Потенциальная энергия. Кинетическая энергия

Сегодня мы отбросим лишние научные абстракции и попробуем придать энергии численное значение. Что важнее, мы разберемся в двух крайне важных концепциях механической энергии — в том, что такое потенциальная энергия и что такое кинетическая энергия. Мы узнаем, как выглядит формула потенциальной энергии и формула кинетической энергии. А на закуску ответим на вопрос: «Как найти высоту потенциальной энергии?»

Всеми любимые американские горки, которые можно встретить в любом парке аттракционов. Не исключено, что вы хотя бы раз сами имели удовольствие сидеть в связке цветастых вагонеток. Вы поднимаетесь цепью на завораживающую высоту и… Красота.

Возможность рассмотреть городскую панораму, адреналин, ощущение свободного падения, истошные крики соседей по «вагону». Конечно, самые длинные очереди собираются именно около кассы с билетами на американские горки.

Устройство горок на удивление прозаично. Имеется группа вагончиков на жесткой сцепке, рельсы и цепной привод. Привод единожды тянет конструкцию высоко наверх.

Все — никаких двигателей внутри вагончиков или дополнительных механизмов, дающих разгон, по траектории движения. А вагончики, идеально останавливаясь в точке старта, успевают пройти на большой скорости кластер крутых виражей. Включая мертвые петли!

Как же это работает?

Механическая энергия

Вспомним, что по одному из определений:

Энергия — это способность тела производить работу.

Мы также помним, что энергия проявляет себя в самых различных формах и системах. Что бы мы ни взяли (магнит, атом или чашку чая), каждый объект Вселенной обладает энергией.

Однако не будем закапываться в кварки, кванты, электрические импульсы и прочее. Лучше остановиться на проявлении энергии в обычных механических системах (совокупности материальных точек). Здесь очевидно следующее:

Любой объект механической системы либо находится в состоянии покоя, либо в движении.

Что-то либо стоит, лежит, сидит… либо двигается. Третьего не дано. Следовательно, механическая энергия делится на две категории: энергию «лежания» и энергию «движения».

Хорошо-хорошо, ваши аргументы «против» принимаются. Но что насчет, например, яблока, которое, созрев, падает с дерева? Если бы яблоко не обладало энергией «лежания», в нашем случае — энергией «висения», оно бы никак не смогло прийти в движение.

Тело и механическая энергия, которой оно обладает

Энергия не может взяться из ниоткуда, как по мановению волшебной палочки. Так что если мы не будем учитывать энергию «лежания», будет сложно говорить об энергии «движения». Ведь не будет стартовой точки.

Не зря определение энергии включает в себя условность в виде слова «способность». Уже сама способность производить работу говорит о том, что тело обладает энергией. Энергия «лежания» лишь дает понимание, насколько на практике велика эта способность. Так что в определение, выходит, вшито и «лежание», и «движение» — два варианта развития событий.

Ну, единственное, нам бы термины научнее.

Потенциальная энергия механической системы

Этим как раз в XIX веке и озаботился Уильям Ренкин, шотландский механик. С его легкой руки выше нами описанные умозаключения приобрели физическую строгость. В виде термина «потенциальная энергия».

Какую энергию называют потенциальной?

Потенциальная энергия — способность материального тела совершать работу за счет своего нахождения в поле сил. Является частью общей механической энергии системы.

Другими словами, тело находится в поле действия силы и от этого имеет способность совершить работу. Конечно, фактически работу выполняет сила, действующая на тело. Если говорить о механических системах, указанное в определении поле сил включает в себя две возможности:

• Сила тяжести. Яблоко, падающее на землю, совершает работу за счет нахождения в поле действия силы гравитационного притяжения. Как только точка опоры пропадает, Земля притягивает яблоко к себе. Лежи яблоко само по себе на земле, упасть никуда оно бы не смогло. Таким образом, потенциальная энергия тела выражает потенциал работы с некоторой высоты от тела до земли. 
• Сила упругости. На упругое тело в сжатом или разжатом состоянии действует сила упругости. Она стремится вернуть его в положение равновесия. Например, пружина, легко поддающаяся деформации. Если видоизменить пружину сжатием или разжатием, вы сообщаете ей потенциальную энергию — определенный потенциал работы от точки деформации до положения равновесия.  

