Карточки
Тесты
Главная
Курсы
Подписка
19. Задача с параметром: #212229
Найдите все значения параметра $a,$ при каждом из которых система уравнений $$ \begin{cases} y^2- xy- 7y + 5x + 10 = 0, \\ 4a = ax- y\end{cases} $$ имеет единственное решение.
Первое уравнение раскладывается на множители: $$(y-5)(y-x-2)=0$$ Оно задает две полные прямые $y=5$ и $y=x+2$ без дополнительных ограничений на $x$ и $y$. Второе уравнение имеет вид $y=a(x-4)$.
При $a=0$ получаем прямую $y=0$: она не пересекает $y=5$ и пересекает $y=x+2$ только в точке $(-2;0)$. При $a=1$ прямая $y=x-4$ параллельна $y=x+2$ и пересекает $y=5$ только в точке $(9;5)$. Оба значения подходят.
При $a\ne0$ и $a\ne1$ прямая $y=a(x-4)$ пересекает каждую из двух прямых в одной точке. Единственное решение получится, только если эти точки совпадут с общей точкой $(3;5)$ прямых $y=5$ и $y=x+2$. Подставим ее: $5=a(3-4)$, откуда $a=-5$.
Ответ: $\{-5;0;1\}$.
20
