Импульс тела. Закон сохранения импульса

В ходе изучения курса классической механики вы познакомились с тремя законами Ньютона (рисунок 1). С их помощью мы можем решить большинство задач, в которых говорится о движении тел. Зная действующие на тело силы, мы можем найти его ускорение, а затем определить и другие величины — скорость, перемещение и др.

Но порой мы сталкиваемся с ситуациями, когда изменяются не только координаты и скорости взаимодействующих тел, но и силы, действующие между ними. В таких случаях законов Ньютона для решения задачи будет недостаточно, нам понадобятся новые инструменты. Одним из таких инструментов станет для нас новая физическая величина — импульс тела.

На данном уроке мы познакомимся с определением этой физической величины, научимся ее рассчитывать, изучим закон сохранения импульса тела и начнем его использовать для решения задач.

Импульс тела: определение и формула

Начнем с определения импульса тела.

Импульс тела — это векторная физическая величина, равная произведению массы тела на его скорость:
$\vec p = m \vec \upsilon$.

Обратите внимание, что импульс является векторной величиной, так же как и скорость тела. Значит, направление импульса будет совпадать с направлением скорости тела (рисунок 2).

Само слово ‭«импульс» (от латинского impolsus) в переводе будет означать «толчок». Также, если вы встретите термин «количество движения», то речь тоже идет об импульсе тела.

Впервые эту физическую величину использовал Рене Декарт (рисунок 3). Он попытался заменить импульсом силу, действующую на тело.

Сделано это было из очевидных соображений: определить силу порой бывает достаточно трудно, а вот измерить массу и скорость тела, наоборот, обычно достаточно просто.

Далее мы свяжем эти две физические величины между собой: импульс тела и силу, действующую на это тело.

{"questions":[{"content":"Как обозначается вектор импульса тела?[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["$\\vec p$","$\\vec \\upsilon$","$\\vec a$","$\\vec s$"],"explanations":["","Это обозначение вектора скорости.","Это обозначение вектора ускорения.","Это обозначение вектора перемещения."],"answer":[0]}}}],"mix":1}

Единицы измерения импульса тела

Чтобы понять, в каких единицах измеряется импульс тела, обратимся к формуле, по которой его можно рассчитать: $\vec p = m \vec \upsilon$.

В СИ масса измеряется в $кг$, скорость — в $\frac{м}{с}$. Тогда $[p = 1 \frac{кг \cdot м}{с}]$.

{"questions":[{"content":"Импульс тела является [[fill_choice_big-10]] физической величиной.","widgets":{"fill_choice_big-10":{"type":"fill_choice_big","options":["векторной","скалярной","постоянной"],"answer":0}}}],"mix":1}

Формула проекций векторов для импульса тела

Теперь у нас есть формула импульса тела в векторном виде. При расчетах же мы используем проекции векторов. В это случае наша формула примет следующий вид:

$p_x = m \upsilon_x$.

{"questions":[{"content":"Модуль вектора импульса тела можно рассчитать по формуле [[fill_choice_big-13]].","widgets":{"fill_choice_big-13":{"type":"fill_choice_big","options":["$p = m \\upsilon$","$p = \\frac{m}{\\upsilon}$","$p = \\frac{\\upsilon}{m}$","$p = m \\upsilon^2$"],"answer":0}}}],"mix":1}

Изменение импульса тела и сила, действующая на это тело

Теперь давайте установим связь импульса тела и силы, действующей на это тело.
Вспомним первый закон Ньютона (рисунок 4).

Если на тело не действуют никакие силы (или их действие скомпенсировано), то оно будет или покоиться, или двигаться прямолинейно и с постоянной скоростью. Если скорость тела не изменяется, то не изменяется и его импульс.

Если $\vec \upsilon = const$, то $\vec p = const$.

Но если же скорость изменится, то изменится и импульс. А в каком случае у тела может измениться скорость? В том случае, если на тело действует сила. Значит, импульс тела можно изменить, приложив к этому телу некоторую силу.

{"questions":[{"content":"Если изменяется вектор скорости тела, то вектор импульса [[fill_choice_big-18]].","widgets":{"fill_choice_big-18":{"type":"fill_choice_big","options":["тоже будет изменяться","будет оставаться неизменным","станет равным нулю"],"answer":0}}}],"mix":1}

Пример изменения импульса тела

Теперь перенесем наши теоретические выводы на практику. Возьмем тележку массой $m$, которая имеет начальную скорость $\upsilon_0$. К тележку прикреплена веревка, перекинутая через блок (рисунок 5). На конце этой веревки подвешен груз. Под действием силы тяжести, действующей на груз, тележка будет двигаться. Эта сила $\vec F$ будет постоянной, тележка будет постепенно разгоняться (двигаться с ускорением $\vec a$).

