Равенство работ при использовании простых механизмов. «Золотое правило» механики

Мы рассмотрели такие простые механизмы, как рычаг и блок. С их помощью можно уравновесить одну силу действием другой. При использовании этих механизмов совершается механическая работа, которую можно рассчитать по формуле $A = Fs$, где $F$ — приложенная сила, $s$ — пройденный путь.

Также, используя простые механизмы, мы можем получить выигрыш в силе или в пути. Но будет ли тогда выигрыш в работе? На данном уроке мы получим ответ на этот вопрос.

Соотношение работ при использовании рычага

Рассмотрим простой опыт, представленный на рисунке 1.

У нас есть рычаг с точкой опоры O. Уравновесим на нем две разные по модулю силы $F_1$ и $F_2$. ($F_1 > F_2$).  Под действием сил рычаг приходит в движение. При этом мы видим, что точка приложения меньшей силы $F_2$ прошла больший путь $s_2$, чем точка приложения силы $F_1$. Т.е. $s_2 > s_1$. Если мы измерим пройденные этими точками пути и модули сил, то получим новое соотношение.

Какое соотношение существует между путями, пройденными точками приложения сил на рычаге, и этими силами?
Пути, пройденные точками приложения силы на рычаге, обратно пропорциональны силам:
$\frac{s_1}{s_2} = \frac{F_2}{F_1}$.

Из этого мы можем сделать вывод. В чем проигрывают, пользуясь рычагом, дающим выигрыш в силе?

Действуя на длинное плечо рычага, мы выигрываем в силе, но при этом во столько же раз проигрываем в пути.

Взгляните внимательнее на полученное выражение. Давайте перепишем его в виде равенства произведений:
$F_1s_1 = F_2s_2$.

По определению работы мы знаем, что $A = Fs$. Получается, что работы, совершаемые силами на рычаге, равны друг другу: $A_1 = A_2$.

При использовании рычага выигрыша в работе не получают. 

Этот принцип работает и наоборот: выигрывая в расстоянии, мы проиграем в силе.

{"questions":[{"content":"Какой выигрыш мы получаем в работе при использовании рычага?[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["В 2 раза","В 4 раза","В 10 раз","Не получаем выигрыша в работе"],"answer":[3]}}}]}

Это интересно: «Дайте мне точку опоры, и я подниму Землю!»

Вспомните знаменитую фразу Архимеда: «Дайте мне точку опоры, и я подниму Землю!» Если посмотреть на это громкое заявление с нашими новыми знаниями, то точка опоры должна была бы быть вне Земли (рисунок 2).

Чтобы «поднять» Землю на $1 \space см$, противоположный конец рычага должен описать дугу в $1018 \space км$. Наделим нашего воображаемого Архимеда мощностью в 1 лошадиную силу (поднимает $60 \space кг$ за $1 \space с$ на высоту $1 \space м$). Тогда для подъема Земли на $1 \space см$ ему понадобится 16 миллиардов лет.

{"questions":[{"content":"При воздействии на длинное плечо рычага мы получаем[[choice-6]]","widgets":{"choice-6":{"type":"choice","options":["Выигрыш в силе","Проигрыш в пути","Выигрыш в пути","Проигрыш в силе"],"answer":[0,1]}}}]}

Соотношение работ при использовании неподвижного блока

При использовании неподвижного блока (рисунок 3) мы не получаем выигрыша в силе: $F_1 = F_2$. Пути, которые пройдут точки A и B (точки приложения сил $F_1$ и $F_2$), будут тоже одинаковы. Значит, одинаковы и работы, совершаемые этими силами ($A_1 = A_2$).

Использование неподвижного блока не дает выигрыша в работе.

{"questions":[{"content":"При использовании неподвижного блока мы получаем выигрыш в совершенной механической работе[[choice-10]]","widgets":{"choice-10":{"type":"choice","options":["В 2 раза","В 4 раза","В 10 раз","Не получаем выигрыша"],"answer":[3]}}}]}

Соотношение работ при использовании подвижного блока

Проведем опыт. Измерим и сравним между собой работы, совершаемые при использовании подвижного блока (рисунок 4).

Нам необходимо поднять груз на высоту $h$. Свободный конец веревки прикреплен к динамометру. Чтобы груз оказался на нужной высоте, нам придется переместить конец веревки на высоту $2h$.

Во сколько раз проигрывают в пути, используя для поднятия грузов подвижный блок?

Получив выигрыш в силе в 2 раза, получают проигрыш в пути в 2 раза.

Работы, совершаемые приложенными силами, равны. Использование подвижного блока не дает выигрыша в работе.

{"questions":[{"content":"Какой простой механизм дает выигрыш в работе?[[choice-12]]","widgets":{"choice-12":{"type":"choice","options":["Никакой из перечисленных","Рычаг","Подвижный блок","Неподвижный блок"],"answer":[0]}}}]}

«Золотое правило» механики

Использование других простых механизмов в течение многих веков показало, что ни один из них не дает выигрыша в работе. Только в силе или в пути.

Мы подошли к «золотому правилу» механики, которое гласит:

Во сколько раз получаем выигрыш в силе, во столько раз проигрываем в расстоянии (пути).

{"questions":[{"content":"Соотношение $\\frac{F_1}{F_2} = \\frac{l_2}{l_1}$ называется[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["правилом равновесия рычага","правилом равновесия блока","законом Гука","правилом плеч рычага"],"answer":[0]}},"hints":[]}]}

Упражнения

Изобразим графически данный рычаг (рисунок 5).

AB — рычаг с точкой опоры O. $F_1$ — сила тяжести груза, $F_2$ — сила, приложенная рабочим. $l_1$ и $l_2$ — плечи сил. Отрезок AD — это высота, на которую рабочий понял груз ($AD = h_1$), отрезок $BC$ — высота, на которую рабочий опустил длинное плечо рычага ($BC = h_2$).

Дано:
$m = 150 \space кг$
$A_2 = 300 \space Дж$
$g = 9.8 \frac{Н}{кг}$

$h_1 — ?$

Показать решение и ответ

Скрыть

Дано:
$h = 1.5 \space м$

$l -?$

Показать решение и ответ

Скрыть

Дано:
$h = 7 \space м$
$F_2 = 160 \space Н$

$A_2 — ?$

Показать решение и ответ

Скрыть

Посмотреть ответ

Скрыть

Ответ:

Используя подвижный блок, мы тянем за свободный конец веревки. Так мы получаем выигрыш в силе, но проигрываем в пути (расстоянии).

Соответственно, чтобы получить выигрыш в расстоянии, мы должны прикрепить груз к прежде свободному концу веревки, а силу ($F_2$) прикладывать к оси блока (рисунок 6).

Теперь при перемещении оси блока на расстояние $s_2$, груз переместится на расстояние $s_1 = 2 \cdot s_2$.

Посмотреть ответ

Скрыть

Ответ:

Чтобы получить выигрыш в силе в 4 раза, в конструкции должны быть 2 подвижных блока, соединенных друг с другом (рисунок 7). Каждый их них дает выигрыш в силе в 2 раза, а в сумме они дадут требуемый выигрыш в силе в 4 раза.

По такой же логике для получения выигрыша в силе в 6 раз нам понадобится 3 подвижных блока (рисунок 8).

Дано:
$h = 7 \space м$
$F_2 = 160 \space Н$
$P = 20 \space Н$

$A — ?$

Показать решение и ответ

Скрыть

Посмотреть доказательство

Скрыть