18. Задача с параметром: Системы с параметром

Преобразование уравнения:

Уравнение равносильно системе:
$$\begin{cases} x^2-4x+a=0 \\ 5x^2-6ax+a^2 \neq0 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} a=-x^2+4x \\a \neq x \\ a\neq 5x \end{cases}$$

Анализ корней:

• Квадратное уравнение $x^2-4x+a=0$ имеет:
• Дискриминант $D=16-4a$
• Два различных корня при $D>0$ ($a<4$)
• Исключаем случаи, когда корень совпадает с запретными значениями:
  $$a=x: -x^2+4x=x\Rightarrow x=0,3$$
  $$a=5x: -x^2+4x=5x\Rightarrow x=0,-1$$

Особые случаи:

• При $a=4$: один корень (кратности 2)
• При $a=0,3,-5$: один корень теряется

Итоговые условия:

• Два различных корня при:
  $$a\in(-\infty;-5)\cup(-5;0)\cup(0;3)\cup(3;4)$$

Ответ: $a\in(-\infty;-5)\cup(-5;0)\cup(0;3)\cup(3;4)$

Преобразуем второе уравнение:
$$x^2-xy+2x-2y=0 \Rightarrow (x-y)(x+2)=0 \Rightarrow x=y \text{ или } x=-2$$

Случай 1: $x=-2$
Подставляем в первое уравнение:
$$2+|2y|=2a \Rightarrow |y|=a-1$$
Условия:

• $a\geq1$
• Решения: $(-2,a-1)$ и $(-2,1-a)$
• При $a=1$ решения совпадают

Случай 2: $x=y$
Подставляем в первое уравнение:
$$3|y|=2a \Rightarrow y=\pm\frac{2a}{3}$$
Условия:

• $a>0$
• Решения: $(\frac{2a}{3},\frac{2a}{3})$ и $(-\frac{2a}{3},-\frac{2a}{3})$
• При $a=0$ решения совпадают

Условия для $4$ решений:

• $a>1$ (чтобы было $2$ решения в первом случае)
• Исключить случай, когда $(-2,-2)$ является решением (при $a=3$)
• Таким образом: $13$

Ответ: $a\in(1,3)\cup(3,+\infty)$

Запишем первое уравнение системы в виде: $$ \dfrac{(y- 5)(y- 2- x)}{\sqrt{x + 4} \cdot \sqrt{6- y}} = 0 $$

При $x \leq -4$ и $y \geq 6$ левая часть не имеет смысла. При $x > -4$ и $y < 6$ уравнение задает части прямых $y = 5$ и $y = x + 2$ (см. рис.).

Графиком уравнения второго уравнения исходной системы $y = a(x- 4)$ является пучок прямых, проходящих через точку $A(4; 0).$ Число решений исходной системы равно числу точек пересечения прямых $y = 5$ и $y = x + 2$ с прямой $y = a(x- 4)$ при условии $x > -4$ и $y < 6.$

При $x > -4$ прямая $y = a(x- 4)$ пересекает прямую $y = 5,$ если $a < -\dfrac{5}{8}$ или если $a > 0.$ При $x > -4$ и $y < 6$ прямая $y = a(x- 4)$ пересекает прямую $y = x + 2,$ если $a < \dfrac{1}{4}.$ При $a = -5$ прямая $y = a(x- 4)$ проходит через точку пересечения прямых $y = 5$ и $y = x- 2.$

Таким образом, исходная система имеет единственное решение при $a = -5,$ при $-\dfrac{5}{8} \leq a \leq 0$ и при $a \geq \dfrac{1}{4}.$

Ответ: $(-5) \cup [-\dfrac{5}{8}; 0] \cup [\dfrac{1}{4}; +\infty).$

Преобразуем систему:

$$ \begin{cases} 2x + a(2y + 1) = 3 \\ x(|y| + 2) = 3 \Rightarrow x = \dfrac{3}{|y| + 2}\end{cases} $$

Второе уравнение задает функцию:
$$ x = \dfrac{3}{|y| + 2} $$
что эквивалентно:
$$ |y| = \dfrac{3}{x}- 2 \quad \text{при} \quad 0 < x \leq \dfrac{3}{2} $$

График состоит из двух ветвей:
— При $y \geq 0{:}$ $y = \dfrac{3}{x}- 2$
— При $y < 0{:}$ $y = 2- \dfrac{3}{x}$

Первое уравнение:
$$ 2x + a(2y + 1) = 3 $$ представляет собой пучок прямых, проходящих через точку $\left(\dfrac{3}{2}; -\dfrac{1}{2}\right).$

Исследуем количество решений системы.