Возьмем небольшой промежуток времени $\Delta t$ всего этого действия и посмотрим, как и на сколько изменится импульс тележки.

В данном приближении мы будем пренебрегать силой сопротивления воздуха $\vec F_с$. Сила тяжести тележки $\vec F_{тяж}$ и сила реакции опоры $\vec N$ будут компенсировать друг друга.

Итак, по второму закону Ньютона:
$\vec F = m \vec a$.

Ускорение по определению:
$\vec a = \frac{\vec \upsilon \space − \space \vec \upsilon_0}{\Delta t}$.

Подставим это выражение в формулу второго закона Ньютона:
$\vec F = m \frac{\vec \upsilon \space − \space \vec \upsilon_0}{\Delta t}$,
$\vec F \Delta t = m \vec \upsilon \space − \space m \vec \upsilon_0$.

В правой части полученного уравнения мы видим импульс тела ($\vec p = m \vec \upsilon$) и начальный импульс тела ($\vec p_0 = m \vec \upsilon_0$):
$\vec F \Delta t = \vec p \space − \space \vec p_0$.

Теперь правая часть представляет собой не что иное, как изменение импульса:
$\Delta \vec p = \vec p \space − \space \vec p_0$.

Тогда получается, что $\Delta \vec p = \vec F \Delta t$. Это и есть закон изменения импульса.

{"questions":[{"content":"Чему равно изменение вектора импульса тела $\\Delta \\vec p$?[[choice-21]]","widgets":{"choice-21":{"type":"choice","options":["$\\Delta \\vec p = \\vec F \\Delta t$","$\\Delta \\vec p = \\vec F t_0$","$\\Delta \\vec p = \\frac{\\vec F}{\\Delta t}$","$\\Delta \\vec p = \\vec F \\Delta t$","$\\Delta \\vec p = m \\vec \\upsilon$"],"explanations":["","","","","В правой части равенства находится определение вектора импульса тела, а не его изменение."],"answer":[0]}}}],"mix":1}

Закон изменения импульса тела

Изменение импульса тела равно произведению силы (или равнодействующей всех сил, приложенных к телу) и времени действия этой силы:
$\Delta \vec p = \vec F \Delta t$.

Произведение силы на время ее действия называется импульсом силы. Эта физическая величина встретится нам позже.

{"questions":[{"content":"Чем дольше на тело действует сила, тем [[fill_choice_big-27]] изменяется импульс этого тела.","widgets":{"fill_choice_big-27":{"type":"fill_choice_big","options":["больше","меньше"],"answer":0}}}],"mix":1}

Изменение импульсов тел при их взаимодействии

Импульс тела изменяется не только при изменении скорости тела (приложении к телу силы), но и при взаимодействии между собой двух и более тел.

Рассмотрим простой опыт, чтобы в этом убедиться. Возьмем два шарика одинаковых шарика: $m_1 = m_2 = m$. Подвесим их на нитях одинаковой длины, как указано на рисунке 6.

Теперь возьмем и отклоним шарик 1 от вертикали на угол $\alpha$ и отпустим его (рисунок 7, а). Шарик возвращается в исходное положение, ударяется о шарик 2 и останавливается. В этот момент шарик 2 от удара приходит в движение. Он отклонился от вертикали на тот же угол $\alpha$ (рисунок 7, б).

Получается, что в результате такого взаимодействия изменились импульса обоих шариков. Импульс шарика 2 увеличился на столько, на сколько уменьшился импульса шарика 1.

Дальнейшие соударения шариков нас не интересуют. Да, постепенно угол отклонения от вертикали будет уменьшаться из-за действия сил сопротивления, но мы рассматривали только начало этого процесса (первое соударение).

{"questions":[{"content":"Если при взаимодействии тел изменяются их скорости, то их импульсы [[fill_choice_big-30]].","widgets":{"fill_choice_big-30":{"type":"fill_choice_big","options":["тоже изменяются","остаются неизменными"],"answer":0}}}],"mix":1}

Закон сохранения импульса

Перед тем, как сформулировать закон сохранения импульса, нам необходимо упомянуть о замкнутости системы, в которой рассматривается взаимодействие тел.

Замкнутая система

Замкнутая система тел — это тела, которые взаимодействуют только между собой, то есть не подвергаются воздействию никаких внешних сил.

Обратите внимание, что сами импульсы тел, входящих в замкнутую систему, могут меняться в результате их взаимодействия, но вот их сумма будет оставаться неизменной.

