Карточки
Тесты
Главная
Курсы
Подписка
19. Задача с параметром: #195739
Найдите все положительные значения параметра $a$, при каждом из которых система уравнений $$\begin{cases}|x|+|2y|=2a \\x^2-xy+2x-2y=0\end{cases}$$ имеет ровно $4$ различных решения.
Преобразуем второе уравнение:
$$x^2-xy+2x-2y=0 \Rightarrow (x-y)(x+2)=0 \Rightarrow x=y \text{ или } x=-2$$
Случай 1: $x=-2$
Подставляем в первое уравнение:
$$2+|2y|=2a \Rightarrow |y|=a-1$$
Условия:
- $a\geq1$
- Решения: $(-2,a-1)$ и $(-2,1-a)$
- При $a=1$ решения совпадают
Случай 2: $x=y$
Подставляем в первое уравнение:
$$3|y|=2a \Rightarrow y=\pm\frac{2a}{3}$$
Условия:
- $a>0$
- Решения: $(\frac{2a}{3},\frac{2a}{3})$ и $(-\frac{2a}{3},-\frac{2a}{3})$
- При $a=0$ решения совпадают
Условия для $4$ решений:
- $a>1$ (чтобы было $2$ решения в первом случае)
- Исключить случай, когда $(-2,-2)$ является решением (при $a=3$)
- Таким образом: $13$
Ответ: $a\in(1,3)\cup(3,+\infty)$
20