Выходит, что внутри механических систем потенциальная энергия определяет потенциал движения тела. Так, сколько работы совершается телом, если сила, действующая на тело, превысит по значению равнодействующую силу. Потенциальную энергию в этом плане можно рассматривать как «резерв» или «запас» работы.

Формула потенциальной энергии

О потенциальной энергии деформированной механической системы мы обязательно поговорим. Но как-нибудь далее в курсе физики. Для начала нужен ряд определений для механики деформации. Так что пока остановимся на потенциальной энергии под действием знакомой нам силы — силы тяжести.

Если взять за ноль потенциальную энергию точки, находящейся на земле, то потенциальная энергия точки, находящейся на некотором расстоянии от земли, определяется работой, которая выполнится гравитационной силой при падении.

Договоримся обозначать такую потенциальную энергию как $E_П$. Далее вспомним важное условие:

Работа равна изменению энергии тела.

Следовательно $A=\Delta{E_п}$. Помним, что работа равна произведению значения силы на пройденный путь, $A=F\cdot s$. Теперь формула потенциальной энергии в шаге от готовности, если вспомнить, что $F=ma$. Под силой сейчас понимается конкретная сила — сила тяжести $mg$. Тогда заметим, что:

$A=mg\cdot s$.

Но это еще не конечный вариант того, как выглядит формула потенциальной энергии. Пройденный путь $s$ имеет немного другое прочтение, когда речь идет о гравитационном притяжении. Раз мы говорим прежде всего о падении, путь такой работы — высота, на которую было поднято тело.

Получается, что формула потенциальной энергии, с учетом всех моментов, выглядит так:

$$A=\Delta{E_п}=mgh,$$

где $m$ — масса тела, $h$ — высота подъема, $g$ — ускорение свободного падения.

Как найти высоту потенциальной энергии

«Высота подъема» — формулировка условная. Еще ее часто определяют в справочной литературе как «высота от центра тяжести до Земли». Дадим этому разъяснение.

Для примера рассмотрим следующую конструкцию. Пусть есть стол, на котором лежит коробка, на верху которой, в свою очередь, расположен предмет — кастрюля. Итого, как найти высоту потенциальной энергии кастрюли?

Высота потенциальной энергии может быть определена относительно стола. Или относительно пола. Может быть, уровня земли, если стол расположен внутри здания. Относительно подвала? Иными словами, подъем тела рассчитывается относительно чего угодно. Выходит, нужно всегда заранее условиться, относительно какого уровня производится замер.

Однако помните, что именно «условиться» — выбрать точку отсчета можно произвольно. Чтобы она была максимально удобная для расчетов. Намного важнее — величина изменения потенциальной энергии, а совсем не то, как найти высоту потенциальной энергии. Очевидно, вне зависимости от выбранной точки отсчета, изменение потенциальной энергии будет одним и тем же.

Еще немаловажен фактор центра тяжести. Если тело маленькое и располагается на поверхности «земли», говорят, что его потенциальная энергия равна нулю. Расстоянием от центра тяжести до нулевого уровня можно пренебречь. Другое дело, когда тело габаритное.

Обратите внимание на изображение. Несмотря на то, что крупный предмет находится на нулевом уровне, его потенциальная энергия больше нуля. В общей сложности, важнее не вопрос «как найти высоту потенциальной энергии», ибо он не конкретен. Важнее вопрос — какую точку отсчета выбрать?

Высота потенциальной энергии: задача на расчет

Условие. Альпинист покоряет гору высотой $6000~м$. На предпоследний день он решает разбить перевалочный лагерь на высоте $5100~м$, чтобы утром следующего дня выдвинуться на вершину. Какую работу совершит альпинист при подъеме на вершину горы от станции перевалочного лагеря? Масса альпиниста — $80~кг$.

Альпинист совершает работу против силы тяжести, поднимаясь на вершину. Помним, что работа всегда равняется изменению энергии тела, $A=\Delta{E}$, согласно имеющимся по задаче данным — изменению потенциальной энергии $\Delta{E_п}$.

С учетом, что формула потенциальной энергии $E_п=mgh$:

$$A=\Delta{E_п}=mgh_2-mgh_1,$$

где $h_2$ — высота подъема тела в конце работы, $h_1$ — высота подъема тела в начале работы. 