$1.$ При $a = 0{:}$ первое уравнение становится $2x = 3 \Rightarrow x = \dfrac{3}{2}$
Подставляем во второе: $\dfrac{3}{2}(|y| + 2) = 3 \Rightarrow |y| + 2 = 2 \Rightarrow |y| = 0 \Rightarrow y = 0$
Система имеет единственное решение $(\dfrac{3}{2}; 0).$

$2.$ При $a \neq 0{:}$ выразим $y$ из первого уравнения: $$ 2ay = 3- 2x- a \Rightarrow y = \dfrac{3- 2x- a}{2a} $$ Подставляем во второе уравнение и анализируем количество точек пересечения.

После анализа получаем, что система имеет ровно одно решение при:
— $a \leq 0$
— $a > \dfrac{1}{3}$

$3.$ При $0 < a \leq \dfrac{1}{3}$ система имеет два решения.

Ответ: $a \in (-\infty; 0] \cup \left(\dfrac{1}{3}; +\infty\right).$

Заметим, что параметр $a$ неотрицателен, так как сумма модулей не может быть отрицательной. При $a = 0$ получаем $x = y = 0,$ что не удовлетворяет второму уравнению. При $a > 0$ уравнение $|x| + |y| = a$ задает на координатной плоскости квадрат с вершинами $(a;0),$ $(0;a),$ $(-a;0),$ $(0;-a).$

График второго уравнения $y = \sqrt{x+4}$ определен при $x \geq -4$ и представляет собой верхнюю половину параболы, сдвинутой влево на 4 единицы.

Исследуем количество точек пересечения квадрата и параболы.

$1.$ При $0 < a < 2$ парабола не пересекает квадрат — решений нет.

$2.$ При $a = 2$ парабола касается квадрата в точке $(-2;2)$ — одно решение.

$3.$ При $2 < a < 4$ парабола пересекает квадрат в двух точках — два решения.

$4.$ При $a = 4$ парабола проходит через вершину квадрата $(0;4)$ и пересекает его еще в одной точке — три решения.

$5.$ При $a > 4$ возможны два случая. Найдем значение $a,$ при котором парабола касается левой стороны квадрата $x = -a$ при $y \geq 0.$ Подставим $x = -a$ в уравнение параболы:
$$ y = \sqrt{-a + 4} $$
Эта точка лежит на стороне квадрата $|x| + |y| = a,$ если:
$$ a + \sqrt{4- a} = a \quad \Rightarrow \quad \sqrt{4- a} = 0 \quad \Rightarrow \quad a = 4 $$
Таким образом, при $a > 4$ парабола всегда пересекает квадрат в двух точках, за исключением случая касания.

Найдем значение $a,$ при котором парабола касается нижней стороны квадрата $y = -x- a$ при $x < 0.$ Для этого решим систему:
$$ \begin{cases}y = -x- a, \\ y = \sqrt{x+4}\end{cases}\Rightarrow \quad -x- a = \sqrt{x+4} $$
Возведем в квадрат:
$$ x^2 + 2ax + a^2 = x + 4 \quad \Rightarrow \quad x^2 + (2a- 1)x + (a^2- 4) = 0 $$
Условие касания: дискриминант равен нулю:
$$ D = (2a- 1)^2- 4(a^2- 4) = 4a^2- 4a + 1- 4a^2 + 16 = -4a + 17 = 0 \Rightarrow a = \frac{17}{4} = 4.25 $$
При этом значении система имеет одно решение на нижней стороне квадрата, а на верхней — еще одно, всего два решения.

Таким образом, система имеет два решения при:
$$ 2 < a < 4 \quad \text{и} \quad a = 4.25 $$

Ответ: $(2; 4) \cup {4.25}.$

Запишем первое уравнение системы в виде

$$ \frac{(y- 2)(xy- 4)}{\sqrt{x + 4}} = 0. $$

При $x \leq -4$ левая часть не имеет смысла. При $x > -4$ уравнение задает прямую $y = 2$ и гиперболу $y = \dfrac{4}{x}$ (см. рис.).

