие значения времени и получать соответствующие значения скорости. Используя другие точки при построении графика, вы не совершаете ошибку: график получится точно такой же, как и в случае выбранных выше точек.

График проекции скорости представлен на рисунке 1.

Что представляет собой график проекции вектора скорости равноускоренного движения при начальной скорости, равной нулю?
В этом случае график представляет собой прямую линию, проходящую через начало координат.

{"questions":[{"content":"График проекции вектора скорости при начальной скорости, равной нулю, [[choice-18]]","widgets":{"choice-18":{"type":"choice","options":["проходит через начало координат","представляет собой прямую линию","представляет собой параболу","представляет собой кривую линию","никогда не проходит через начало координат"],"answer":[0,1]}}}]}

Модуль вектора скорости увеличивается

Рассмотрим случай, когда начальная скорость не равна нулю и с течением времени возрастает: $\upsilon_x = a_xt \space + \space \upsilon_{0x}$.

Пусть автомобиль двигался по дороге со скоростью $10 \frac{м}{с}$, когда водитель нажал на педаль газа. Теперь он двигается с постоянным ускорением $1.5 \frac{м}{с^2}$ — автомобиль разгоняется.

Построим график зависимости проекции вектора скорости автомобиля от времени для первых четырех секунд. Ось OX сонаправим скорости автомобиля.

В этом случае зависимость $\upsilon_x (t)$ описывается формулой $\upsilon_x = a_xt \space + \space \upsilon_{0x}$. Выберем две точки для построения:

• в начале разгона (при $t_0 = 0$) автомобиль двигался со скоростью $\upsilon_{0x} = 10 \frac{м}{с}$;
• рассчитаем проекцию скорости в момент времени $t = 3 \space с$:
  $\upsilon_x = 10 \frac{м}{с} \space + \space 1.5 \frac{м}{с^2} \cdot 3 \space с = 14.5 \frac{м}{с}$.

График, построенный по этим точкам, показан на рисунке 2.

Что представляет собой график проекции вектора скорости равноускоренного движения при начальной скорости, не равной нулю?
Такой график представляет собой прямую линию, отсекающую на оси $\upsilon_x$ отрезок, равный проекции вектора начальной скорости.

{"questions":[{"content":"Сколько точек необходимо, чтобы построить график проекции вектора скорости?[[choice-23]]","widgets":{"choice-23":{"type":"choice","options":["2","1","3","4"],"explanations":["График представляет собой прямую линию. Для ее построения достаточно двух точек.","","",""],"answer":[0]}}}]}

Модуль вектора скорости уменьшается

Пусть автомобиль движется со скоростью $20 \frac{м}{с}$. Водитель плавно нажимает на педаль тормоза. Теперь автомобиль движется равноускоренно — он постепенно замедляется с ускорением $2 \frac{м}{с^2}$ и останавливается через $10 \space с$. Уравнение проекции вектора скорости в данном случае имеет следующий вид:
$\upsilon_x = −a_xt \space +\space \upsilon_{0x}$.

В этом случае построить график можно очень просто — без вычислений. Нам известно, что в момент времени $t_0 = 0$ проекция скорости была равна $\upsilon_x = 20 \frac{м}{с}$. А в момент времени $t = 10 \space с$ скорость стала равна нулю: $\upsilon_x = 0$. График, построенный по этим точкам, представлен на рисунке 3.

Обратите внимание, что в случае уменьшения проекции вектора скорости, график будет образовывать тупой угол с положительным направлением оси $t$.

Чем сходны и чем отличаются друг от друга движения, графики которых представлены на рисунках 2 и 3?
В обоих случаях автомобиль имел начальную скорость. Оба графика отсекают на оси $\upsilon_x$ величину этой начальной скорости.
Отличие состоит в том, что в первом случае автомобиль обладал положительным ускорением, а во втором — отрицательным.

Если скорость тела возрастает, то график скорости образует с положительным направлением оси $t$ острый угол. Если же скорость уменьшается, то график будет образовывать с положительным направлением оси $t$  тупой угол.