Также помним, что при расчете потенциальной энергии в первую очередь выбирается точка отсчета. У нас два варианта:

• принять за ноль уровень моря;
• принять за ноль высоту, на которой расположен перевалочный лагерь.

Не забываем, точка отсчета — условность, и хорошо выбирать ее так, чтобы математические вычисления проводились проще. Ростом альпиниста и соответствующими вычислениями центра тяжести можем пренебречь, поскольку дистанции рассматриваются километражные.

Вернемся к точкам отсчета. Если остановиться на варианте с уровнем моря, нам придется рассчитывать потенциальную энергию $mgh_1$, с учетом, что $h_1=5100~м$, а после рассчитывать потенциальную энергию $mgh_2$, с учетом, что $h_2=6000~м$. Числовые значения выйдут громоздкими, поэтому примем для удобства за нулевой уровень расположение перевалочного лагеря:
$\Delta{h}=h_2-h_1=6000-5100=900~м$.

Альпинист суммарно поднялся вверх на $900~м$. В нашем случае формула потенциальной энергии — $A=mg\Delta{h}$. Определим по ней совершенную работу альпинистом при подъеме на эту высоту:

$A=mg\Delta{h}=80~кг\cdot 9,8~м/с\cdot 900~м=705600~Дж=705,6~кДж$.

Кинетическая энергия механической системы

«Запасом» работы обладают не только лишь те тела, которые находятся в поле действия определенных сил. Так что, естественно, второе органичное проявление энергии связано, наконец, с движением.

Вспомним американские горки, о которых мы говорили в самом начале. За счет подъема на высоту, вагончики запасаются потенциальной энергией $mgh$. При этом чем выше поднять вагончики, тем больший запас энергии сообщается механической системе. И тем дальше вагончики смогут проехать вперед по рельсам.

Как только конструкция начинает движение вниз, потенциальная энергия начинает поступательное превращение в энергию движения. Так, вагончики без толчка самостоятельно въезжают на крутой уклон или проходят петли. Все потому, что они обладают скоростью.

Видим взаимосвязь: скорость — энергия — работа.

Таким образом, мы можем сделать вывод, что тело, имеющее скорость отличную от нуля, всегда обладает энергией. И способностью, как следствие, совершать работу благодаря движению.

О таком теле говорят, что оно обладает кинетической энергией. Это и есть ранее нами не очень научный термин об «энергии движения».

Теперь, когда все термины и их смысл окончательно сформированы, мы готовы дать определение:

Кинетическая энергия — мера способности движущегося материального тела совершать работу.

Лирическое отступление — На тропу войны

«Бог создал людей сильными и слабыми. Сэмюэл Кольт сделал их равными», — гласит старое американское присловье конца XIX века.  

Сэмюэл Кольт.
Инженер, оружейник и очень талантливый изобретатель. Именно он первым запатентовал культовое короткоствольное оружие с вращающимся барабаном, которое мы знаем под названием «револьвер», произошедшее от английского глагола ‘revolve’, в переводе — «вращаться». Кольт создал бренд, сотворил империю, возвел целую стрелковую эпоху…

Философски заметить — вообще-то стал причиной гибели огромного количества людей. А все потому, что кинетическая энергия по своей природе ну никак не безобидна.

Еще задолго до револьвера Кольта и подъема оружейной промышленности, человек понял, что движущиеся предметы обладают разрушительной способностью. Например, копье, летящее с расстояния в плиоценского мамонта, вонзается в тело животного из-за того, что человек сообщает инструменту кинетическую энергию. И древний человек хорошо понимал эту взаимосвязь, кидая на дистанции камни, палки с заостренными концами и прочие колюще-режущие-убивающие предметы.

Вечно тело в движении находиться не может. Либо его остановит по пути потеря энергии на преодоление трения — кинетическая энергия преобразуется как следствие в тепловую, — либо это тело остановит что-то, как бы принимая удар, вбирая в себя энергию. Вот так, фундаментальная сила природы стала основанием для учинения хаоса на планете, ведь любое стрелковое оружие — это предмет, сообщающий кинетическую энергию некоему предмету, находящемуся внутри. Пуле ли, снаряду, или ядру.