При каждом значении $a$ уравнение $y = ax$ задает прямую с угловым коэффициентом $a,$ проходящую через начало координат. Число решений исходной системы равно числу точек пересечения прямой $y = 2$ и гиперболы $y = \dfrac{4}{x}$ с прямой $y = ax$ при условии $x > -4.$

Прямая $y = ax$ пересекает прямую $y = 2$ при $a < -\dfrac{1}{2}$ и при $a > 0$; пересекает правую ветвь гиперболы при $a > 0,$ пересекает левую ветвь гиперболы при $a > \dfrac{1}{4},$ проходит через точку пересечения прямой $y = 2$ и гиперболы при $a = 1.$

Таким образом, исходная система имеет ровно два решения при $0 < a \leq \frac{1}{4}$ и при $a = 1.$

Ответ: $0 < a \leq \dfrac{1}{4},$ $a = 1.$

Преобразуем систему:

$$ \begin{cases} |3x| + |4y| = 12a \\ x^2 + (y- 5)^2 = 25.\end{cases} $$

При $a < 0$ система не имеет решений, так как левая часть первого уравнения неотрицательна. При $a = 0$ система имеет единственное решение $(0; 0).$

Рассмотрим случай $a > 0.$ В системе координат $xOy$ графиком первого уравнения является ромб с вершинами в точках $(0; 3a),$ $(0; -3a),$ $(4a; 0)$ и $(-4a; 0).$ Графиком второго уравнения является окружность с центром в точке $(0; 5)$ и радиусом $R = 5.$

Анализируя взаимное расположение ромба и окружности, получаем:

— При $0 < a < a_1$ ромб и окружность имеют две общие точки.
— При $a = a_1$ ромб и окружность имеют три общие точки.
— При $a_1 < a < a_2$ ромб и окружность имеют четыре общие точки.
— При $a = a_2$ ромб и окружность имеют две общие точки.
— При $a > a_2$ ромб и окружность не имеют общих точек.

Значение $a_1$ соответствует случаю, когда вершина ромба $(0; 3a)$ совпадает с точкой $(0; 10)$ на окружности: $$ |3 \cdot 0| + |4 \cdot 10| = 12a_1 \Rightarrow 40 = 12a_1 \Rightarrow a_1 = \frac{10}{3} $$

Значение $a_2$ соответствует случаю, когда стороны ромба касаются окружности. Рассмотрим, например, прямую $3x + 4y- 12a = 0,$ которая является одной из сторон ромба. Расстояние от центра окружности $(0; 5)$ до этой прямой должно равняться радиусу: $$ \frac{|3 \cdot 0 + 4 \cdot 5- 12a|}{\sqrt{3^2 + 4^2}} = 5 \Rightarrow \frac{|20- 12a|}{5} = 5 \Rightarrow |20- 12a| = 25 $$

Решим это уравнение: $$ 20- 12a = 25 \quad \text{или} \quad 20- 12a = -25 $$
Из первого уравнения: $12a = -5 \Rightarrow a = -\dfrac{5}{12}$ $($не подходит, так как $a > 0).$
Из второго уравнения: $12a = 45 \Rightarrow a = \dfrac{15}{4}.$

Таким образом, исходная система имеет ровно два различных решения при $0 < a < \dfrac{10}{3}$ и при $a = \dfrac{15}{4}.$

Ответ: $(0; \dfrac{10}{3}) \cup {\dfrac{15}{4}}.$

Преобразуем первое уравнение системы:

$$ (xy^2- 2xy- 6y + 12) \sqrt{6- x} = 0 \Leftrightarrow (xy(y- 2)- 6(y- 2)) \sqrt{6- x} = 0 \Leftrightarrow $$
$$ \Leftrightarrow (xy- 6)(y- 2) \sqrt{6- x} = 0 \Leftrightarrow \begin{cases} y = \dfrac{6}{x}, \ y = 2, \ x = 6, \ x \leq 6. \end{cases} $$

Исходная система имеет ровно три различных решения тогда и только тогда, когда графики функций $y = \dfrac{6}{x}$ и $y = 2$ и прямая $x = 6$ имеют с прямой $y = ax$ три различных точки пересечения на области $x \leq 6$ (см. рис.).

Из рисунка видно, что при $a < 0$ два решения, при $a = 0$ одно решение, при $0 < a \leq \dfrac{1}{6}$ два решения, при $\dfrac{1}{6} < a \leq \dfrac{1}{3}$ три решения, при $\dfrac{1}{3} < a < \dfrac{2}{3}$ четыре решения, при $a = \dfrac{2}{3}$ три решения, при $a > \dfrac{2}{3}$ четыре решения.

