Войти Регистрация
Уроки
Математика Алгебра Геометрия Физика Всеобщая история Русский язык Английский язык География Биология Обществознание
Тренажёры
Математика ЕГЭ Тренажёры для мозга История

Потенциальная энергия. Кинетическая энергия

Содержание

    Сегодня мы отбросим лишние научные абстракции и попробуем придать энергии численное и практическое значение. Что важнее, мы разберемся в двух крайне важных концепциях механической энергии и научимся ими манипулировать при анализе различных физических систем.

    Правда прежде нужно кое-что обсудить. Конкретнее: всеми любимые американские горки, которые можно встретить в любом парке аттракционов. Не исключено, что вы хотя бы раз сами имели удовольствие сидеть в связке цветастых вагонеток, поднимаемых цепью на завораживающую высоту.

    Возможность рассмотреть городскую панораму, адреналин, ощущение свободного падения, истошные крики соседей по «вагону» — конечно же самые длинные очереди собираются именно около кассы американских горок.

    Чем наслаждается Образавр? Правильно: механической энергией!

    Устройство горок, на удивление, прозаично. Имеется группа вагончиков на жесткой сцепке, рельсы и цепной привод, который единожды тянет конструкцию высоко наверх.

    Все — никаких двигателей внутри вагончиков или дополнительных механизмов, дающих разгон, по траектории движения. А вагончики, идеально останавливаясь в точке старта, при этом успевают пройти на большой скорости кластер крутых виражей, включая мертвые петли.

    Как же это работает?

    Механическая энергия

    Вспомним, что по одному из определений:

    Энергия — это способность тела производить работу.

    Мы также помним, что энергия проявляет себя в самых различных формах и системах: что бы мы ни взяли — магнит, или атом, или остывающую чашку чая, — каждый объект нашей Вселенной обладает энергией.

    И если не закапываться в кварки, кванты, электрические импульсы и прочее, а остановиться на проявлении энергии в обычных механических системах (совокупности материальных точек), очевидно следующее: любой объект механической системы либо находится в состоянии покоя, либо в движении.

    Что-то либо стоит, лежит, сидит… либо двигается. Третьего не дано. Следовательно, механическую энергию, то есть энергию материальных тел, являющихся частью механической системы, можно так же разделить на две категории: энергию «лежания» и энергию «движения».

    Хорошо-хорошо, ваши аргументы «против» принимаются. Но что насчет, например, яблока, которое, созрев, падает с дерева? Если бы яблоко не обладало энергией «лежания», в нашем случае — энергией «висения», оно бы никак не смогло прийти в движение. Энергия не может взяться из ниоткуда, как по мановению волшебной палочки. Так что если мы не будем учитывать энергию «лежания», нам будет сложно говорить об энергии «движения», ведь не будет стартовой точки.

    Не зря определение, которое мы давали энергии на прошлом уроке, включает в себя условность в виде слова «способность».

    Уже сама способность производить работу говорит о том, что тело обладает энергией. Энергия «лежания» лишь дает понимание, насколько на практике велика эта способность.

    Так что в определение, выходит, вшито и «лежание», и «движение» — два варианта развития событий.

    Ну, единственное, нам бы термины научнее.

    Потенциальная энергия механической системы

    Этим как раз в XIX веке и озаботился Уильям Ренкин, шотландский механик, с чьей легкой руки выше нами описанные умозаключения приобрели физическую строгость в виде термина «потенциальная энергия».

    Потенциальная энергия — способность материального тела совершать работу за счет своего нахождения в поле сил. Является частью общей механической энергии системы.

    Другими словами, тело находится в поле действия некоторой силы и от этого имеет способность совершить работу. Конечно, фактически работу выполняет сила, действующая на тело. Если говорить о механических системах, указанное в определении поле сил включает в себя две возможности:

    • Сила тяжести. Созревшее яблоко, отрывающееся от держащей его веточки и падающее на землю, совершает работу за счет нахождения в поле действия силы гравитационного притяжения Земли.

      Как только точка опоры пропадает, Земля притягивает яблоко к себе. Лежи яблоко само по себе на земле, упасть никуда оно бы не смогло.

