Равенство работ при использовании простых механизмов. «Золотое правило» механики
Содержание
Мы рассмотрели такие простые механизмы, как рычаг и блок. С их помощью можно уравновесить одну силу действием другой. При использовании этих механизмов совершается механическая работа, которую можно рассчитать по формуле $A = Fs$, где $F$ — приложенная сила, $s$ — пройденный путь.
Также, используя простые механизмы, мы можем получить выигрыш в силе или в пути. Но будет ли тогда выигрыш в работе? На данном уроке мы получим ответ на этот вопрос.
Соотношение работ при использовании рычага
Рассмотрим простой опыт, представленный на рисунке 1.
У нас есть рычаг с точкой опоры O. Уравновесим на нем две разные по модулю силы $F_1$ и $F_2$. ($F_1 > F_2$). Под действием сил рычаг приходит в движение. При этом мы видим, что точка приложения меньшей силы $F_2$ прошла больший путь $s_2$, чем точка приложения силы $F_1$. Т.е. $s_2 > s_1$. Если мы измерим пройденные этими точками пути и модули сил, то получим новое соотношение.
Какое соотношение существует между путями, пройденными точками приложения сил на рычаге, и этими силами?
Пути, пройденные точками приложения силы на рычаге, обратно пропорциональны силам:
$\frac{s_1}{s_2} = \frac{F_2}{F_1}$.
Из этого мы можем сделать вывод. В чем проигрывают, пользуясь рычагом, дающим выигрыш в силе?
Действуя на длинное плечо рычага, мы выигрываем в силе, но при этом во столько же раз проигрываем в пути.
Взгляните внимательнее на полученное выражение. Давайте перепишем его в виде равенства произведений:
$F_1s_1 = F_2s_2$.
По определению работы мы знаем, что $A = Fs$. Получается, что работы, совершаемые силами на рычаге, равны друг другу: $A_1 = A_2$.
При использовании рычага выигрыша в работе не получают.
Соответственно, рычаг позволяет нам получить выигрыш или в силе, или в пути. Прикладывая силу к длинному плечу:
- Получим выигрыш в силе;
- Получим проигрыш в расстоянии (во столько же раз, во сколько получим выигрыш в силе).
Этот принцип работает и наоборот: выигрывая в расстоянии, мы проиграем в силе.
Это интересно: «Дайте мне точку опоры, и я подниму Землю!»
Вспомните знаменитую фразу Архимеда: «Дайте мне точку опоры, и я подниму Землю!» Если посмотреть на это громкое заявление с нашими новыми знаниями, то точка опоры должна была бы быть вне Земли (рисунок 2).
Чтобы «поднять» Землю на $1 \space см$, противоположный конец рычага должен описать дугу в $1018 \space км$. Наделим нашего воображаемого Архимеда мощностью в 1 лошадиную силу (поднимает $60 \space кг$ за $1 \space с$ на высоту $1 \space м$). Тогда для подъема Земли на $1 \space см$ ему понадобится 16 миллиардов лет.
Соотношение работ при использовании неподвижного блока
При использовании неподвижного блока (рисунок 3) мы не получаем выигрыша в силе: $F_1 = F_2$. Пути, которые пройдут точки A и B (точки приложения сил $F_1$ и $F_2$), будут тоже одинаковы. Значит, одинаковы и работы, совершаемые этими силами ($A_1 = A_2$).
Использование неподвижного блока не дает выигрыша в работе.
Соотношение работ при использовании подвижного блока
Проведем опыт. Измерим и сравним между собой работы, совершаемые при использовании подвижного блока (рисунок 4).
Нам необходимо поднять груз на высоту $h$. Свободный конец веревки прикреплен к динамометру. Чтобы груз оказался на нужной высоте, нам придется переместить конец веревки на высоту $2h$.
Во сколько раз проигрывают в пути, используя для поднятия грузов подвижный блок?
