Личный кабинет Выйти Войти Регистрация
Уроки
Математика Алгебра Геометрия Физика Всеобщая история Русский язык Английский язык География Биология Обществознание История России ОГЭ
Тренажёры
Математика ЕГЭ Тренажёры для мозга

Равенство работ при использовании простых механизмов. «Золотое правило» механики

Содержание

    Мы рассмотрели такие простые механизмы, как рычаг и блок. С их помощью можно уравновесить одну силу действием другой. При использовании этих механизмов совершается механическая работа, которую можно рассчитать по формуле $A = Fs$, где $F$ — приложенная сила, $s$ — пройденный путь.

    Также, используя простые механизмы, мы можем получить выигрыш в силе или в пути. Но будет ли тогда выигрыш в работе? На данном уроке мы получим ответ на этот вопрос.

    Соотношение работ при использовании рычага

    Рассмотрим простой опыт, представленный на рисунке 1.

    Рисунок 1. Рычаг, к которому приложены силы $F_1$ и $F_2$

    У нас есть рычаг с точкой опоры O. Уравновесим на нем две разные по модулю силы $F_1$ и $F_2$. ($F_1 > F_2$).  Под действием сил рычаг приходит в движение. При этом мы видим, что точка приложения меньшей силы $F_2$ прошла больший путь $s_2$, чем точка приложения силы $F_1$. Т.е. $s_2 > s_1$. Если мы измерим пройденные этими точками пути и модули сил, то получим новое соотношение.

    Какое соотношение существует между путями, пройденными точками приложения сил на рычаге, и этими силами?
    Пути, пройденные точками приложения силы на рычаге, обратно пропорциональны силам:
    $\frac{s_1}{s_2} = \frac{F_2}{F_1}$.

    Из этого мы можем сделать вывод. В чем проигрывают, пользуясь рычагом, дающим выигрыш в силе?

    Действуя на длинное плечо рычага, мы выигрываем в силе, но при этом во столько же раз проигрываем в пути.

    Взгляните внимательнее на полученное выражение. Давайте перепишем его в виде равенства произведений:
    $F_1s_1 = F_2s_2$.

    По определению работы мы знаем, что $A = Fs$. Получается, что работы, совершаемые силами на рычаге, равны друг другу: $A_1 = A_2$.

    При использовании рычага выигрыша в работе не получают. 

    Соответственно, рычаг позволяет нам получить выигрыш или в силе, или в пути. Прикладывая силу к длинному плечу:

    • Получим выигрыш в силе;
    • Получим проигрыш в расстоянии (во столько же раз, во сколько получим выигрыш в силе).

    Этот принцип работает и наоборот: выигрывая в расстоянии, мы проиграем в силе.

    Это интересно: «Дайте мне точку опоры, и я подниму Землю!»

    Вспомните знаменитую фразу Архимеда: «Дайте мне точку опоры, и я подниму Землю!» Если посмотреть на это громкое заявление с нашими новыми знаниями, то точка опоры должна была бы быть вне Земли (рисунок 2).

    Рисунок 2. Рычаг Архимеда для поднятия Земли

    Чтобы «поднять» Землю на $1 \space см$, противоположный конец рычага должен описать дугу в $1018 \space км$. Наделим нашего воображаемого Архимеда мощностью в 1 лошадиную силу (поднимает $60 \space кг$ за $1 \space с$ на высоту $1 \space м$). Тогда для подъема Земли на $1 \space см$ ему понадобится 16 миллиардов лет.

    Соотношение работ при использовании неподвижного блока

    При использовании неподвижного блока (рисунок 3) мы не получаем выигрыша в силе: $F_1 = F_2$. Пути, которые пройдут точки A и B (точки приложения сил $F_1$ и $F_2$), будут тоже одинаковы. Значит, одинаковы и работы, совершаемые этими силами ($A_1 = A_2$).

    Рисунок 3. Использование неподвижного блока

    Использование неподвижного блока не дает выигрыша в работе.

    Соотношение работ при использовании подвижного блока

    Проведем опыт. Измерим и сравним между собой работы, совершаемые при использовании подвижного блока (рисунок 4).

    Рисунок 4. Совершение работы при использовании подвижного блока

    Нам необходимо поднять груз на высоту $h$. Свободный конец веревки прикреплен к динамометру. Чтобы груз оказался на нужной высоте, нам придется переместить конец веревки на высоту $2h$.

