Личный кабинет Кабинет родителя Кабинет учителя Настройки Выйти Войти Регистрация
ТРЕНАЖЁРЫ
КУРСЫ
НАЗНАЧИТЬ

Равенство работ при использовании простых механизмов. «Золотое правило» механики

Содержание

    Мы рассмотрели такие простые механизмы, как рычаг и блок. С их помощью можно уравновесить одну силу действием другой. При использовании этих механизмов совершается механическая работа, которую можно рассчитать по формуле $A = Fs$, где $F$ — приложенная сила, $s$ — пройденный путь.

    Также, используя простые механизмы, мы можем получить выигрыш в силе или в пути. Но будет ли тогда выигрыш в работе? На данном уроке мы получим ответ на этот вопрос.

    Соотношение работ при использовании рычага

    Рассмотрим простой опыт, представленный на рисунке 1.

    Рисунок 1. Рычаг, к которому приложены силы $F_1$ и $F_2$

    У нас есть рычаг с точкой опоры O. Уравновесим на нем две разные по модулю силы $F_1$ и $F_2$. ($F_1 > F_2$).  Под действием сил рычаг приходит в движение. При этом мы видим, что точка приложения меньшей силы $F_2$ прошла больший путь $s_2$, чем точка приложения силы $F_1$. Т.е. $s_2 > s_1$. Если мы измерим пройденные этими точками пути и модули сил, то получим новое соотношение.

    Какое соотношение существует между путями, пройденными точками приложения сил на рычаге, и этими силами?
    Пути, пройденные точками приложения силы на рычаге, обратно пропорциональны силам:
    $\frac{s_1}{s_2} = \frac{F_2}{F_1}$.

    Из этого мы можем сделать вывод. В чем проигрывают, пользуясь рычагом, дающим выигрыш в силе?

    Действуя на длинное плечо рычага, мы выигрываем в силе, но при этом во столько же раз проигрываем в пути.

    Взгляните внимательнее на полученное выражение. Давайте перепишем его в виде равенства произведений:
    $F_1s_1 = F_2s_2$.

    По определению работы мы знаем, что $A = Fs$. Получается, что работы, совершаемые силами на рычаге, равны друг другу: $A_1 = A_2$.

    При использовании рычага выигрыша в работе не получают. 

    Соответственно, рычаг позволяет нам получить выигрыш или в силе, или в пути. Прикладывая силу к длинному плечу:

    • Получим выигрыш в силе;
    • Получим проигрыш в расстоянии (во столько же раз, во сколько получим выигрыш в силе).

    Этот принцип работает и наоборот: выигрывая в расстоянии, мы проиграем в силе.

    Это интересно: «Дайте мне точку опоры, и я подниму Землю!»

    Вспомните знаменитую фразу Архимеда: «Дайте мне точку опоры, и я подниму Землю!» Если посмотреть на это громкое заявление с нашими новыми знаниями, то точка опоры должна была бы быть вне Земли (рисунок 2).

    Рисунок 2. Рычаг Архимеда для поднятия Земли

    Чтобы «поднять» Землю на $1 \space см$, противоположный конец рычага должен описать дугу в $1018 \space км$. Наделим нашего воображаемого Архимеда мощностью в 1 лошадиную силу (поднимает $60 \space кг$ за $1 \space с$ на высоту $1 \space м$). Тогда для подъема Земли на $1 \space см$ ему понадобится 16 миллиардов лет.

    Соотношение работ при использовании неподвижного блока

    При использовании неподвижного блока (рисунок 3) мы не получаем выигрыша в силе: $F_1 = F_2$. Пути, которые пройдут точки A и B (точки приложения сил $F_1$ и $F_2$), будут тоже одинаковы. Значит, одинаковы и работы, совершаемые этими силами ($A_1 = A_2$).

    Рисунок 3. Использование неподвижного блока

    Использование неподвижного блока не дает выигрыша в работе.

    Соотношение работ при использовании подвижного блока

    Проведем опыт. Измерим и сравним между собой работы, совершаемые при использовании подвижного блока (рисунок 4).

    Рисунок 4. Совершение работы при использовании подвижного блока

    Нам необходимо поднять груз на высоту $h$. Свободный конец веревки прикреплен к динамометру. Чтобы груз оказался на нужной высоте, нам придется переместить конец веревки на высоту $2h$.

    Во сколько раз проигрывают в пути, используя для поднятия грузов подвижный блок?