{"questions":[{"content":"В замкнутой системе на тела [[fill_choice_big-32]].","widgets":{"fill_choice_big-32":{"type":"fill_choice_big","options":["не действуют никакие внешние силы","не действуют никакие внутренние силы","могут действовать внешние силы"],"answer":0}}}],"mix":1}

Формулировка закона сохранения импульса

Векторная сумма импульсов тел, составляющих замкнутую систему, не меняется с течением времени при любых движениях и взаимодействиях этих тел.

{"questions":[{"content":"В замкнутой системе тел векторная сумма их импульсов [[fill_choice_big-36]].","widgets":{"fill_choice_big-36":{"type":"fill_choice_big","options":["остается неизменной","уменьшается с течением времени","увеличивается с течением времени"],"answer":0}}}],"mix":1}

Вывод закона сохранения импульса

А теперь давайте проверим верность наших суждений. Проверим, как выполняется закон сохранения импульса в том случае, если на тела действуют внешние силы, векторная сумма которых равна нулю.

Возьмем систему из двух тел. Пусть два шара массами $m_1$ и $m_2$ движутся навстречу друг другу со скоростями $\vec \upsilon_1$ и $\vec \upsilon_2$ (рисунок 8).

Мы не будем учитывать силы тяжести, действующие на шары, и силы упругости поверхности (реакции опоры), потому что они будут уравновешивать друг друга. Силами сопротивления воздуха будем пренебрегать из-за того, что они слишком малы и не окажут значительного влияния на расчеты.

Итак, шары движутся навстречу друг другу. Через некоторое время они столкнутся. Само столкновение и будет являться взаимодействием. То есть во время очень короткого промежутка времени $\Delta t$ возникнут силы взаимодействия $\vec F_1$ и $\vec F_2$. Эти силы соответственно приложены к первому и второму шару.

В результате действия этих сил, изменятся скорости шаров. Скорость первого шара будет равна $\vec \upsilon_1’$, а скорость второго — $\vec \upsilon_2’$ (рисунок 9).

По третьему закону Ньютона силы взаимодействия шаров будут равны по модулю и направлены в противоположные стороны:
$\vec F_1 =  −\vec F_2$.

По второму закону Ньютона распишем силы:
$\vec F_1 = m_1 \vec a_1$,
$\vec F_2 = m_2 \vec a_2$.

Подставим в третий закон Ньютона:
$ m_1 \vec a_1 = − m_2 \vec a_2$.

Ускорения по определению:
$\vec a_1 = \frac{\vec \upsilon_1’ \space − \space \vec \upsilon_1}{\Delta t}$,
$\vec a_2 = \frac{\vec \upsilon_2’ \space − \space \vec \upsilon_2}{\Delta t}$.

Подставим эти выражения в третий закон Ньютона:
$ m_1 \frac{\vec \upsilon_1’ \space − \space \vec \upsilon_1}{\Delta t} = − m_2 \vec \frac{\vec \upsilon_2’ \space − \space \vec \upsilon_2}{\Delta t}$.

Проводим нехитрые математические манипуляции — сокращаем обе части равенства на $\Delta t$. Получаем:
$m_1 (\vec \upsilon_1’ \space − \space \vec \upsilon_1) = − m_2 (\vec \upsilon_2’ \space − \space \vec \upsilon_2)$.

Открываем скобки:
$m_1 \vec \upsilon_1’ \space − \space m_1 \vec \upsilon_1 = − m_2 \vec \upsilon_2’ \space + \space m_2 \vec \upsilon_2$.

Перегруппируем члены этого уравнения так, чтобы с одной стороны у нас были скорости после взаимодействия, а с другой стороны — до взаимодействия:
$m_1 \vec \upsilon_1’ \space + \space m_2 \vec \upsilon_2’ = m_1 \vec \upsilon_1 \space + \space m_2 \vec \upsilon_2$.

Импульс тела по определению равен произведению его массы на скорость. Значит, мы снова можем переписать полученное равенство:
$\vec p_1’ \space + \space \vec p_2’ = \vec p_1 \space + \space \vec p_2$.

Здесь мы видим, что левая часть уравнения — это суммарный импульс шаров после их взаимодействия, а правая часть — это суммарный импульс шаров до их взаимодействия (столкновения). Теперь мы можем сделать вывод.

Несмотря на то, что импульс каждого из шаров при взаимодействии изменяется, векторная сумма их импульсов после взаимодействия остается такой же, как и до взаимодействия.

