0 0 0
Личный кабинет Войти Регистрация
Уроки
Математика Алгебра Геометрия Физика Всеобщая история Русский язык Английский язык География Биология Обществознание
Тренажёры
Математика ЕГЭ Тренажёры для мозга

Закон сохранения энергии. Полная энергия системы

Содержание

    Отрицать связь кинетической и потенциальной энергий на данном этапе просто невозможно. Складывается ощущение, что одно словно превращается в другое, и наоборот. Но насколько это все-таки соответствует действительности? Сегодня в программе — закон сохранения энергии, понятными словами. Даже по пути обсудим нечто необычное под названием «консервативные силы»!

    Закон сохранения энергии: предисловие о котиках

    Чтобы понять, почему превращение энергии имеет место быть, обратимся к пикантному вычислительному эксперименту.

    Скажем, что к вертолетной площадке, расположенной на крыше дома, подлетает воздушное кото-такси. Пилот тем временем зависает на расстоянии $10~м$ от вертолета до платформы. Усатый пассажир готовится к выходу. Не переживайте: наш котик может беспрепятственно и безопасно спрыгнуть хоть с высоты двадцатого этажа. На то он и клиент кото-такси.  

    Масса котика — $4~$ кг. Условимся, что его начальная скорость $\upsilon_0$ составляет ноль/ Rотик не прыгал, а просто, так сказать, вышел из транспортного средства без прыжка. Чему же будет равна его кинетическая энергия в момент приземления?

    По формуле кинетическая энергия равна:
    $$E_K=\frac{mv^2}{2}$$

    Чтобы посчитать значение энергии, необходимо найти скорость в последний момент перед самим приземлением. Котик двигается равноускорено, с ускорением свободного падения $g$. Поэтому его скорость определяется следующей формулой:
    $$\upsilon = \upsilon_0 + gt$$

    Поскольку начальная скорость $\upsilon_0$ равна нулю, нам остается только найти время, за которое котик достигнет земли с высоты $10~м$. Путь при равноускоренном движении вычисляется по формуле:
    $$s=\upsilon_0 t+\frac{gt^2}{2}$$

    У нас есть значение пути, но нет значения времени. Значит, мы можем через формулу пути выразить время, подставить его в формулу скорости, а после уже рассчитать значение энергии. Выполним подстановки:
    $$t=\sqrt{\frac{2s}{g}}\\\upsilon=g\sqrt{\frac{2s}{g}}$$

    Возводим скорость в квадрат, умножаем на массу и делим полученное значение на два (ускорение свободного падения $g$ для удобства примем за $10~м/с$):
    $$E_K=\frac{m(g\sqrt{\frac{2s}{g}})^2}{2}=400~Дж$$

    Интересно, а чему же тогда равняется потенциальная энергия в точке выхода из вертолета? Давайте воспользуется формулой с прошлого урока и вычислим:
    $$E_П=mgh=4~кг\cdot10~м/с\cdot 10~м=400~Дж$$

    Выходит, $E_П$ в начале спуска равняется $E_К$ в момент приземления на вертолетную площадку. Значения совершенно идентичные, ровно по четыреста джоулей.

    Ну, определенно точно нужно во всем разбираться!..

    Превращение энергии

    Вызвать кото-такси возможным не представляется, поэтому обратимся к опыту. Возьмем простой баскетбольный мяч и выйдем с ним на игровую площадку. Поднимем мяч на некоторую отметку и зафиксируем высоту у стены. Мяч, ударившись о поверхность, отскачет вверх. И если внимательно присмотреться к тому, на какую отметку вновь он поднимется, наш энергический паззл сложится воедино.

    1.  Пусть мяч начинает движение с отметки $1~м$. Постепенно разгоняясь, тело развивает максимальную скорость в точке соприкосновения с поверхностью. Очевидно, конечная скорость зависит от выбранной нами высоты. Чем выше было поднято тело, тем больше пути оно сможет пройти. Как следствие — развить большую скорость.  

    2. Мяч ударяется о поверхность. Он начинает движение в противоположную сторону — вверх. Сообщив мячу потенциальную энергию, мы приводим его тем самым в движение. Это значение постепенно уменьшается, с пройденным путем. Наверх поднимается тело за счет того, что в конечной точке потенциальная энергия $mgh$ полностью переходит в кинетическую $\frac{m \upsilon^2}{2}$.

    Высота превратилась в скорость.

    3. Движение вверх также представляет собой «обмен» энергиями. Когда потенциальная энергия полностью переходит в кинетическую, мяч опять придет в движение. Просто в противоположную сторону. И заметить мы можем, что он остановится как раз напротив зафиксированной отметки $1~м$.