Формула кинетической энергии

Раз тело движущееся и энергией обладает именно за счет движения, можно выдвинуть кое-какое предположение. Логично, что при формула кинетической энергии «завязана» со значением скорости.

Во-вторых, неглупо предположить, что масса также связана с количеством энергии в системе. Если кинуть в соседа бумажный самолетик, это будет называться шалостью — величина кинетической энергии несущественная. А вот если кинуть в соседа кирпич… Не шалость. Целое покушение!

Понятие о том, что совершенная работа равна изменению энергии, остается неизменным. Просто на этот раз будем иметь в виду энергию кинетическую. Условимся обозначать ее как $E_к$. Заранее обозначим связь работы и кинетической энергии:
$A=\Delta{E_к}$.

Продолжим выяснять, как выглядит формула кинетической энергии. Для этого предположим, что на тело с массой $m$ действует постоянная сила $F$. В результате тело проходит некоторое расстояние $s$. По второму закону Ньютона значение силы равно произведению массы на ускорение:
$F=ma$.

Перемещение при равноускоренном движении, при условии, что тело начинает движение из состояния покоя, равно:
$s=\frac{\upsilon^2}{2a}$.

Связывая две обозначенных формулы с формулой работы, находим:
$A=F\cdot s=F\cdot \frac{\upsilon^2}{2a}=\frac{ma\cdot \upsilon^2}{2a}=\frac{mv^2}{2}$.

Полученное в результате подстановок полупроизведение массы на квадрат скорости — это и есть формула кинетической энергии $E_к$.

Экспериментально формула кинетической энергии была подкреплена нидерландским ученым Вильгельмом Гравезандом в XVIII веке. Он обнаружил, что мячик, брошенный в стену с удвоенной скоростью, оставляет в четыре раза большее углубление. Следовательно энергия пропорциональна квадрату скорости. Это мы непосредственно и наблюдаем в формуле, выведенной от работы и перемещения.  

Формула кинетической энергии: задача на расчет

Условие. Автомобиль массой $1~т$ тянет буксир с постоянной силой. Определите кинетическую энергию автомобиля в момент времени $4~с$ на основе предложенного графика зависимости скорости от времени.

Решение. Формула кинетической энергии:
$E_к=\frac{m \upsilon^2}{2}$.

Опираясь на график, находим, что в момент времени $4~с$ скорость автомобиля составляла $8~м/с$. Масса автомобиля указана в тоннах, переведем ее в СИ: $m=1~т=1000~кг$. Подставим значения с формулу и посчитаем кинетическую энергию.

Получается:
$E_к=\frac{1000~кг \cdot (8\frac{м}{с})^2}{2}=32000~Дж=32~кДж$.

Если бы мы каким-нибудь образом придумали устройство, которое бы позволяло переводить кинетическую энергию нашего автомобиля из задачи в электроэнергию, мы бы здорово удивились. $32~кДж$ хватило бы максимум на час работы двух энергосберегающих лампочек мощностью $20~Вт$.

Потенциальная энергия: в заключение

И вот мы закономерно, изучив понятия о механической энергии и ее видах, приходим к логичному выводу, что кинетическая энергия имеет прямую связь с потенциальной энергией.

Вот, вагонетка поднимается цепным приводом наверх, а после летит с огромной скоростью вниз, вновь забираясь на горку, но уже без помощи цепи. Созревшее яблоко с дерева падает к земле. Толчок пороховых газов придает пуле ускорение, выбрасывая ее из ствола. Сжатая пружина получает возможность свободного хода и толчками совершает возвратно-поступательные движения. Все рассмотренные нами случаи и примеры показывают, как один вид энергии преобразуется в другой. Кинетическая энергия в потенциальную. И наоборот.

Об этой потрясающей связи, а также о глубокомысленном «ничто ниоткуда не берется и в никуда не исчезает» вы узнаете уже на следующем уроке.

Упражнения

Дано:
$m = 100 \space кг$
$h = 10 \space м$
$g = 9.8 \frac{Н}{кг}$

$E_п — ?$

Посмотреть решение и ответ

Скрыть

Посмотреть ответ

Скрыть

Посмотреть ответ

Скрыть

$E_к — ?$

Посмотреть решение и ответ

Скрыть