      Таким образом, в данном случае потенциальная энергия тела, на которое действует гравитация, выражает потенциал работы с некоторой высоты от тела до земли
    • Сила упругости. На упругое тело в сжатом или разжатом состоянии действует сила упругости, стремящаяся вернуть его в положение равновесия. Например, пружина — механизм, который легко поддается деформации. Видоизменив пружину сжатием или разжатием, вы сообщаете ей определенный потенциал работы от точки деформации до положения равновесия.  

    Выходит, что внутри механических систем потенциальная энергия определяет потенциал движения тела: сколько работы оно может совершить, если сила, действующая на тело, превысит по значению равнодействующую силу. Потенциальную энергию в этом плане можно рассматривать как «резерв» или «запас» работы.

    Формула потенциальной энергии

    О потенциальной энергии деформированной механической системы мы обязательно поговорим, но как-нибудь далее в курсе физики — нам требуется ряд определений для механики деформации, так что пока остановимся на потенциале работы под действием знакомой нам силы — силы тяжести.

    Если взять за ноль потенциальную энергию точки, находящейся на земле, то потенциальная энергия точки, находящейся на некотором расстоянии от земли, определяется работой, которая выполнится гравитационной силой при падении.

    Договоримся обозначать такую потенциальную энергию как $E_П$. Далее вспомним важное условие:

    Работа равна изменению энергии тела.

    Следовательно, $A=\Delta{E_П}$. Помним, что работа равна произведению значения силы на пройденный путь, $A=F\cdot s$.

    Однако под силой сейчас понимается конкретная сила — сила тяжести $mg$. Тогда заметим, что:

    $$A=mg\cdot s$$

    Пройденный путь в том числе имеет немного другое прочтение, когда речь идет о гравитационном притяжении. Раз мы говорим о падении, о движении тела по направлению к земле под действием силы тяжести, тогда путь такой работы — высота, на которую было поднято тело.

    Получается:

    $$A=\Delta{E_П}=mgh,$$

    где $m$ — масса тела, $h$ — высота подъема от центра тяжести до нулевого уровня, $g$ — ускорение свободного падения.

    Как определять высоту для расчета потенциальной энергии

    Высота от «земли до центра тяжести» или, как часто обозначается в справочной литературе, «высота подъема тела» — крайне условная формулировка, требующая разъяснений.

    Для примера рассмотрим следующую конструкцию: пусть есть стол, на котором лежит коробка, на верху которой, в свою очередь, расположен предмет.

    Определять потенциальную энергию данного предмета можно относительно стола. Или относительно пола. Может, уровня земли, если стол расположен внутри здания. Относительно подвала?

    Да относительно чего угодно. Нужно всегда заранее условиться, относительно какого уровня производится замер высоты подъема.

    Однако помните, что именно «условиться» — выбрать точку отсчета можно произвольно, максимально удобную для расчетов, ведь намного важнее величина изменения потенциальной энергии, а не потенциальная энергия сама по себе.

    Очевидно, вне зависимости от выбранной точки отсчета, изменение потенциальной энергии будет одним и тем же.

    Еще немаловажен фактор центра тяжести. Если тело имеет незначительные размеры и располагается на поверхности «земли», мы говорим о том, что его потенциальная энергия равна нулю, так как расстоянием от центра тяжести до нулевого уровня можно пренебречь. Другое дело, когда тело габаритное.

    Обратите внимание на изображение: несмотря на то, что габаритный предмет находится на нулевом уровне, «на земле», он обладает потенциальной энергией отличной от нуля.

    Задача на расчет потенциальной энергии

    Условие. Альпинист покоряет гору высотой $6000~м$. На предпоследний день восхождения он решает разбить перевалочный лагерь на высоте $5100~м$, чтобы утром следующего дня выдвинуться на вершину. Какую работу совершит альпинист при подъеме на вершину горы от станции перевалочного лагеря? Масса альпиниста — $80~кг$.

    Альпинист совершает работу против силы тяжести, поднимаясь на вершину. Помним, что работа всегда равняется изменению энергии тела, $A=\Delta{E}$, согласно имеющимся по задаче данным — изменению потенциальной энергии $\Delta{E_П}$.

    С учетом, что $E_П=mgh$:

    $$A=\Delta{E_П}=mgh_2-mgh_1,$$

    где $h_2$ — высота подъема тела в конце работы, $h_1$ — высота подъема тела в начале работы. 

