19. Задача с параметром: #212230

Преобразуем систему:

$$ \begin{cases} 2x + a(2y + 1) = 3 \\ x(|y| + 2) = 3 \Rightarrow x = \dfrac{3}{|y| + 2}\end{cases} $$

Второе уравнение задает функцию:
$$ x = \dfrac{3}{|y| + 2} $$
что эквивалентно:
$$ |y| = \dfrac{3}{x}- 2 \quad \text{при} \quad 0 < x \leq \dfrac{3}{2} $$

График состоит из двух ветвей:
— При $y \geq 0{:}$ $y = \dfrac{3}{x}- 2$
— При $y < 0{:}$ $y = 2- \dfrac{3}{x}$

Первое уравнение:
$$ 2x + a(2y + 1) = 3 $$ представляет собой пучок прямых, проходящих через точку $\left(\dfrac{3}{2}; -\dfrac{1}{2}\right).$

Исследуем количество решений системы.

$1.$ При $a = 0{:}$ первое уравнение становится $2x = 3 \Rightarrow x = \dfrac{3}{2}$
Подставляем во второе: $\dfrac{3}{2}(|y| + 2) = 3 \Rightarrow |y| + 2 = 2 \Rightarrow |y| = 0 \Rightarrow y = 0$
Система имеет единственное решение $(\dfrac{3}{2}; 0).$

$2.$ При $a \neq 0{:}$ выразим $y$ из первого уравнения: $$ 2ay = 3- 2x- a \Rightarrow y = \dfrac{3- 2x- a}{2a} $$ Подставляем во второе уравнение и анализируем количество точек пересечения.

После анализа получаем, что система имеет ровно одно решение при:
— $a \leq 0$
— $a > \dfrac{1}{3}$

$3.$ При $0<a<\dfrac{1}{3}$ система имеет три решения: два с $y>0$ и одно с $-\dfrac{1}{2}<y<0$. При $a=\dfrac{1}{3}$ положительная ветвь дает одно решение, поэтому всего решений два.

Ответ: $a \in (-\infty; 0] \cup \left(\dfrac{1}{3}; +\infty\right).$