19. Задача с параметром: #212232

Из второго уравнения $y\ge0$ и $x=y^2-4$. Подставим это в первое: $|y^2-4|+y=a$. Каждому найденному $y$ соответствует ровно одно $x$, поэтому достаточно посчитать допустимые значения $y$.

При $0\le y\le2$ получаем $a=4-y^2+y=\frac{17}{4}-(y-\frac12)^2$. Эта функция возрастает от $4$ до $\frac{17}{4}$ на $[0;\frac12]$, затем убывает до $2$ на $[\frac12;2]$. При $y\ge2$ получаем $a=y^2+y-4$ — строго возрастающую функцию от $2$ до бесконечности.

При $a<2$ решений нет. При $a=2$ обе ветви дают одну и ту же точку $(0;2)$. При $2<a<4$ каждая ветвь дает по одному решению, всего два.

При $a=4$ первая ветвь дает $y=0$ и $y=1$, то есть точки $(-4;0)$ и $(-3;1)$, а вторая — еще одну точку, всего три. При $4<a<\frac{17}{4}$ также три решения. При $a=\frac{17}{4}$ первая ветвь дает только $y=\frac12$ (точка $(-\frac{15}{4};\frac12)$), вторая — еще одно решение. При $a>\frac{17}{4}$ остается только одно решение.

Ответ: $(2;4)\cup\left\{\frac{17}{4}\right\}$.