Ответ: $\left (\dfrac{1}{6} \dfrac{1}{3} \right) \cup \left\{ \dfrac{2}{3} \right\} .$

Запишем второе уравнение системы в виде: $y = \pm (x^2- 2x),$ его графиком являются две параболы, симметричные относительно оси абсцисс, с общими точками $(0; 0)$ и $(2; 0).$

Найдем такие $a,$ при которых прямая $y = a- x$ является касательной к графику $y = x^2- 2x.$ Решим соответствующее уравнение и найдем нуль дискриминанта:

$$x^2- 2x = a- x \Leftrightarrow x^2- x- a = 0$$

Дискриминант $D_1 = 1 + 4a,$ он равен нулю при $a = -\dfrac{1}{4},$ откуда $x = \dfrac{1}{2},$ $y = -\dfrac{3}{4}.$

Аналогично найдем такие $a,$ при которых прямая $y = a- x$ является касательной к графику $y = -(x^2- 2x){:}$

$$ -(x^2- 2x) = a- x \Leftrightarrow x^2- 3x + a = 0$$

Дискриминант $D_2 = 9- 4a,$ он равен нулю при $a = \dfrac{9}{4},$ откуда $x = \dfrac{3}{2},$ $y = \dfrac{3}{4}.$

Если $a < -\dfrac{1}{4},$ то у прямой $y = a- x$ нет общих точек с графиком $y = x^2- 2x,$ а с графиком $y = -(x^2- 2x)$ — две общие точки.

Если $a = -\dfrac{1}{4},$ то у прямой $y = a- x$ одна общая точка $\left( \dfrac{1}{2}; -\dfrac{3}{4} \right)$ с графиком $y = x^2- 2x,$ но эта же точка является точкой внутренней области графика $y = -(x^2- 2x),$ значит, будет $3$ общих точки.

Если $-\dfrac{1}{4} < a < \dfrac{9}{4},$ то прямая $y = a- x$ пересекает каждую параболу в двух точках, которые не могут совпасть полностью, так как это происходит в точках $(0; 0)$ и $(2; 0),$ поэтому будет минимум 3 решения.

Если $a = \dfrac{9}{4},$ то у прямой $y = a- x$ одна общая точка $\left( \dfrac{3}{2}; \dfrac{3}{4} \right)$ с графиком $y = -(x^2- 2x),$ но эта же точка является точкой внутренней области графика $y = x^2- 2x,$ значит, будет $3$ общих точки.

Если $a > \dfrac{9}{4},$ то у прямой $y = a- x$ нет общих точек с графиком $y = -(x^2- 2x),$ а с графиком $y = x^2- 2x$ — две общие точки.

Таким образом, исходная система уравнений имеет ровно два решения при $a \in \left(-\infty; -\dfrac{1}{4}\right) \cup \left(\dfrac{9}{4}; +\infty\right).$

Ответ: $\left(-\infty; -\dfrac{1}{4}\right) \cup \left(\dfrac{9}{4}; +\infty\right).$

Графиком первого уравнения является объединение прямой $y = 10- x$ и части графика $y = |x+1| + |x-3|,$ лежащей ниже этой прямой (выделено оранжевым). При $x \leq -1$ это отрезок $AD$ прямой $y = -2x + 2,$ где $A(-1; 4)$ — точка прямой с абсциссой $-1,$ а $D(-8; 18)$ — точка ее пересечения с $y = 10- x.$ При $-1 \leq x \leq 3$ функция имеет вид $y = 4,$ ее график это отрезок $AB,$ где $B(3; 4)$ — точка прямой с абсциссой $3.$ При $x \geq 3$ это отрезок $BC$ прямой $y = 2x- 2,$ где $C(4; 6)$ — точка ее пересечения с $y = 10- x.$

Графиком второго уравнения является некоторая прямая, параллельная прямой $y = x.$

Исследуя взаимное расположение графиков уравнений, получаем, что ровно два решения система имеет в тех и только тех случаях, когда прямая $y = x + a$ проходит через точку $B$ $($это соответствует значению $a = 1)$ и когда она лежит между прямыми, проходящими через точку $C$ (включая) и точку $D$ (исключая). Через точку $C$ прямая проходит при $a = 2,$ а через точку $D$ — при $a = 26.$ Откуда и следует ответ.

Ответ: ${1} \cup [2; 26].$