Закон сохранения энергии. Полная энергия системы

Отрицать связь кинетической и потенциальной энергий на данном этапе просто невозможно. Складывается ощущение, что одно словно превращается в другое и наоборот. Но насколько это все-таки соответствует действительности? Сегодня в программе — закон сохранения энергии, понятными словами. Даже по пути обсудим нечто необычное под названием консервативные силы!

Закон сохранения энергии: предисловие о котиках

Чтобы понять, почему превращение энергии имеет место быть, обратимся к пикантному вычислительному эксперименту.

Скажем, что к вертолетной площадке, расположенной на крыше дома, подлетает воздушное кототакси. Пилот тем временем зависает на расстоянии $10~м$ от вертолета до платформы. Усатый пассажир готовится к выходу. Не переживайте: наш котик может беспрепятственно и безопасно спрыгнуть хоть с высоты двадцатого этажа. На то он и клиент кототакси.  

Масса котика — $4~$ кг. Условимся, что его начальная скорость $\upsilon_0$ составляет ноль. Котик не прыгал, а просто, так сказать, вышел из транспортного средства без прыжка. Чему же будет равна его кинетическая энергия в момент приземления?

По формуле кинетическая энергия равна:
$E_к=\frac{m \upsilon^2}{2}$.

Чтобы посчитать значение энергии, необходимо найти скорость в последний момент перед самим приземлением. Котик двигается равноускорено, с ускорением свободного падения $g$. Поэтому его скорость определяется следующей формулой:
$\upsilon = \upsilon_0 + gt$.

Поскольку начальная скорость $\upsilon_0$ равна нулю, нам остается только найти время, за которое котик достигнет земли с высоты $10~м$. Путь при равноускоренном движении вычисляется по формуле:
$s=\upsilon_0 t+\frac{gt^2}{2}$.

У нас есть значение пути, но нет значения времени. Значит, мы можем через формулу пути выразить время, подставить его в формулу скорости, а после уже рассчитать значение энергии. Выполним подстановки:
$t=\sqrt{\frac{2s}{g}}\\\upsilon=g\sqrt{\frac{2s}{g}}$.

Возводим скорость в квадрат, умножаем на массу и делим полученное значение на два (ускорение свободного падения $g$ для удобства примем за $10~м/с$):
$E_к=\frac{m(g\sqrt{\frac{2s}{g}})^2}{2}=400~Дж$.

Интересно, а чему же тогда равняется потенциальная энергия в точке выхода из вертолета? Давайте воспользуется формулой с прошлого урока и вычислим:
$E_п=mgh=4~кг\cdot10~м/с\cdot 10~м=400~Дж$.

Выходит, $E_п$ в начале спуска равняется $E_к$ в момент приземления на вертолетную площадку. Значения совершенно идентичные, ровно по четыреста джоулей.

Ну, определенно точно нужно во всем разбираться!..

Превращение энергии

Вызвать кототакси возможным не представляется, поэтому обратимся к опыту. Возьмем простой баскетбольный мяч и выйдем с ним на игровую площадку. Поднимем мяч на некоторую отметку и зафиксируем высоту у стены. Мяч, ударившись о поверхность, отскачет вверх. И если внимательно присмотреться к тому, на какую отметку вновь он поднимется, наш энергический пазл сложится воедино.

1.  Пусть мяч начинает движение с отметки $1~м$. Постепенно разгоняясь, тело развивает максимальную скорость в точке соприкосновения с поверхностью. Очевидно, конечная скорость зависит от выбранной нами высоты. Чем выше было поднято тело, тем больше пути оно сможет пройти. Как следствие — развить большую скорость.  

2. Мяч ударяется о поверхность. Он начинает движение в противоположную сторону — вверх. Сообщив мячу потенциальную энергию, мы приводим его тем самым в движение. Это значение постепенно уменьшается, с пройденным путем. Наверх поднимается тело за счет того, что в конечной точке потенциальная энергия $mgh$ полностью переходит в кинетическую $\frac{m \upsilon^2}{2}$.

Высота превратилась в скорость.

3. Движение вверх также представляет собой «обмен» энергиями. Когда потенциальная энергия полностью переходит в кинетическую, мяч опять придет в движение. Просто в противоположную сторону. И заметить мы можем, что он остановится как раз напротив зафиксированной отметки $1~м$.

Ну, практически напротив. Кинетическая энергия $\frac{m \upsilon^2}{2}$ опять перешла в потенциальную $mgh$. Скорость превратилась в высоту.

Самое главное: сколько потенциальной энергии мы сообщили телу, столько же кинетической получили в конце падения, ведь только при условии, что энергии равнозначны, мяч бы смог вновь подняться, отскакивая от площадки, на отметку $1~м$.

«Со звездочкой»: превращение энергии и математическое доказательство

Для интереса рассмотрим изменение кинетической и потенциальной энергии системы, где тело имеет некую начальную скорость $\upsilon_0$.