    Получив выигрыш в силе в 2 раза, получают проигрыш в пути в 2 раза.

    Работы, совершаемые приложенными силами, равны. Использование подвижного блока не дает выигрыша в работе.

    «Золотое правило» механики

    Использование других простых механизмов в течение многих веков показало, что ни один из них не дает выигрыша в работе. Только в силе или в пути.

    Мы подошли к «золотому правилу» механики, которое гласит:

    Во сколько раз получаем выигрыш в силе, во столько раз проигрываем в расстоянии (пути).

    Упражнения

    Упражнение №1

    Рабочий с помощью рычага поднял груз массой $150 \space кг$. Приложенная им сила совершила работу в $300 \space Дж$. На какую высоту рабочий поднял груз? Сделайте чертеж.

    Изобразим графически данный рычаг (рисунок 5).

    Рисунок 5. Чертеж к упражнению №1

    AB — рычаг с точкой опоры O. $F_1$ — сила тяжести груза, $F_2$ — сила, приложенная рабочим. $l_1$ и $l_2$ — плечи сил. Отрезок AD — это высота, на которую рабочий понял груз ($AD = h_1$), отрезок $BC$ — высота, на которую рабочий опустил длинное плечо рычага ($BC = h_2$).

    Дано:
    $m = 150 \space кг$
    $A_2 = 300 \space Дж$
    $g = 9.8 \frac{Н}{кг}$

    $h_1 — ?$

    Показать решение и ответ

    Скрыть

    Решение:

    При использовании рычага выигрыша в силе не получают: $A_1 = A_2$.

    Работа, совершаемая силой, приложенной к грузу:
    $A_1 = F_1s = F_1h_1$

    Выразим высоту, на которую поднят груз:
    $h_1 = \frac{A_1}{F_1} = \frac{A_2}{gm_1}$,
    $h_1 = \frac{300 \space Дж}{9.8 \frac{Н}{кг} \cdot 150 \space кг} \approx 0.2 \frac{Н \cdot м}{Н} = 0.2 \space м$.

    Ответ: $h_1 = 0.2 \space м$.

    Упражнение №2

    С помощью подвижного блока груз подняли на высоту $1.5 \space м$. На какую длину при этом был вытянут свободный конец веревки?

    Дано:
    $h = 1.5 \space м$

    $l -?$

    Показать решение и ответ

    Скрыть

    Решение:

    Подвижный блок дает выигрыш в силе в 2 раза. Тогда по «золотому правилу» механики, будет проигрыш в пути в 2 раза:
    $l = 2h$,
    $l = 2 \cdot 1.5 \space м = 3 \space м$.

    Ответ: $l = 3 \space м$.

    Упражнение №3

    Рабочий с помощью подвижного блока поднял груз на высоту $7 \space м$, прилагая к свободному концу веревки силу $160 \space Н$. Какую работу он совершил? (Вес блока и силу трения не учитывать.)

    Дано:
    $h = 7 \space м$
    $F_2 = 160 \space Н$

    $A_2 — ?$

    Показать решение и ответ

    Скрыть

    Решение:

    Работа, совершаемая рабочим:
    $A_2 =F_2 s_2 = F_2 h_2$.

    При использовании подвижного блока мы получаем проигрыш в пути в 2 раза:
    $h_2 = 2 h_1$.

    Рассчитаем работу, совершенную рабочим:
    $A_2 = F_2 \cdot 2 h_1$
    $A_2 = 160 \space Н \cdot 2 \cdot 7 \space м = 2240 \space Дж = 2.24\space кДж$.

    Ответ: $A_2 = 2.24 \space кДж$.

    Упражнение №4

    Как применить блок для выигрыша в расстоянии?

    Посмотреть ответ

    Скрыть

    Ответ:

    Используя подвижный блок, мы тянем за свободный конец веревки. Так мы получаем выигрыш в силе, но проигрываем в пути (расстоянии).

    Соответственно, чтобы получить выигрыш в расстоянии, мы должны прикрепить груз к прежде свободному концу веревки, а силу ($F_2$) прикладывать к оси блока (рисунок 6).

    Рисунок 6. Использование подвижного блока для получения выигрыша в расстоянии

    Теперь при перемещении оси блока на расстояние $s_2$, груз переместится на расстояние $s_1 = 2 \cdot s_2$.

    Упражнение №5

    Как можно соединить друг с другом неподвижные и подвижные блоки, чтобы получить выигрыш в силе в 4 раза; в 6 раз?