Получив выигрыш в силе в 2 раза, получают проигрыш в пути в 2 раза.
Работы, совершаемые приложенными силами, равны. Использование подвижного блока не дает выигрыша в работе.
«Золотое правило» механики
Использование других простых механизмов в течение многих веков показало, что ни один из них не дает выигрыша в работе. Только в силе или в пути.
Мы подошли к «золотому правилу» механики, которое гласит:
Во сколько раз получаем выигрыш в силе, во столько раз проигрываем в расстоянии (пути).
Упражнения
Упражнение №1
Рабочий с помощью рычага поднял груз массой $150 \space кг$. Приложенная им сила совершила работу в $300 \space Дж$. На какую высоту рабочий поднял груз? Сделайте чертеж.
Изобразим графически данный рычаг (рисунок 5).
AB — рычаг с точкой опоры O. $F_1$ — сила тяжести груза, $F_2$ — сила, приложенная рабочим. $l_1$ и $l_2$ — плечи сил. Отрезок AD — это высота, на которую рабочий понял груз ($AD = h_1$), отрезок $BC$ — высота, на которую рабочий опустил длинное плечо рычага ($BC = h_2$).
Дано:
$m = 150 \space кг$
$A_2 = 300 \space Дж$
$g = 9.8 \frac{Н}{кг}$
$h_1 — ?$
Показать решение и ответ
Скрыть
Решение:
При использовании рычага выигрыша в силе не получают: $A_1 = A_2$.
Работа, совершаемая силой, приложенной к грузу:
$A_1 = F_1s = F_1h_1$
Выразим высоту, на которую поднят груз:
$h_1 = \frac{A_1}{F_1} = \frac{A_2}{gm_1}$,
$h_1 = \frac{300 \space Дж}{9.8 \frac{Н}{кг} \cdot 150 \space кг} \approx 0.2 \frac{Н \cdot м}{Н} = 0.2 \space м$.
Ответ: $h_1 = 0.2 \space м$.
Упражнение №2
С помощью подвижного блока груз подняли на высоту $1.5 \space м$. На какую длину при этом был вытянут свободный конец веревки?
Дано:
$h = 1.5 \space м$
$l -?$
Показать решение и ответ
Скрыть
Решение:
Подвижный блок дает выигрыш в силе в 2 раза. Тогда по «золотому правилу» механики, будет проигрыш в пути в 2 раза:
$l = 2h$,
$l = 2 \cdot 1.5 \space м = 3 \space м$.
Ответ: $l = 3 \space м$.
Упражнение №3
Рабочий с помощью подвижного блока поднял груз на высоту $7 \space м$, прилагая к свободному концу веревки силу $160 \space Н$. Какую работу он совершил? (Вес блока и силу трения не учитывать.)
Дано:
$h = 7 \space м$
$F_2 = 160 \space Н$
$A_2 — ?$
Показать решение и ответ
Скрыть
Решение:
Работа, совершаемая рабочим:
$A_2 =F_2 s_2 = F_2 h_2$.
При использовании подвижного блока мы получаем проигрыш в пути в 2 раза:
$h_2 = 2 h_1$.
Рассчитаем работу, совершенную рабочим:
$A_2 = F_2 \cdot 2 h_1$
$A_2 = 160 \space Н \cdot 2 \cdot 7 \space м = 2240 \space Дж = 2.24\space кДж$.
Ответ: $A_2 = 2.24 \space кДж$.
Упражнение №4
Как применить блок для выигрыша в расстоянии?
Посмотреть ответ
Скрыть
Ответ:
Используя подвижный блок, мы тянем за свободный конец веревки. Так мы получаем выигрыш в силе, но проигрываем в пути (расстоянии).
Соответственно, чтобы получить выигрыш в расстоянии, мы должны прикрепить груз к прежде свободному концу веревки, а силу ($F_2$) прикладывать к оси блока (рисунок 6).