Тогда вместо того, чтобы тело сбрасывать, подбросим его вверх. При подъеме, так как тело двигается только под ускорением свободного падения, его скорость убывает по закону $\upsilon= \upsilon_0-gt$. Мы сообщаем телу некоторое значение кинетической энергии и это значение так же, как скорость, убывает, изменяясь по закону:

$E_к=\frac{m \upsilon^2}{2}= \frac{m(\upsilon_0-gt)^2}{2}=\frac{m(\upsilon_0^2-2 \upsilon_0gt+g^2t^2)}{2}$.

Мы воспользовались формулой квадрата разницы
$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$.

Раскроем скобки:
$E_к=\frac{m \upsilon_0^2}{2}-m \upsilon_0gt+\frac{mg^2t^2}{2}$.

Сканируем полученную формулу и видим, что $\frac{m \upsilon_0^2}{2}$ — это начальная кинетическая энергия нашего тела, $E_{к_0}$. $E_к$ — это значение кинетической энергии в момент времени $t$. Перенесем $E_{к_0}$ в левую часть уравнения и умножим обе части на $-1$:

$E_к- E_{к_0}=-\Delta{E_к}=m \upsilon_0gt-\frac{mg^2t^2}{2}$.

Примечание: мы умножили обе части уравнения на $-1$, чтобы выразить убывание кинетической энергии.

Итого, под $-\Delta{E_к}$ мы получили убыль кинетической энергии за время $t$ при подъеме тела наверх. К вопросу о подъемах, то есть о высоте, на которую поднимется тело, это — пройденный путь, определяемый формулой:

$h=s=\upsilon_0t-\frac{gt^2}{2}$.

Прирост потенциальной энергии, как следствие, определяется следующим образом (пользуемся подстановкой $h$ в формулу потенциальной энергии $mgh$):

$\Delta{E_п}=mgh=m \upsilon_0gt-\frac{mg^2t^2}{2}$.

Полная энергия и промежуточные выводы

Если сопоставить выведенные соотношения для $\Delta{E_п}$ и $\Delta{E_к}$, то видим, что прирост потенциальной энергии за время $t$ всегда равняется убыли потенциальной энергии за то же время $t$.

Следовательно, делаем вывод, что, двигаясь, тело «расходует» свою потенциальную энергию на приращение кинетической энергии. Либо наоборот: при подъеме, кинетическая энергия превращается в потенциальную. Энергия движения «расходуется» на подъем.

Пояснение: сколько кинетической энергии убавилось, столько приросло потенциальной. Обратная зависимость убытка потенциальной энергии и прироста кинетической энергии работает аналогично.

Полная механическая энергия системы

Раз убыток или прирост одного вида энергии равен приросту или убытку другого вида энергии, в зависимости от вида движения, говорить можно о том, что сумма энергий механической системы остается величиной постоянной в любой точке. Энергии обмениваются между собой, меняя характер движения тела.

Математически подобное свойство записывается так:

$$E_{мех}=E_к+E_п=const,$$
где $E_{мех}$ — полная механическая энергия.

Так, накопив определенный запас потенциальной энергии, мы видим, как постепенно мяч падает, развивает скорость, то есть превращает запас в скорость. Скорость вновь переходит в запас, когда при взаимодействии с землей изменяется вектор движения — тело поднимается за счет перехода кинетической энергии обратно в потенциальную.

А если выбрать любую точку и сложить значения энергий, они будут оставаться постоянными, даже когда мы выберем еще одну произвольную точку. Все равно получим то же значение.

Полная энергия: определение

Иными словами:

Подняться выше возможного тело не может, только если мы не сообщим дополнительную энергию. Поэтому сумма значений всегда находится в пределе стартовой энергии.

Теперь мы готовы дать определение:

Полная механическая энергия тела — сумма потенциальной и кинетической энергии, которая остается постоянной при условии, что система замкнута.

Звучит, как нечто похожее на именитый закон сохранения энергии, верно?

Закон сохранения в замкнутой системе

Однако подождите. Интересен прежде пункт про замкнутость системы.

Хм. В наших абстрактных примерах и размышлениях мы все время представляли, что тело возвращается в точку старта. Но вот если бы в реальности энергия никуда не «выливалась» из системы, баскетбольный мяч бы бесконечно прыгал туда-сюда. А он явно прыгает не до бесконечности, постепенно уменьшая размах прыжка. Начал с $1~м$, отскочил и вернулся на отметку чуть пониже метра, через круг — еще чуть ниже. И так до полной остановки.

Выходит, что полная механическая энергия постоянной быть не может — она понемногу убывает. И причина кроется в том, что не всякая сила, возникающая внутри системы, говоря условно, благотворно влияет на движение. Взять, к примеру, силу тяжести. Или силу упругости. Они «помогают» телу двигаться. Даже если их вектор направлен против вектора движения, обязательно приходит момент, когда кинетическая энергия полностью переходит в потенциальную. Тогда эти силы «возвращают» то, что взяли, в том же объеме.

