Карточки
Тесты
Главная
Курсы
Подписка
19. Задача с параметром: #195691
Найдите все значения параметра $a$, при каждом из которых уравнение$$\frac{x^2-4x+a}{5x^2-6ax+a^2}=0$$имеет ровно два различных решения.
Преобразование уравнения:
Уравнение равносильно системе:
$$\begin{cases} x^2-4x+a=0 \\ 5x^2-6ax+a^2 \neq0 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} a=-x^2+4x \\a \neq x \\ a\neq 5x \end{cases}$$
Анализ корней:
- Квадратное уравнение $x^2-4x+a=0$ имеет:
- Дискриминант $D=16-4a$
- Два различных корня при $D>0$ ($a<4$)
- Исключаем случаи, когда корень совпадает с запретными значениями:
$$a=x: -x^2+4x=x\Rightarrow x=0,3$$
$$a=5x: -x^2+4x=5x\Rightarrow x=0,-1$$
Особые случаи:
- При $a=4$: один корень (кратности 2)
- При $a=0,3,-5$: один корень теряется
Итоговые условия:
- Два различных корня при
$$a\in(-\infty;-5)\cup(-5;0)\cup(0;3)\cup(3;4)$$
Ответ: $a\in(-\infty;-5)\cup(-5;0)\cup(0;3)\cup(3;4)$
20
