КАРТОЧКИ
ТРЕНАЖЁРЫ
КУРСЫ
Перемещение при прямолинейном равноускоренном движении
Перемещение при прямолинейном равноускоренном движении без начальной скорости
На данном уроке мы продолжим рассматривать перемещение при прямолинейном равноускоренном движении. Вы уже знаете, что проекцию вектора такого перемещения мы можем рассчитать по формуле: $s_x = \upsilon_{0x}t \space + \space \frac{a_xt^2}{2}$.
Теперь мы разберем ситуацию, в которой тело начинает двигаться равноускоренно из состояния покоя (с нулевой начальной скоростью). Это позволит нам сделать интересные выводы о зависимости проекции вектора перемещения от других величин, в особенности — от времени движения.
Уравнение прямолинейного равноускоренного движения без начальной скорости
Запишем известную нам формулу проекции вектора перемещения:
$s_x = \upsilon_{0x}t \space + \space \frac{a_xt^2}{2}$.
Теперь начальная скорость у нас будет равна нулю: $\upsilon_{0x} = 0$. Значит, первое слагаемое ($\upsilon_{0x}t$) тоже будет равно нулю. Наша формула примет вид:
$s_x = \frac{a_xt^2}{2}$.
Пропорциональность перемещения квадрату времени
Перейдем от проекции вектора перемещения $s_x$ и проекции вектора ускорения $a_x$ к модулям этих физических величин: $s$ и $a$. Векторы $\vec s$ и $\vec a$ в данном случае будут направлены в одну сторону и иметь одинаковые знаки, ведь тело не может замедляться в своем движении, если оно и так начало движение из состояния покоя.
Значит, наша формула примет вид:
$s = \frac{at^2}{2}$.
Посмотрев на эту формулу, мы можем сказать, от чего и как зависит модуль вектора перемещения.
При прямолинейном равноускоренном движении без начальной скорости модуль вектора перемещения прямо пропорционален квадрату промежутка времени, в течение которого это перемещение было совершено.
Во сколько раз увеличится модуль вектора перемещения тела при увеличении времени его движения из состояния покоя в $n$ раз?
Если время движения увеличится в $n$ раз, то модуль вектора перемещения тела увеличится в $n^2$ раз (рисунок 1). Обратите внимание, что время отсчитывается от начала движения, а не от какого-то произвольного момента.
Закономерности равноускоренного движения
Пусть тело совершило перемещение $s_1$ за промежуток времени $t_1$ от начала движения. Это перемещение будет равно: $s_1 = \frac{a}{2}{t_1}^2$.
Теперь возьмем промежуток времени $t_2$: $t_2 = 2t_1$. Этот промежуток времени отсчитывается от того же момента, что и промежуток $t_1$. Перемещение тела в этом случае будет следующим:
$s_2 = \frac{a}{2}{t_2}^2 = \frac{a}{2}{2t_1}^2 = 4 \frac{a}{2}{t_1}^2 = 4s_1$.
Возьмем еще один промежуток времени $t_3$: $t_3 = 3t_1$. Запишем перемещение, совершенное телом за это время:
$s_3 = \frac{a}{2}{t_3}^2 = \frac{a}{2}{3t_1}^2 = 9 \frac{a}{2}{t_1}^2 = 9s_1$.
Мы можем продолжать брать такие промежутки времени, а можем выделить зависимость и записать, что за какой-то промежуток времени $t_n$ (здесь $n$ — натуральное число), тело совершает перемещение, равное: $s_n = n^2s_1$.
Давайте наглядно отразим эту зависимость модуля вектора перемещения от времени (рисунок 2). Отрезки OA, OB, OC, OD и OE соответствуют модулям перемещений $s_1$, $s_2$, $s_3$, $s_4$ и $s_5$, которые тело совершило за промежутки времени $t_1$, $t_2 = 2t_1$, $t_3 = 3t_1$, $t_4 = 4t_1$ и $t_5 = 5t_1$.
Из рисунка видно, как будут соотноситься друг с другом отрезки, соответствующие перемещениям, совершенным от начала движения:
$OA : OB : OC : OD : OE = 1 : 4 : 9 : 16 : 25$.
Как относятся друг к другу модули векторов перемещений тела, движущегося равноускоренно из состояния покоя, при увеличении времени его движения в целое число раз по сравнению с $t_1$?
При увеличении промежутков времени, отсчитываемых от начала движения в целое число раз по сравнению с $t_1$, модули соответствующих векторов перемещений возрастают как ряд квадратов последовательных натуральных чисел:
$s_1 : s_2 : s_3 : s_4 : s_5 = 1 : 4 : 9 : 16 : 25$.
Можно выделить и вторую закономерность (рисунок 3):
$OA : AB : BC : CD : DE = 1 : 3 : 5 : 7 : 9$.
