19. Задача с параметром: #212234

Запишем первое уравнение системы в виде

$$ \frac{(y- 2)(xy- 4)}{\sqrt{x + 4}} = 0. $$

При $x \leq -4$ левая часть не имеет смысла. При $x > -4$ уравнение задает прямую $y = 2$ и гиперболу $y = \dfrac{4}{x}$ (см. рис.).

При каждом значении $a$ уравнение $y = ax$ задает прямую с угловым коэффициентом $a,$ проходящую через начало координат. Число решений исходной системы равно числу точек пересечения прямой $y = 2$ и гиперболы $y = \dfrac{4}{x}$ с прямой $y = ax$ при условии $x > -4.$

Прямая $y = ax$ пересекает прямую $y = 2$ при $a < -\dfrac{1}{2}$ и при $a > 0$; пересекает правую ветвь гиперболы при $a > 0,$ пересекает левую ветвь гиперболы при $a > \dfrac{1}{4},$ проходит через точку пересечения прямой $y = 2$ и гиперболы при $a = 1.$

Таким образом, исходная система имеет ровно два решения при $0 < a \leq \frac{1}{4}$ и при $a = 1.$

Ответ: $0 < a \leq \dfrac{1}{4},$ $a = 1.$