Теперь при перемещении оси блока на расстояние $s_2$, груз переместится на расстояние $s_1 = 2 \cdot s_2$.
Упражнение №5
Как можно соединить друг с другом неподвижные и подвижные блоки, чтобы получить выигрыш в силе в 4 раза; в 6 раз?
Посмотреть ответ
Скрыть
Ответ:
Чтобы получить выигрыш в силе в 4 раза, в конструкции должны быть 2 подвижных блока, соединенных друг с другом (рисунок 7). Каждый их них дает выигрыш в силе в 2 раза, а в сумме они дадут требуемый выигрыш в силе в 4 раза.
По такой же логике для получения выигрыша в силе в 6 раз нам понадобится 3 подвижных блока (рисунок 8).
Упражнение №6
Решите упражнение №3, учитывая вес блока, равный $20 \space Н$.
Дано:
$h = 7 \space м$
$F_2 = 160 \space Н$
$P = 20 \space Н$
$A — ?$
Показать решение и ответ
Скрыть
Решение:
Общая работа по поднятию груза и подвижного блока, совершенная рабочим, будет равна:
$A = A_1 + A_2$.
Работа по поднятию груза:
$A_1 = F_2 s_2 = F_2 h_2$.
При использовании подвижного блока мы получаем проигрыш в пути в 2 раза:
$h_2 = 2 h_1$.
Тогда работа по поднятию груза будет равна:
$A_1 = F_2 \cdot 2 h_1$.
Работа по поднятию блока:
$A_2 = P h_1$.
Теперь мы можем рассчитать общую работу:
$A = F_2 \cdot 2 h_1 \space + \space P h_1 = h_1 (2 F_2 \space + \space P)$,
$A = 7 \space м \cdot (2 \cdot 160 \space Н \space + \space 20 \space Н) = 7 \space м \cdot 340 \space Н = 2380 \space Дж = 2.38 \space кДж$.
Ответ: $A = 2.38 \space кДж$.
Задание
Докажите, что закон равенства работ («золотое правило» механики) применим к гидравлической машине. Трение между поршнями и стенками сосудов не учитывайте.
Используйте для доказательства рисунок 9. Когда малый поршень под действием силы $F_1$ опускается вниз на расстояние $h_1$, он вытесняет некоторый объем жидкости. На столько же увеличивается объем жидкости под большим поршнем, который при этом поднимается на высоту $h_2$.
Посмотреть доказательство
Скрыть
Доказательство:
Для гидравлической машины нам известно следующее равенство:
$\frac{F_2}{F_1} = \frac{S_2}{S_1}$.
Давайте выразим силы $F_1$ и $F_2$ через работы, которые они совершают:
$A_1 = F_1 h_1$,
$F_1 = \frac{A_1}{h_1}$,
$A_2 = F_2 h_2$,
$F_2 = \frac{A_2}{h_2}$.
Также нам известно, что объем воды, который вытесняет малый поршень, перемещается под большой поршень: $V_1 = V_2 = V$.
Зная этот объем и высоту, на которую изменится столб жидкости $h_1$, мы можем выразить площадь малого поршня следующим образом:
$V_1 = V = S_1 h_1$,
$S_1 = \frac{V}{h_1}$.
Сделаем то же самое для площади большого поршня:
$V_2 = V = S_2 h_2$,
$S_2 = \frac{V}{h_2}$.
Теперь подставим все полученные выражения в первоначальное равенство, описывающее принцип действия гидравлической машины:
$\frac{\frac{A_2}{h_2}}{\frac{A_1}{h_1}} = \frac{\frac{V}{h_2}}{\frac{V}{h_1}}$,
$\frac{A_2}{A_1} \cdot \frac{h_1}{h_2} = \frac{h_1}{h_2}$,
$\frac{A_2}{A_1} = 1$.
Значит, «золотое правило» механики применимо к гидравлической машине:
$A_1 = A_2$.
55
Хотите оставить комментарий?
Войти