Как относятся друг к другу модули векторов перемещений, совершаемых телом за последовательные равные промежутки времени, если это тело движется равноускоренно из состояния покоя?
Модули векторов перемещений, совершаемых телом за последовательные равные промежутки времени (каждый из которых равен $t_1$), относятся как ряд последовательных нечетных чисел:
$s_1 : s_2 : s_3 : s_4 : s_5 = 1 : 3 : 5 : 7 : 9$.
Обратите внимание, что в этих закономерностях мы подразумеваем разные величины под $s_1$, $s_2$, $s_3$, $s_4$ и $s_5$. В первой закономерности это модули перемещений, совершенных от начала движения, а во второй — это модули перемещений, которые тело совершает за равные промежутки времени, равные $t_1$.
Определение равноускоренности движения
С какой целью можно использовать приведенные выше закономерности?
Закономерности, которые мы определили выше, присущи только равноускоренному движению. Значит, мы можем их использовать, чтобы сказать является ли рассматриваемое движение равноускоренным или нет.
Давайте рассмотрим пример и определим, было ли данное движение равноускоренным.
Пусть улитка за первые $20 \space с$ движения переместилась на $0.5 \space см$, за вторые $20 \space с$ — на $1.5 \space см$, за третьи $20 \space с$ — на $2.5 \space см$ (рисунок 4).
Посмотрим, во сколько раз перемещения, совершенные за второй и третий промежутки времени, больше перемещения, совершенного в первый промежуток времени:
$\frac{1.5 \space см}{0.5 \space см} = 3$,
$\frac{2.5 \space см}{0.5 \space см} = 5$.
Так мы можем записать:
$0.5 \space см : 1.5 \space см : 2.5 \space см = 1: 3 : 5$.
Такое отношение — это ряд последовательных нечетных чисел. Значит, движение улитки было равноускоренным.
Упражнения
Упражнение №1
Отходящий от станции поезд в течение первых $20 \space с$ движется прямолинейно и равноускоренно. Известно, что за третью секунду от начала движения поезд прошел $2 \space м$. Определите модуль вектора перемещения, совершенного поездом за первую секунду, и модуль вектора ускорения, с которым он двигался.
В задаче говорится, что поезд совершил перемещение, равное $2 \space м$ за $1 \space с$. Эта одна секунда была третьей от начала отсчета времени. Равные промежутки времени, которые мы будем рассматривать, будут равны $1 \space с$.
Также обратите внимание, что начальная скорость поезда была равна нулю. Значит, это пример прямолинейного равноускоренного движения без начальной скорости.
Дано:
$\upsilon_0 = 0$
$t_1 = 1 \space с$
$t_3 = 3 \space с$
$s_3 = 2 \space м$
$s_1 — ?$
$a — ?$
Посмотреть решение и ответ
Скрыть
Решение:
В данном случае мы говорим об отдельных перемещениях, совершенных за каждую секунду движения поезда. Значит, будем использовать вторую закономерность.
Модули векторов перемещений, совершенных поездом за каждую секунду, относятся как ряд последовательных нечетных чисел:
$s_1 : s_2 : s_3 = 1 : 3 : 5$.
Возьмем отсюда отношение $s_1$ к $s_3$:
$s_1 : s_3 = 1 : 5$ или
$\frac{s_1}{s_3} = \frac{1}{5}$.
Выразим отсюда модуль перемещения, совершенного за первую секунду движения, и рассчитаем его:
$s_1 = \frac{s_3}{5}$,
$s_1 = \frac{2 \space м}{5} = 0.4 \space м$.
Теперь запишем формулу для модуля перемещения $s_1$ и выразим из нее модуль ускорения:
$s_1 = \frac{a{t_1}^2}{2}$,
$a{t_1}^2 = 2s_1$,
$a = \frac{2s_1}{{t_1}^2}$.
Рассчитаем модуль этого ускорения:
$a = \frac{2 \cdot 0.4 \space м}{{1 \space с}^2} = 0.8 \frac{м}{с^2}$.
Ответ: $s_1 = 0.4 \space м$, $a = 0.8 \frac{м}{с^2}$.
Упражнение №2
Автомобиль, двигаясь равноускоренно из состояния покоя, за пятую секунду разгона проходит $6.3 \space м$. Какую скорость развил автомобиль к концу пятой секунды от начала движения?
Начальная скорость автомобиля была равна нулю. Равные промежутки времени, за которые мы будем рассматривать совершенные перемещения, равны $1 \space с$.
Дано:
$\upsilon_0 = 0$
$t_1 = 1 \space с$
$s_5 = 6.3 \space м$
$t_5 = 5 \space с$
$\upsilon_5 — ?$
Посмотреть решение и ответ
Скрыть
Решение:
Здесь мы говорим об отдельных перемещениях, совершенных за каждую секунду движения автомобиля. Значит, будем использовать вторую закономерность.