    Посмотреть ответ

    Скрыть

    Ответ:

    Чтобы получить выигрыш в силе в 4 раза, в конструкции должны быть 2 подвижных блока, соединенных друг с другом (рисунок 7). Каждый их них дает выигрыш в силе в 2 раза, а в сумме они дадут требуемый выигрыш в силе в 4 раза.

    Рисунок 7. Комбинация блоков, дающая выигрыш в силе в 4 раза

    По такой же логике для получения выигрыша в силе в 6 раз нам понадобится 3 подвижных блока (рисунок 8).

    Рисунок 8. Комбинация блоков, дающая выигрыш в силе в 6 раз

    Упражнение №6

    Решите упражнение №3, учитывая вес блока, равный $20 \space Н$.

    Дано:
    $h = 7 \space м$
    $F_2 = 160 \space Н$
    $P = 20 \space Н$

    $A — ?$

    Показать решение и ответ

    Скрыть

    Решение:

    Общая работа по поднятию груза и подвижного блока, совершенная рабочим, будет равна:
    $A = A_1 + A_2$.

    Работа по поднятию груза:
    $A_1 = F_2 s_2 = F_2 h_2$.

    При использовании подвижного блока мы получаем проигрыш в пути в 2 раза:
    $h_2 = 2 h_1$.

    Тогда работа по поднятию груза будет равна:
    $A_1 = F_2 \cdot 2 h_1$.

    Работа по поднятию блока:
    $A_2 = P h_1$.

    Теперь мы можем рассчитать общую работу:
    $A = F_2 \cdot 2 h_1 \space + \space P h_1 = h_1 (2 F_2 \space + \space P)$,
    $A = 7 \space м \cdot (2 \cdot 160 \space Н \space + \space 20 \space Н) = 7 \space м \cdot 340 \space Н = 2380 \space Дж = 2.38 \space кДж$.

    Ответ: $A = 2.38 \space кДж$.

    Задание

    Докажите, что закон равенства работ («золотое правило» механики) применим к гидравлической машине. Трение между поршнями и стенками сосудов не учитывайте.
    Используйте для доказательства рисунок 9. Когда малый поршень под действием силы $F_1$ опускается вниз на расстояние $h_1$, он вытесняет некоторый объем жидкости. На столько же увеличивается объем жидкости под большим поршнем, который при этом поднимается на высоту $h_2$.

    Рисунок 9. Принцип действия гидравлической машины

    Посмотреть доказательство

    Скрыть

    Доказательство:

    Для гидравлической машины нам известно следующее равенство:
    $\frac{F_2}{F_1} = \frac{S_2}{S_1}$​​.

    Давайте выразим силы $F_1$ и $F_2$ через работы, которые они совершают:
    $A_1 = F_1 h_1$,
    $F_1 = \frac{A_1}{h_1}$,
    $A_2 = F_2 h_2$,
    $F_2 = \frac{A_2}{h_2}$.

    Также нам известно, что объем воды, который вытесняет малый поршень, перемещается под большой поршень: $V_1 = V_2 = V$.

    Зная этот объем и высоту, на которую изменится столб жидкости $h_1$, мы можем выразить площадь малого поршня следующим образом:
    $V_1 = V = S_1 h_1$,
    $S_1 = \frac{V}{h_1}$.

    Сделаем то же самое для площади большого поршня:
    $V_2 = V = S_2 h_2$,
    $S_2 = \frac{V}{h_2}$.

    Теперь подставим все полученные выражения в первоначальное равенство, описывающее принцип действия гидравлической машины:
    $\frac{\frac{A_2}{h_2}}{\frac{A_1}{h_1}} = \frac{\frac{V}{h_2}}{\frac{V}{h_1}}$,
    $\frac{A_2}{A_1} \cdot \frac{h_1}{h_2} = \frac{h_1}{h_2}$,
    $\frac{A_2}{A_1} = 1$.

    Значит, «золотое правило» механики применимо к гидравлической машине:
    $A_1 = A_2$.

    5
    5
    1
    5Количество опыта, полученного за урок

    Оценить урок

    Спасибо, что помогаете нам стать лучше!

    Закрепим термины с карточками?

    Простые механизмы: рычаг и блок. Момент силы, «золотое правило» механики
    Комментарии

    Получить ещё подсказку

    Трудности? Воспользуйтесь подсказкой

    Верно! Посмотрите пошаговое решение

    НАЗНАЧИТЬ