    Ну, практически напротив. Кинетическая энергия $\frac{m \upsilon^2}{2}$ опять перешла в потенциальную $mgh$. Скорость превратилась в высоту.

    Самое главное: сколько потенциальной энергии мы сообщили телу, столько же кинетической получили в конце падения, ведь только при условии, что энергии равнозначны, мяч бы смог вновь подняться, отскакивая от площадки, на отметку $1~м$.

    «Со звездочкой»: превращение энергии и математическое доказательство

    Для интереса рассмотрим изменение кинетической и потенциальной энергии системы, где тело имеет некую начальную скорость $v_0$.

    Тогда вместо того, чтобы тело сбрасывать, подбросим его вверх. При подъеме, так как тело двигается только под ускорением свободного падения, его скорость убывает по закону $\upsilon= \upsilon_0-gt$. Мы сообщаем телу некоторое значение кинетической энергии и это значение так же, как скорость, убывает, изменяясь по закону:

    $$E_K=\frac{m \upsilon^2}{2}= \frac{m(\upsilon_0-gt)^2}{2}=\frac{m(\upsilon_0^2-2 \upsilon_0gt+g^2t^2)}{2}$$

    Мы воспользовались формулой квадрата разницы
    $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$

    Раскроем скобки:

    $$E_K=\frac{m \upsilon_0^2}{2}-m \upsilon_0gt+\frac{mg^2t^2}{2}$$

    Сканируем полученную формулу и видим, что $\frac{m \upsilon_0^2}{2}$ — это начальная кинетическая энергия нашего тела, $E_{K_0}$. $E_K$ — это значение кинетической энергии в момент времени $t$. Перенесем $E_{K_0}$ в левую часть уравнения и умножим обе части на $-1$:

    $$E_K- E_{K_0}=-\Delta{E_K}=m \upsilon_0gt-\frac{mg^2t^2}{2}$$

    Примечание: мы умножили обе части уравнения на $-1$, чтобы выразить убывание кинетической энергии.

    Итого, под $-\Delta{E_K}$ мы получили убыль кинетической энергии за время $t$ при подъеме тела наверх. К вопросу о подъемах, то есть о высоте, на которую поднимется тело, это — пройденный путь, определяемый формулой:

    $$h=s=v_0t-\frac{gt^2}{2}$$

    Прирост потенциальной энергии, как следствие, определяется следующим образом (пользуемся подстановкой $h$ в формулу потенциальной энергии $mgh$):

    $$\Delta{E_П}=mgh=m \upsilon_0gt-\frac{mg^2t^2}{2}$$

    Полная энергия и промежуточные выводы

    Если сопоставить выведенные соотношения для $\Delta{E_П}$ и $\Delta{E_K}$, то видим, что прирост потенциальной энергии за время $t$ всегда равняется убыли потенциальной энергии за то же время $t$.

    Следовательно, делаем вывод, что, двигаясь, тело «расходует» свою потенциальную энергию на приращение кинетической энергии. Либо наоборот: при подъеме, кинетическая энергия превращается в потенциальную. Энергия движения «расходуется» на подъем.

    Пояснение: сколько кинетической энергии убавилось, столько приросло потенциальной. Обратная зависимость убытка потенциальной энергии и прироста кинетической энергии работает аналогично.

    Полная механическая энергия системы

    Раз убыток или прирост одного вида энергии равен приросту или убытку другого вида энергии, в зависимости от вида движения, говорить можно о том, что сумма энергий механической системы остается величиной постоянной в любой точке. Энергии обмениваются меж собой, меняя характер движения тела.

    Математически подобное свойство записывается так:

    $$E_{мех}=E_K+E_П=const,$$
    где $E_{мех}$ — полная механическая энергия.

    Так, накопив определенный запас потенциальной энергии, мы видим, как постепенно мяч падает, развивает скорость, то есть превращает запас в скорость. Скорость вновь переходит в запас, когда при взаимодействии с землей изменяется вектор движения — тело поднимается за счет перехода кинетической энергии обратно в потенциальную.

    Аналогия. Вы обменяли доллары на рупии на рынке валют. Значения будут разными, но финансовая ценность останется одинаковой. Вы не можете получить при обмене денег больше, чем дали.

    А если выбрать любую точку и сложить значения энергий, они будут оставаться постоянными, даже когда мы выберем еще одну произвольную точку. Все равно получим то же значение.