{"questions":[{"content":"Если график проекции вектора скорости образует тупой угол с осью времени, то тело движется с [[fill_choice-28]] ускорением, а если острый — то тело движется с [[fill_choice-31]] ускорением.","widgets":{"fill_choice-28":{"type":"fill_choice","options":["отрицательным","положительным"],"answer":0},"fill_choice-31":{"type":"fill_choice","options":["положительным","отрицательным"],"answer":0}}}]}

Упражнения

В результате трения о лед, скорость шайбы будет постепенно уменьшаться. То есть, векторы скорости и ускорения будут направлены противоположно друг другу. В этом случае не забывайте, что проекция ускорения будет отрицательной (направление оси OX совпадает с направлением движения и скорости).

Дано:
$\upsilon_{0x} = 2 \frac{м}{с}$
$t = 4 \space с$
$a_x = −0.25 \frac{м}{с^2}$

$\upsilon_x — ?$

Посмотреть решение и ответ

Скрыть

В данном случае скорость лыжника увеличивается. Значит, все проекции, используемые при вычислениях, будут положительными.

Дано:
$\upsilon_{0x} = 0 \frac{м}{с}$
$a_x = 0.2 \frac{м}{с^2}$
$\upsilon_x = 2 \frac{м}{с}$

$t — ?$

Посмотреть решение и ответ

Скрыть

Посмотреть ответ

Скрыть

Ответ:

Построим первый график: $\upsilon_x = 0.5t \space + \space 1 (\frac{м}{с})$.

Первая точка: 

• $t_0 = 0$;
• $\upsilon_x = 1 \frac{м}{с}$.

Вторая точка:

• $t = 4 \space с$;
• $\upsilon_x = 0.5 \frac{м}{с^2} \cdot 4 \space с \space + \space 1 \frac{м}{с} = 3 \frac{м}{с}$.

Соблюдая масштаб, отметьте эти две точки на координатной плоскости и соедините между собой. Так мы получим необходимый график (рисунок 4).

Строим второй график: $\upsilon_x = t \space + \space 1 (\frac{м}{с})$.

Первая точка: 

• $t_0 = 0$;
• $\upsilon_x = 1 \frac{м}{с}$.

Вторая точка:

• $t = 4 \space с$;
• $\upsilon_x = 1 \frac{м}{с^2} \cdot 4 \space с \space + \space 1 \frac{м}{с} = 5 \frac{м}{с}$.

Используя эти точки, строим график в той же координатной плоскости (рисунок 5).

Построим третий график: $\upsilon_x = t \space + \space 2 (\frac{м}{с})$.

Первая точка: 

• $t_0 = 0$;
• $\upsilon_x = 2 \frac{м}{с}$.

Вторая точка:

• $t = 4 \space с$;
• $\upsilon_x = 1 \frac{м}{с^2} \cdot 4 \space с \space + \space 2 \frac{м}{с} = 6 \frac{м}{с}$.

Соединяем точки и получаем третий график на нашей координатной плоскости (рисунок 6).

Посмотреть ответ

Скрыть

Ответ:

Выберем точки для первого графика ($\upsilon_x = −1.5t \space + \space 4.5 (\frac{м}{с})$):

• $t_0 = 0$, $\upsilon_x = 4.5 \frac{м}{с}$;
• $t = 3 \space с$, $\upsilon_x = −1.5 \frac{м}{с^2} \cdot 3 \space с \space + \space 4.5 \frac{м}{с} = 0$.

Точки для второго графика ($\upsilon_x = −t \space + \space 3 (\frac{м}{с})$):

• $t_0 = 0$, $\upsilon_x = 3 \frac{м}{с}$;
• $t = 3 \space с$, $\upsilon_x = −1 \frac{м}{с^2} \cdot 3 \space с \space + \space 3 \frac{м}{с} = 0$.

Строим графики по этим точкам в одной координатной плоскости. Результат показан на рисунке 7.

Посмотреть решение и ответ

Скрыть