    Также помним, что при расчете потенциальной энергии в первую очередь выбирается точка отсчета. У нас два варианта:

    • принять за ноль уровень моря;
    • принять за ноль высоту, на которой расположен перевалочный лагерь.

    Не забываем, что точка отсчета — условность, и хорошо выбирать ее так, чтобы математические вычисления проводились проще. Ростом альпиниста и соответствующими вычислениями центра тяжести можем пренебречь, поскольку дистанции рассматриваются километражные.

    Вернемся к точкам отсчета. Если остановиться на варианте с уровнем моря, нам придется рассчитывать потенциальную энергию $mgh_1$, с учетом, что $h_1=5100~м$, а после рассчитывать потенциальную энергию $mgh_2$, с учетом, что $h_2=6000~м$. Числовые значения выйдут громоздкими, поэтому примем для удобства за нулевой уровень расположение перевалочного лагеря:

    $\Delta{h}=h_2-h_1=6000-5100=900~м$

    Альпинист суммарно поднялся вверх на $900~м$. Определяем совершенную им работу при подъеме на эту высоту:

    $$A=mg\Delta{h}=80~кг\cdot 9,8~м/с\cdot 900~м=705600~Дж=705,6~кДж$$

    Кстати!

    Вспомним единицы измерения энергии с прошлого урока: в переводе на килокалории, 705,6 Дж — это примерно 1686 ккал.

    Для справки, подобное значение составляет половину суточной нормы для активных людей. Получается, чтобы подняться на вершину, альпинисту пришлось затратить целую половину от всего съеденного им за день рациона!

    Кинетическая энергия механической системы

    «Запасом» или «резервом» работы обладают не только лишь те тела, которые находятся в поле действия определенных сил. Так что, естественно, второе органичное проявление энергии связано, наконец, с движением.

    Как меняются значения кинетической (KE) и потенциальной (PE) энергий при движении американских горок.

    Вспомним американские горки, о которых мы говорили в самом начале. За счет подъема на высоту, вагончики запасаются потенциальной энергией $mgh$: при этом чем выше поднять вагончики, тем больший запас энергии сообщается механической системе, и тем дальше вагончики смогут проехать вперед по рельсам.

    Как только конструкция начинает движение вниз с пиковой точки, потенциальная энергия начинает поступательное превращение в энергию движения — так, вагончики без толчка самостоятельно въезжают на крутой уклон или проходят петли. Все потому, что они обладают скоростью.

    Видим взаимосвязь: скорость — энергия — работа.

    Таким образом, мы можем сделать вывод, что тело, имеющее скорость отличную от нуля, всегда обладает энергией и способностью, как следствие, совершать работу благодаря движению.

    О таком движущемся теле говорят, что оно обладает кинетической энергией — это и есть ранее нами не очень научный термин об «энергии движения».

    Теперь, когда все термины и их смысл окончательно сформированы, мы готовы дать определение второму и последнему виду энергии, сообщающемуся внутри механической системы:

    Кинетическая энергия — мера способности движущегося материального тела совершать работу.

    Лирическое отступление — На тропу войны

    «Бог создал людей сильными и слабыми. Сэмюэл Кольт сделал их равными», — гласит старое американское присловье конца XIX века.  

    Сэмюэл Кольт.
    Инженер, оружейник и очень талантливый изобретатель. Именно он первым запатентовал культовое короткоствольное оружие с вращающимся барабаном, которое мы знаем под названием «револьвер», произошедшее от английского глагола ‘revolve’, в переводе — «вращаться». Кольт создал бренд, сотворил империю, возвел целую стрелковую эпоху…

    Философски заметить — вообще-то стал причиной гибели огромного количества людей. А все потому, что кинетическая энергия по своей природе ну никак не безобидна.

    Еще задолго до револьвера Кольта и подъема оружейной промышленности, человек понял, что движущиеся предметы обладают разрушительной способностью. Например, копье, летящее с расстояния в плиоценского мамонта, вонзается в тело животного из-за того, что человек сообщает инструменту кинетическую энергию. И древний человек хорошо понимал эту взаимосвязь, кидая на дистанции камни, палки с заостренными концами и прочие колюще-режущие-убивающие предметы.