    Полная энергия: определение

    Иными словами:

    Движение вниз с отметки $h$, при $v_0=0$Движение вверх с отметки $h=0$, при некоей начальной $v_0>0$
    Тело приходит в движение под действием силы тяжести. Стартовая энергия механической системы равняется потенциальной энергии на высоте h. Тело падает, высота уменьшается, потенциальная энергия снижается, но она никуда не девается. Она превращается в скорость, в кинетическую энергию. Ровно сколько убыло потенциальной энергии, столько прибыло кинетической. Сумма энергий постоянна.Тело приходит в движение под действием сторонней силы, сообщающей ему стартовую кинетическую энергию. Тело двигается, начинает постепенно набирать высоту, кинетическая энергия уменьшается, но вместе с тем увеличивается потенциальная энергия. Ровно сколько убыло кинетической энергии, столько прибыло потенциальной. Вновь: сумма энергий в любой точке постоянна.

    Подняться выше возможного тело не может, только если мы не сообщим дополнительную энергию. Поэтому сумма значений всегда находится в пределе стартовой энергии.

    Теперь мы готовы дать определение:

    Полная механическая энергия тела — сумма потенциальной и кинетической энергии, которая остается постоянной при условии, что система замкнута.

    Звучит, как нечто похожее на именитый «закон сохранения энергии», верно?

    Закон сохранения в замкнутой системе

    Однако подождите. Интересен прежде пункт про замкнутость системы.

    Хм. В наших абстрактных примерах и размышлениях мы все время представляли, что тело возвращается в «точку старта». Но вот если бы в реальности энергия никуда не «выливалась» из системы, баскетбольный мяч бы бесконечно прыгал туда-сюда. А он, явно, прыгает не до бесконечности, постепенно уменьшая размах прыжка. Начал с $1~м$, отскочил и вернулся на отметку чуть пониже метра, через круг — еще чуть ниже. И так до полной остановки.

    Выходит, что полная механическая энергия постоянной быть не может — она понемногу убывает. И причина кроется в том, что не всякая сила, возникающая внутри системы, говоря условно, благотворно влияет на движение. Взять, к примеру, силу тяжести. Или силу упругости. Они «помогают» телу двигаться. Даже если их вектор направлен против вектора движения, обязательно приходит момент, когда кинетическая энергия полностью переходит в потенциальную. Тогда эти силы «возвращают» то, что взяли, в том же объеме.

    Закон сохранения энергии: консервативные силы и диссипативные силы

    Такие силы называются консервативными. К сожалению, мы пока не готовы дать им строгое определение, поэтому выразимся понятными нам терминами:

    Консервативные силы (от лат. ‘conservare’ — «сохранять») — силы, работа против которых не изменяет количество полной механической энергии тела.

    Разумеется, природа синоним гармонии, и консервативные силы — это не финиш. Всегда есть антитеза. Между телами непременно возникает сила трения, на работу против которой всегда приходится тратить какое-то количество энергии.

    Такие силы называются диссипативными:

    Диссипативные силы (от лат. ‘dissipare’ — «рассеиваться») — силы, работа против которых изменяет количество полной механической энергии тела.

    Уменьшение размаха прыжка мяча происходит из-за того, что его окружает воздух, и молекулы воздуха так или иначе постоянно «трутся» о поверхность мяча, что замедляет его движение. Силы упругости, при столкновении с поверхностью, заставляют молекулы внутри мяча двигаться. Температура тела растет. А нагрев, в том числе, расходует механическую энергию.

    Это интересно: вечный двигатель

    Ах, если бы!

    Если бы в этом мире была возможность создать систему, внутри которой действуют исключительно консервативные силы, то у человечества бы существовал вечный двигатель. Вообще, вечный двигатель — это воображаемое устройство, что единожды запущенное, не прекращает совершать полезную работу. Он, соответственно, умеет в полном объеме сохранять изначально переданную ему энергию и не расходует ее на работу против диссипативных сил. Потому что они там попросту не возникают.

    Закон сохранения энергии в его идеальном воплощении… Однако для этого нужно соблюсти три нереальных условия:

    • Никаких шероховатостей, даже микроскопических! Сила трения между деталями приводит к потере энергии. Значит, нужны идеально гладкие поверхности.
    • Долой воздух! Сила трения также возникает при взаимодействии молекул воздуха с поверхностью деталей. Хоть и работа против воздуха крайне мала, энергия, как бы оно ни было, убывает.
    • Полная тишина! Устройство не должно воспроизводить вообще никаких звуков, ибо звук — одна из форм передачи энергии. Но новости тут хорошие: проблема эта решается вакуумом, так как в нем звук не распространяется.

    Жаль, что идеального вакуума, ровно, как идеально гладких поверхностей, не существует. От диссипативных сил не спрятаться и не скрыться. Они есть причина, почему вечный двигатель в условиях физики Земли невозможен.