Модули векторов перемещений, совершенных автомобилем за каждую секунду, относятся как ряд последовательных нечетных чисел:
$s_1 : s_2 : s_3 : s_4 : s_5 = 1 : 3 : 5 : 7 : 9$.
Возьмем отсюда отношение $s_1$ к $s_5$:
$s_1 : s_5 = 1 : 9$ или
$\frac{s_1}{s_5} = \frac{1}{9}$.
Выразим отсюда модуль перемещения, совершенного за первую секунду движения, и рассчитаем его:
$s_1 = \frac{s_5}{9}$,
$s_1 = \frac{6.3 \space м}{9} = 0.7 \space м$.
Теперь запишем формулу для модуля перемещения $s_1$ и выразим из нее модуль ускорения. Он нам понадобится для того, чтобы рассчитать модуль скорости в конце пятой секунды от начала движения.
$s_1 = \frac{a{t_1}^2}{2}$,
$a{t_1}^2 = 2s_1$,
$a = \frac{2s_1}{{t_1}^2}$.
Рассчитаем модуль этого ускорения:
$a = \frac{2 \cdot 0.7 \space м}{{1 \space с}^2} = 1.4 \frac{м}{с^2}$.
А теперь мы можем записать формулу для модуля ускорения по определению:
$a = \frac{\upsilon_5 \space − \space \upsilon_0}{t_5}$.
Так как начальная скорость движения автомобиля равна нулю:
$a = \frac{\upsilon_5}{t_5}$.
Выразим отсюда скорость $\upsilon_5$ и рассчитаем ее:
$\upsilon_5 = at_5$,
$\upsilon_5 = 1.4 \frac{м}{с^2} \cdot 5 \space с = 7 \frac{м}{с}$.
Ответ: $\upsilon_5 = 7 \frac{м}{с}$.
Упражнение №3
Некоторое тело за первые $0.03 \space с$ движения без начальной скорости переместилось на $2 \space мм$, за первые $0.06 \space с$ — на $8 \space мм$, за первые $0.09 \space с$ — на $18 \space мм$. На основании известной вам закономерности докажите, что в течение всех $0.09 \space с$ тело двигалось равноускоренно.
Дано:
$t_1 = 0.03 \space с$
$s_1 = 2 \space мм$
$t_2 = 0.06 \space с$
$s_2 = 8 \space мм$
$t_3 = 0.09 \space с$
$s_3 = 18 \space мм$
Доказать:
$a = const$
Посмотреть доказательство
Скрыть
Доказательство:
В данном случае речь идет о промежутках времени, отсчитываемых с начала движения. Значит, для доказательства мы будем использовать первую закономерность: при увеличении промежутков времени, отсчитываемых от начала движения в целое число раз по сравнению с $t_1$, модули соответствующих векторов перемещений возрастают как ряд квадратов последовательных натуральных чисел.
Промежутки времени у нас действительно увеличиваются в целое число раз:
$t_1 = 0.03 \space с$,
$t_2 = 0.06 \space с = 2 \cdot 0.03 \space с = 2t_1$,
$t_3 = 0.09 \space с = 3 \cdot 0.03 \space с = 3t_1$.
Теперь посмотрим, как перемещения, совершенные за эти промежутки времени, относятся друг к другу:
$\frac{s_2}{s_1} = \frac{8 \space мм}{2 \space мм} = 4$,
$\frac{s_3}{s_1} = \frac{18 \space мм}{2 \space мм} = 9$.
Перепишем в другом виде:
$s_1 : s_2 : s_3 = 1 : 4 : 9$.
Правая часть этого равенства представляет собой ряд квадратов последовательных натуральных чисел. Значит, тело двигалась равноускоренно ($a = const$) в течение рассматриваемых $0.09 \space с$.
Часто задаваемые вопросы
$s_x = \frac{a_xt^2}{2}$ и $s = \frac{at^2}{2}$.
Модуль вектора перемещение тела увеличится в $n^2$ раз.
Модули соответствующих векторов перемещений возрастают как ряд квадратов последовательных натуральных чисел.
Модули векторов перемещений относятся друг к другу как ряд последовательных нечетных чисел.
Для определения того, является ли рассматриваемое движение равноускоренным или нет.
5
5
1
Оценить урок
Что можно улучшить?
Войдите, чтобы оценивать уроки
Что нужно исправить?
Отзыв отправлен. Спасибо, что помогаете нам стать лучше!
Для отправки комментария вам необходимо авторизоваться.
Хотите оставить комментарий?
Войти
Евгения Семешева
Медицинский физик, преподаватель физики средней и старшей школы.