    Во сколько раз проигрывают в пути, используя для поднятия грузов подвижный блок?

    Получив выигрыш в силе в 2 раза, получают проигрыш в пути в 2 раза.

    Работы, совершаемые приложенными силами, равны. Использование подвижного блока не дает выигрыша в работе.

    «Золотое правило» механики

    Использование других простых механизмов в течение многих веков показало, что ни один из них не дает выигрыша в работе. Только в силе или в пути.

    Мы подошли к «золотому правилу» механики, которое гласит:

    Во сколько раз получаем выигрыш в силе, во столько раз проигрываем в расстоянии (пути).

    Упражнения

    Упражнение №1

    Рабочий с помощью рычага поднял груз массой $150 \space кг$. Приложенная им сила совершила работу в $300 \space Дж$. На какую высоту рабочий поднял груз? Сделайте чертеж.

    Изобразим графически данный рычаг (рисунок 5).

    Рисунок 5. Чертеж к упражнению №1

    AB — рычаг с точкой опоры O. $F_1$ — сила тяжести груза, $F_2$ — сила, приложенная рабочим. $l_1$ и $l_2$ — плечи сил. Отрезок AD — это высота, на которую рабочий понял груз ($AD = h_1$), отрезок $BC$ — высота, на которую рабочий опустил длинное плечо рычага ($BC = h_2$).

    Дано:
    $m = 150 \space кг$
    $A_2 = 300 \space Дж$
    $g = 9.8 \frac{Н}{кг}$

    $h_1 — ?$

    Показать решение и ответ

    Скрыть

    Решение:

    При использовании рычага выигрыша в силе не получают: $A_1 = A_2$.

    Работа, совершаемая силой, приложенной к грузу:
    $A_1 = F_1s = F_1h_1$

    Выразим высоту, на которую поднят груз:
    $h_1 = \frac{A_1}{F_1} = \frac{A_2}{gm_1}$,
    $h_1 = \frac{300 \space Дж}{9.8 \frac{Н}{кг} \cdot 150 \space кг} \approx 0.2 \frac{Н \cdot м}{Н} = 0.2 \space м$.

    Ответ: $h_1 = 0.2 \space м$.

    Упражнение №2

    С помощью подвижного блока груз подняли на высоту $1.5 \space м$. На какую длину при этом был вытянут свободный конец веревки?

    Дано:
    $h = 1.5 \space м$

    $l -?$

    Показать решение и ответ

    Скрыть

    Решение:

    Подвижный блок дает выигрыш в силе в 2 раза. Тогда по «золотому правилу» механики, будет проигрыш в пути в 2 раза:
    $l = 2h$,
    $l = 2 \cdot 1.5 \space м = 3 \space м$.

    Ответ: $l = 3 \space м$.

    Упражнение №3

    Рабочий с помощью подвижного блока поднял груз на высоту $7 \space м$, прилагая к свободному концу веревки силу $160 \space Н$. Какую работу он совершил? (Вес блока и силу трения не учитывать.)

    Дано:
    $h = 7 \space м$
    $F_2 = 160 \space Н$

    $A_2 — ?$

    Показать решение и ответ

    Скрыть

    Решение:

    Работа, совершаемая рабочим:
    $A_2 =F_2 s_2 = F_2 h_2$.

    При использовании подвижного блока мы получаем проигрыш в пути в 2 раза:
    $h_2 = 2 h_1$.

    Рассчитаем работу, совершенную рабочим:
    $A_2 = F_2 \cdot 2 h_1$
    $A_2 = 160 \space Н \cdot 2 \cdot 7 \space м = 2240 \space Дж = 2.24\space кДж$.

    Ответ: $A_2 = 2.24 \space кДж$.

    Упражнение №4

    Как применить блок для выигрыша в расстоянии?

    Посмотреть ответ

    Скрыть

    Ответ:

    Используя подвижный блок, мы тянем за свободный конец веревки. Так мы получаем выигрыш в силе, но проигрываем в пути (расстоянии).

    Соответственно, чтобы получить выигрыш в расстоянии, мы должны прикрепить груз к прежде свободному концу веревки, а силу ($F_2$) прикладывать к оси блока (рисунок 6).

    Рисунок 6. Использование подвижного блока для получения выигрыша в расстоянии

    Теперь при перемещении оси блока на расстояние $s_2$, груз переместится на расстояние $s_1 = 2 \cdot s_2$.

