18. Задача с параметром: Системы с параметром

Преобразование уравнения:

Уравнение равносильно системе:
$$\begin{cases} x^2-4x+a=0 \\ 5x^2-6ax+a^2 \neq0 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} a=-x^2+4x \\a \neq x \\ a\neq 5x \end{cases}$$

Анализ корней:

• Квадратное уравнение $x^2-4x+a=0$ имеет:
• Дискриминант $D=16-4a$
• Два различных корня при $D>0$ ($a<4$)
• Исключаем случаи, когда корень совпадает с запретными значениями:
  $$a=x: -x^2+4x=x\Rightarrow x=0,3$$
  $$a=5x: -x^2+4x=5x\Rightarrow x=0,-1$$

Особые случаи:

• При $a=4$: один корень (кратности 2)
• При $a=0,3,-5$: один корень теряется

Итоговые условия:

• Два различных корня при:
  $$a\in(-\infty;-5)\cup(-5;0)\cup(0;3)\cup(3;4)$$

Ответ: $a\in(-\infty;-5)\cup(-5;0)\cup(0;3)\cup(3;4)$

Преобразуем второе уравнение:
$$x^2-xy+2x-2y=0 \Rightarrow (x-y)(x+2)=0 \Rightarrow x=y \text{ или } x=-2$$

Случай 1: $x=-2$
Подставляем в первое уравнение:
$$2+|2y|=2a \Rightarrow |y|=a-1$$
Условия:

• $a\geq1$
• Решения: $(-2,a-1)$ и $(-2,1-a)$
• При $a=1$ решения совпадают

Случай 2: $x=y$
Подставляем в первое уравнение:
$$3|y|=2a \Rightarrow y=\pm\frac{2a}{3}$$
Условия:

• $a>0$
• Решения: $(\frac{2a}{3},\frac{2a}{3})$ и $(-\frac{2a}{3},-\frac{2a}{3})$
• При $a=0$ решения совпадают

Условия для $4$ решений:

• $a>1$ (чтобы было $2$ решения в первом случае)
• Исключить случай, когда $(-2,-2)$ является решением (при $a=3$)
• Таким образом: $13$

Ответ: $a\in(1,3)\cup(3,+\infty)$