    Теоретическое представление вечного двигателя.

    Закон сохранения энергии

    В школьном курсе теоретической физики по большей части диссипативными силами пренебрегают. Только консервативные силы, только хардкор. А раз мы можем позволить себе представить, что их нет, то есть представить замкнутость механической системы, то, возвращаясь к пункту о полной энергии системы, мы можем словесно переиграть частный случай о постоянстве суммы энергий.

    Есть система, внутрь которой сообщается некоторое количество энергии. Эта энергия начинает в границах системы циркулировать, закольцованно преобразовываюсь из одного вида в другой. Работа против диссипативных сил не совершается — да, у нас все идеальное, ни воздуха, ни трения. Следовательно, энергия сохраняется в том числовом значении, в котором она впервые была передана системе.

    Фактически, полная механическая энергия системы $E_K+E_П$ не постоянна. Но если списать со счетов потери на трение, эта сумма действительно является константой.

    Так что выражение $E_{мех}=E_K+E_П=const$ — это частный случай полной механической энергии, который называется «принцип сохранения энергии». Иногда его называют «закон сохранения энергии». И гласит он следующее:

    В замкнутой системе, то есть той, где действуют только консервативные силы, суммарная величина энергии всегда остается постоянной.

    Тот самый закон сохранения энергии. Ничто из ниоткуда не берется и в никуда не уходит. Визитная карточка физики, знакомая хоть библиотекарю, ничего тяжелее арифметики в руках не державшему, хоть восьмилетнему ребенку. И получается, что каждый рассмотренный нами на уроке пример все время касался этого принципа.

    Можете прямо сейчас все перечитать с нуля и проверить. Мы прошли по кольцу и вернулись в точку старта.

    Ха, даже повествование урока своеобразно соблюдает закон сохранения энергии!

    Задача на принцип сохранения энергии

    Знакомство наше с законом, конечно, шапочное. Насколько позволяет математическая база и смежные темы физики. Однако знакомство достаточное, чтобы вы, уже далее перейдя к программе восьмого класса, могли смотреть на ряд вещей под другим углом. А дабы закрепить, попробуйте решить простенькую задачу.  

    Условие. Полная механическая энергия тела равна 0,8 кДж. Чему равна его кинетическая энергия, когда потенциальная составляет 250 Дж? Принять, что система изолирована.

    Показать решение

    Скрыть решение

    Если система изолирована, то сумма кинетической и потенциальной энергии остается на любом отрезке пути постоянной. Значит, когда потенциальная энергия равняется $250~Дж$, можно говорить о том, что кинетическая равна полной сумме энергий, за вычетом потенциальной.

    Полная механическая энергия равняется:
    $$E_{мех}=E_К+E_П=0,8~кДж$$

    Не забываем про стандартизацию единиц измерения. В СИ $0,8~кДж$ — это $800~Дж$. Остается выразить из уравнения выше потенциальную энергию и подставить имеющиеся в условии значения.

    Считаем:
    $$E_K=E_{мех}-E_П=800-250=550~Дж$$

    Выводы

    Надеемся, миссия «закон сохранения энергии понятными словами» удалась.

    В целом, энергия не стоит на месте. Она переходит из одной формы в другую. За живым примером можете как-нибудь выбраться на гидроэлектростанцию и посмотреть, как все это происходит в режиме реального времени, а не на абстрактных мячах.

    Безусловно, принцип сохранения энергии и реальная жизнь не совместимы. Но это не мешает человечеству конструировать системы, в которых энергии видоизменяются. Так, поднятая над нулевым уровнем вода обладает запасом потенциальной энергии, которая при падении дает достаточную кинетическую энергию, чтобы вращать турбину и вырабатывать электричество.

    А вы задумайтесь: потенциальная энергия переходит в кинетическую; та в свою очередь переходит в энергию вращения; энергия вращения переходит в электроэнергию. Дома мы превращаем электроэнергию, к примеру, в хорошо проведенное время за компьютером.

    Жаль, что цикл жизни энергии так или иначе заканчивается. Ведь существуют не только консервативные силы. Энергия превращается в конечном итоге в тепло, которое рассеивается в атмосфере. Ну, шуточно заметить, энергия не заканчивается только в теоретических задачах по физике.

    Но нет, убывая, она не исчезает в никуда.

    Она просто обретает формы, что мы более не можем уловить.

    5
    5
    5Количество опыта, полученного за урок

    Оценить урок

    Спасибо, что помогаете нам стать лучше!

    Комментарии
    Получить ещё подсказку

    Трудности? Воспользуйтесь подсказкой

    Верно! Посмотрите пошаговое решение