    Упражнение №5

    Как можно соединить друг с другом неподвижные и подвижные блоки, чтобы получить выигрыш в силе в 4 раза; в 6 раз?

    Посмотреть ответ

    Скрыть

    Ответ:

    Чтобы получить выигрыш в силе в 4 раза, в конструкции должны быть 2 подвижных блока, соединенных друг с другом (рисунок 7). Каждый их них дает выигрыш в силе в 2 раза, а в сумме они дадут требуемый выигрыш в силе в 4 раза.

    Рисунок 7. Комбинация блоков, дающая выигрыш в силе в 4 раза

    По такой же логике для получения выигрыша в силе в 6 раз нам понадобится 3 подвижных блока (рисунок 8).

    Рисунок 8. Комбинация блоков, дающая выигрыш в силе в 6 раз

    Упражнение №6

    Решите упражнение №3, учитывая вес блока, равный $20 \space Н$.

    Дано:
    $h = 7 \space м$
    $F_2 = 160 \space Н$
    $P = 20 \space Н$

    $A — ?$

    Показать решение и ответ

    Скрыть

    Решение:

    Общая работа по поднятию груза и подвижного блока, совершенная рабочим, будет равна:
    $A = A_1 + A_2$.

    Работа по поднятию груза:
    $A_1 = F_2 s_2 = F_2 h_2$.

    При использовании подвижного блока мы получаем проигрыш в пути в 2 раза:
    $h_2 = 2 h_1$.

    Тогда работа по поднятию груза будет равна:
    $A_1 = F_2 \cdot 2 h_1$.

    Работа по поднятию блока:
    $A_2 = P h_1$.

    Теперь мы можем рассчитать общую работу:
    $A = F_2 \cdot 2 h_1 \space + \space P h_1 = h_1 (2 F_2 \space + \space P)$,
    $A = 7 \space м \cdot (2 \cdot 160 \space Н \space + \space 20 \space Н) = 7 \space м \cdot 340 \space Н = 2380 \space Дж = 2.38 \space кДж$.

    Ответ: $A = 2.38 \space кДж$.

    Задание

    Докажите, что закон равенства работ («золотое правило» механики) применим к гидравлической машине. Трение между поршнями и стенками сосудов не учитывайте.
    Используйте для доказательства рисунок 9. Когда малый поршень под действием силы $F_1$ опускается вниз на расстояние $h_1$, он вытесняет некоторый объем жидкости. На столько же увеличивается объем жидкости под большим поршнем, который при этом поднимается на высоту $h_2$.

    Рисунок 9. Принцип действия гидравлической машины

    Посмотреть доказательство

    Скрыть

    Доказательство:

    Для гидравлической машины нам известно следующее равенство:
    $\frac{F_2}{F_1} = \frac{S_2}{S_1}$​​.

    Давайте выразим силы $F_1$ и $F_2$ через работы, которые они совершают:
    $A_1 = F_1 h_1$,
    $F_1 = \frac{A_1}{h_1}$,
    $A_2 = F_2 h_2$,
    $F_2 = \frac{A_2}{h_2}$.

    Также нам известно, что объем воды, который вытесняет малый поршень, перемещается под большой поршень: $V_1 = V_2 = V$.

    Зная этот объем и высоту, на которую изменится столб жидкости $h_1$, мы можем выразить площадь малого поршня следующим образом:
    $V_1 = V = S_1 h_1$,
    $S_1 = \frac{V}{h_1}$.

    Сделаем то же самое для площади большого поршня:
    $V_2 = V = S_2 h_2$,
    $S_2 = \frac{V}{h_2}$.

    Теперь подставим все полученные выражения в первоначальное равенство, описывающее принцип действия гидравлической машины:
    $\frac{\frac{A_2}{h_2}}{\frac{A_1}{h_1}} = \frac{\frac{V}{h_2}}{\frac{V}{h_1}}$,
    $\frac{A_2}{A_1} \cdot \frac{h_1}{h_2} = \frac{h_1}{h_2}$,
    $\frac{A_2}{A_1} = 1$.

    Значит, «золотое правило» механики применимо к гидравлической машине:
    $A_1 = A_2$.

    5
    5
    5Количество опыта, полученного за урок

    Оценить урок

    Спасибо, что помогаете нам стать лучше!

    Комментарии

    Получить ещё подсказку

    Трудности? Воспользуйтесь подсказкой

    Верно! Посмотрите пошаговое решение