Закон сохранения энергии: консервативные силы и диссипативные силы

Такие силы называются консервативными. К сожалению, мы пока не готовы дать им строгое определение, поэтому выразимся понятными нам терминами:

Консервативные силы (от лат. ‘conservare’ — «сохранять») — силы, работа против которых не изменяет количество полной механической энергии тела.

Разумеется, природа синоним гармонии, и консервативные силы — это не финиш. Всегда есть антитеза. Между телами непременно возникает сила трения, на работу против которой всегда приходится тратить какое-то количество энергии.

Такие силы называются диссипативными:

Диссипативные силы (от лат. ‘dissipare’ — «рассеиваться») — силы, работа против которых изменяет количество полной механической энергии тела.

Уменьшение размаха прыжка мяча происходит из-за того, что его окружает воздух, и молекулы воздуха так или иначе постоянно «трутся» о поверхность мяча, что замедляет его движение. Силы упругости, при столкновении с поверхностью, заставляют молекулы внутри мяча двигаться. Температура тела растет. А нагрев в том числе расходует механическую энергию.

{"questions":[{"content":"Соотнесите термины с их определениями.[[matcher-1]]","widgets":{"matcher-1":{"type":"matcher","labels":["Cилы, работа против которых <b>не изменяет</b> количество полной механической энергии тела","Cилы, работа против которых <b>изменяет</b> количество полной механической энергии тела"],"items":["Консервативные силы","Диссипативные силы"]}}}]}

Это интересно: вечный двигатель

Закон сохранения энергии

В школьном курсе теоретической физики по большей части диссипативными силами пренебрегают. Только консервативные силы, только хардкор. А раз мы можем позволить себе представить, что их нет, то есть представить замкнутость механической системы, то, возвращаясь к пункту о полной энергии системы, мы можем словесно переиграть частный случай о постоянстве суммы энергий.

Есть система, внутрь которой сообщается некоторое количество энергии. Эта энергия начинает в границах системы циркулировать, закольцованно преобразовываясь из одного вида в другой. Работа против диссипативных сил не совершается — да, у нас все идеальное: ни воздуха, ни трения. Следовательно, энергия сохраняется в том числовом значении, в котором она впервые была передана системе.

Фактически, полная механическая энергия системы $E_к+E_п$ непостоянна. Но если списать со счетов потери на трение, эта сумма действительно является константой.

Так что выражение $E_{мех}=E_к+E_п=const$ — это частный случай полной механической энергии, который называется принцип сохранения энергии. Иногда его называют закон сохранения энергии. И гласит он следующее:

В замкнутой системе, то есть той, где действуют только консервативные силы, суммарная величина энергии всегда остается постоянной.

Тот самый закон сохранения энергии. Ничто из ниоткуда не берется и в никуда не уходит. Визитная карточка физики, знакомая хоть библиотекарю, ничего тяжелее арифметики в руках не державшему, хоть восьмилетнему ребенку. И получается, что каждый рассмотренный нами на уроке пример все время касался этого принципа.

Можете прямо сейчас все перечитать с нуля и проверить. Мы прошли по кольцу и вернулись в точку старта.

Ха, даже повествование урока своеобразно соблюдает закон сохранения энергии!

Задача на принцип сохранения энергии

Знакомство наше с законом, конечно, шапочное. Насколько позволяет математическая база и смежные темы физики. Однако знакомство достаточное, чтобы вы, уже далее перейдя к программе восьмого класса, могли смотреть на ряд вещей под другим углом. А дабы закрепить, попробуйте решить простенькую задачу.  

Условие. Полная механическая энергия тела равна $0.8 \space кДж$. Чему равна его кинетическая энергия, когда потенциальная составляет $250 \space Дж$? Принять, что система изолирована.

Показать решение

Скрыть решение

Выводы

Надеемся, миссия «закон сохранения энергии понятными словами» удалась.

В целом, энергия не стоит на месте. Она переходит из одной формы в другую. За живым примером можете как-нибудь выбраться на гидроэлектростанцию и посмотреть, как все это происходит в режиме реального времени, а не на абстрактных мячах.

Безусловно, принцип сохранения энергии и реальная жизнь не совместимы. Но это не мешает человечеству конструировать системы, в которых энергии видоизменяются. Так, поднятая над нулевым уровнем вода обладает запасом потенциальной энергии, которая при падении дает достаточную кинетическую энергию, чтобы вращать турбину и вырабатывать электричество.

А вы задумайтесь: потенциальная энергия переходит в кинетическую; та в свою очередь переходит в энергию вращения; энергия вращения переходит в электроэнергию. Дома мы превращаем электроэнергию, к примеру, в хорошо проведенное время за компьютером.

Жаль, что цикл жизни энергии так или иначе заканчивается. Ведь существуют не только консервативные силы. Энергия превращается в конечном итоге в тепло, которое рассеивается в атмосфере. Ну, шуточно заметить, энергия не заканчивается только в теоретических задачах по физике.

Но нет, убывая, она не исчезает в никуда.

Она просто обретает формы, что мы более не можем уловить.

Упражнения

Посмотреть ответ

Скрыть

Посмотреть ответ

Скрыть

Посмотреть ответ

Скрыть