    Вечно тело в движении находиться не может. Либо его остановит по пути потеря энергии на преодоление трения — кинетическая энергия преобразуется как следствие в тепловую, — либо это тело остановит что-то, как бы принимая удар, вбирая в себя энергию. Вот так, фундаментальная сила природы стала основанием для учинения хаоса на планете, ведь любое стрелковое оружие — это предмет, сообщающий кинетическую энергию некоему предмету, находящемуся внутри. Пуле ли, снаряду, или ядру.

    Формула кинетической энергии

    Раз тело движущееся и энергией обладает именно за счет движения, неплохо было бы предположить, что при расчетах кинетической энергии немаловажную роль играет значение скорости.

    Во-вторых, неглупо предположить, что масса также связана с количеством обращающейся энергии в системе. Если кинуть в соседа бумажный самолетик, это будет называться шалостью — величина кинетической энергии не существенная. А вот если кинуть в соседа кирпич… Не шалость. Целое покушение!

    Понятие о том, что совершенная работа равна изменению энергии остается неизменной, просто на этот раз будем иметь в виду энергию кинетическую. Условимся обозначать ее как $E_К$. Заранее обозначим связь работы и кинетической энергии:

    $$A=\Delta{E_K}$$

    Предположим, что на тело с массой $m$ действует постоянная сила $F$. В результате тело проходит некоторое расстояние $s$. По второму закону Ньютона значение силы равно произведению массы на ускорение: $F=ma$.

    Перемещение при равноускоренном движении, при условии, что тело начинает движение из состояния покоя, равно:

    $$s=\frac{v^2}{2a}$$

    Связывая две обозначенных формулы с формулой работы, находим:

    $$A=F\cdot s=F\cdot \frac{v^2}{2a}=\frac{ma\cdot v^2}{2a}=\frac{mv^2}{2}$$

    Полученное нами в результате подстановок полупроизведение массы на квадрат скорости как раз и является кинетической энергией материального тела $E_K$.

    Экспериментально ее подкрепил нидерландский ученый Вильгельм Гравезанд в XVIII веке: он обнаружил, что мячик, брошенный в стену с удвоенной скоростью, оставляет в четыре раза большее углубление. Следовательно, энергия пропорциональна квадрату скорости, что мы непосредственно и наблюдаем в формуле, выведенной от работы и перемещения.  

    Задача на кинетическую энергию

    Условие. Автомобиль массой $1~т$ тянет буксир с постоянной силой. Определите кинетическую энергию автомобиля в момент времени $4~с$ на основе предложенного графика зависимости скорости от времени.

    Решение. Кинетическая энергия тела равняется:

    $$E_K=\frac{mv^2}{2}$$

    Опираясь на график, находим, что в момент времени $4~с$ скорость автомобиля составляла $8~м/с$. Масса автомобиля указана в тоннах, переведем ее в СИ: $m=1~т=1000~кг$. Подставим значения с формулу и посчитаем кинетическую энергию.

    Получается:

    $$E_K=\frac{1000~кг \cdot (8\frac{м}{с})^2}{2}=32000~Дж=32~кДж$$

    Если бы мы каким-нибудь образом придумали устройство, которое бы позволяло переводить кинетическую энергию нашего автомобиля из задачи в электроэнергию, мы бы здорово удивились. $32~кДж$ хватило бы максимум на час работы двух энергосберегающих лампочек мощностью $20~Вт$.

    Заключение

    И вот мы закономерно, изучив понятия о механической энергии и ее видах, приходим к логичному выводу, что кинетическую энергию определенно что-то объединяет с потенциальной.

    Вот, вагонетка поднимается цепным приводом наверх, а после летит с огромной скоростью вниз, вновь забираясь на горку, но уже без помощи цепи; созревшее яблоко с дерева падает к земле; толчок пороховых газов придает пуле ускорение, выбрасывая ее из ствола; сжатая пружина получает возможность свободного хода и толчками совершает возвратно-поступательные движения — все рассмотренные нами случаи и примеры показывают, как один вид энергии преобразуется в другой.

    Об этой потрясающей связи, а также о глубокомысленном «ничто ниоткуда не берется и в никуда не исчезает» вы узнаете уже на следующем уроке.

    5
    5
    5Количество энергии, полученное за урок

    Спасибо, что помогаете нам стать лучше!

    Комментарии
    Получить ещё подсказку

    Трудности? Воспользуйтесь подсказкой

    Верно! Посмотрите пошаговое решение