{"questions":[{"content":"Куда всегда направлен вектор импульса тела?[[choice-39]]","widgets":{"choice-39":{"type":"choice","options":["Сонаправлен вектору скорости тела","направлен противоположно вектору скорости тела","сонаправлен вектору силы тяжести, действующей на тело"],"answer":[0]}}}],"mix":1}

Математическая запись закона сохранения импульса

Два последних полученных нами уравнения называют математической записью закона сохранения импульса.

$m_1 \vec \upsilon_1’ \space + \space m_2 \vec \upsilon_2’ = m_1 \vec \upsilon_1 \space + \space m_2 \vec \upsilon_2$,
$\vec p_1’ \space + \space \vec p_2’ = \vec p_1 \space + \space \vec p_2$.

На данный момент мы будем рассматривать только такое взаимодействие тел, где они движутся по одной прямой. В этом случае нам понадобится закон сохранения импульса в скалярной форме, куда будут входить проекции векторных величин на ось OX:
$m_1 \upsilon_{1x}’ \space + \space \upsilon_{2x}’ = m_1 \upsilon_{1x} \space + \space m_2 \upsilon_{2x}$.

{"questions":[{"content":"Закон сохранения импульса гласит, что векторная сумма импульсов тел, составляющих [[fill_choice-43]] систему, [[fill_choice-47]] с течением времени при любых движениях и взаимодействиях этих тел.","widgets":{"fill_choice-43":{"type":"fill_choice","options":["замкнутую","незамкнутую"],"answer":0},"fill_choice-47":{"type":"fill_choice","options":["не меняется","изменяется"],"answer":0}}}],"mix":1}

Упражнения

Упражнение № 1

Две игрушечные заводные машинки, массой по $0.2 \space кг$ каждая, движутся прямолинейно навстречу друг другу. Скорость каждой машинки относительно земли равна $0.1 \frac{м}{с}$. Равны ли векторы импульсов машинок? Модули векторов импульсов? Определите проекцию импульса каждой из машинок на ось OX, параллельную их траектории.

Дано:
$m_1 = m_2 = m = 0.2 \space кг$
$\upsilon_1 = \upsilon_2 = \upsilon = 0.1 \frac{м}{с}$
$\vec \upsilon_1 = − \vec \upsilon_2$

$p_{1x} — ?$
$p_{1x} — ?$

Посмотреть решение и ответ

Скрыть

Решение:

Машинки движутся с одинаковыми по модулю скоростями, но разными по направлению. Поэтому проекция вектора скорости первой машинки на ось OX будет равна:
$\upsilon_{1x} = \upsilon = 0.1 \frac{м}{с}$.

Проекция вектора скорости второй машинки:
$\upsilon_{2x} = \upsilon = −0.1 \frac{м}{с}$.

Вектор импульса первой машинки:
$\vec p_1 = m \vec \upsilon_1$.
Вектор импульса второй машинки:
$\vec p_2 = m \vec \upsilon_2$.

Векторы импульсов машинок не равны друг другу, так как имеют разное направление (рисунок 10). Модули этих векторов будут равны, так как массы машинок и модули их скоростей равны между собой.

Теперь рассчитаем проекции импульсов на ось OX. Для первой машинки:
$p_{1x} = m \upsilon_{1x}$,
$p_{1x} = 0.2 \space кг \cdot 0.1 \frac{м}{с} = 0.02 \frac{кг \cdot м}{с}$.

Проекция вектора импульса для второй машинки:
$p_{2x} = m \upsilon_{2x}$,
$p_{2x} = 0.2 \space кг \cdot −0.1 \frac{м}{с} = −0.02 \frac{кг \cdot м}{с}$.

Ответ: $p_{1x} = 0.02 \frac{кг \cdot м}{с}$, $p_{2x} = −0.02 \frac{кг \cdot м}{с}$.

$\Delta p — ?$

Посмотреть решение и ответ

Скрыть

Упражнение № 3

Человек сидит в лодке, покоящейся на поверхности озера. В какой-то момент он встает и идет с кормы на нос. Что произойдет при этом с лодкой? Объясните явление на основе закона сохранения импульса.

Посмотреть ответ

Скрыть

Упражнение № 4

Железнодорожный вагон массой $35 \space т$ подъезжает к стоящему на том же пути неподвижному вагону массой $28 \space т$ и автоматически сцепляется с ним. После сцепки вагоны движутся прямолинейно со скоростью $0.5 \frac{м}{с}$. Какова была скорость вагона массой $35 \space т$ перед сцепкой?

$\upsilon_1 — ?$

Посмотреть решение и ответ

Скрыть

Часто задаваемые вопросы